Extrema richtig oder falsch? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Sa 21.03.2009 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Sattelpunkte der folgenden Funktion!
[mm] F(x,y)=(x+1)^3-3(x+1)y^2+y^4 [/mm] |
Meine Lösung habe ich eingescannt, leider weicht sie etwas von den Musterergebnissen ab die ich habe.
Ich weiß nun nicht wo ich den Fehler gemacht habe, kann mir das jemand sagen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Sattelpunkte der
> folgenden Funktion!
>
> [mm]F(x,y)=(x+1)^3-3(x+1)y^2+y^4[/mm]
> Meine Lösung habe ich eingescannt,
Hallo,
das ist für Dich natürlich sehr bequem, für einen potentiellen Helfer nicht, denn man kann nichts kopieren, farbig markieren und nicht dazwischenschreiben.
Außerdem hat man's beim Tippen nicht vor Augen.
Den ersten Fehler sehe ich an der Stelle, wo Du aus y² das y errechnest. Du verlierst hier die negative Lösung.
In der nächsten Zeile dann berechnest Du [mm] (x+1)^2 [/mm] und [mm] (x+3)^3 [/mm] völlig falsch.
Weiter gucke ich jetz mal nicht.
Gruß v. Angela
leider weicht sie etwas
> von den Musterergebnissen ab die ich habe.
> Ich weiß nun nicht wo ich den Fehler gemacht habe, kann mir
> das jemand sagen?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 22.03.2009 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Sattelpunkte der
folgenden Funktion!
[mm] F(x,y)=(x+1)^3-3(x+1)y^2+y^4 [/mm] |
Hallo liebe Angela!
Ok ok ich sehs ein, einscannen is ein bischen unverschämt :)
Deswegen hier nochmal ausführlich und etwas verbessert nach deinen Vorschlägen, soweit es mir möglich ist.
Meine Partiellen Ableitungen:
[mm] \partial_{x}=3(x+1)^2-y3y^2
[/mm]
[mm] \partial_{xx}=6(x+1)
[/mm]
[mm] \partial_{xy}=-6y
[/mm]
[mm] \partial_{y}=-6y(x+1)+4y^3
[/mm]
[mm] \partial_{yy}=-6(x+1)+12y^2
[/mm]
[mm] \partial_{yx}=-6y
[/mm]
dann
I [mm] 3(x+1)^2-3y^2=0 [/mm]
II [mm] -6y(x+1)+4y^3=0
[/mm]
=> [mm] 3y^2=3(x+1)^2
[/mm]
[mm] y^2=(x+1)^2 [/mm]
y=x+1 einsetzen in Gleichung II
hier die erste Frage: auf welche Art und Weise geht mir da was verloren?
II [mm] -6(x+1)(x+1)+4(x+1)^3 [/mm] = 0
[mm] -6(x^2+2x+1)+4(x^3+2x^2+2x+1)=0 [/mm] Warum ist [mm] 4(x+1)^3 [/mm] hier falsch?
[mm] 4x^3+2x^2-4x-2 [/mm] = 0
Erste Nullst. durch probieren [mm] x_1 [/mm] = 1
Mit dem Hornerschema habe ich dann noch die Gleichung
[mm] 4x^2+6x+2= [/mm] 0
[mm] x^2+\bruch{3}{2}x+\bruch{1}{2} [/mm] = 0
Davon die Nullstellen [mm] x_1=-\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] x_2=-1
[/mm]
Durch einsetzen der Nullstellen in die Gleichung y=x+1 bekomme ich folgende Punkte
[mm] P_1 [/mm] (1/2)
[mm] P_2 [/mm] (-1 /0)
[mm] P_3 (-\bruch{1}{2}/ \bruch{1}{2})
[/mm]
Hier höre ich mal auf, weil hier schon eine Abweichung zu dem Mustererbenis vorliegt. Da sind die Punkte folgende
[mm] P_1 [/mm] (-1/0) hab ich auch
[mm] P_2 (\bruch{1}{2}/ -\bruch{3}{2}) [/mm] hab ich anders...
[mm] P_3 (\bruch{1}{2}/\bruch{3}{2}) [/mm] hab ich auch anders...
Wenn ich den Fehler bis hier hin finde, wird der Rest wohl klar gehen. Deswegen lasse ich den Rest der eh falsch ist erstmal aussen vor.
Wieso manche Ausdrücke nich in Formeln umgewandelt werden versteh ich grade nicht, aber ich denke man kanns trotzdem gut erkennen.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 So 22.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo steem!
> Meine Partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\partial_{x}=3(x+1)^2-y3y^2[/mm]
Hier hat sich am Ende ein $y_$ zuviel eingeschlichen; scheint sich aber nur um einen Tippfehler zu handeln.
> [mm]\partial_{xx}=6(x+1)[/mm]
> [mm]\partial_{xy}=-6y[/mm]
>
> [mm]\partial_{y}=-6y(x+1)+4y^3[/mm]
> [mm]\partial_{yy}=-6(x+1)+12y^2[/mm]
> [mm]\partial_{yx}=-6y[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann
> I [mm]3(x+1)^2-3y^2=0[/mm]
> II [mm]-6y(x+1)+4y^3=0[/mm]
>
> => [mm]3y^2=3(x+1)^2[/mm]
> [mm]y^2=(x+1)^2[/mm]
> y=x+1 einsetzen in Gleichung II
> hier die erste Frage: auf welche Art und Weise geht mir da
> was verloren?
Weil auch [mm] $y_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{-}(x+1)$ [/mm] obige Gleichung löst.
Bedenke, dass hier durch das Wurzelziehen entsteht:
$$|y| \ = \ |x+1|$$
> II [mm]-6(x+1)(x+1)+4(x+1)^3[/mm] = 0
> [mm]-6(x^2+2x+1)+4(x^3+2x^2+2x+1)=0[/mm] Warum ist [mm]4(x+1)^3[/mm] hier falsch?
Weil: [mm] $(a+b)^3 [/mm] \ = \ [mm] a^3+\red{3}*a^2*b+\red{3}*a*b^2+b^3$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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