Extrema unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien [mm]f, g : \IR^{2}\to\IR[/mm] die Funktionen mit
[mm] f(x,y)=2xy-\bruch{1}{3}(x+y)^{3}, g(x,y)=(x+y)^{2}-1
[/mm]
1. Bestimmen Sie die stationären Punkte von f.
2. Berechnen Sie die Hesse-Matrix [mm]Hf(\xi)[/mm] in den stationären Punkten [mm] \xi [/mm] der Funktion f.
3. Untersuchen Sie welche stationären Punkte von f lokale Maxima, lokale Minima oder Satteöpunkte sind.
4. Bestimmen Sie die Maximal- und die Minimalstellen der funktion f unter der Nebenbedingung [mm]g(x,y)=0[/mm]. Verwenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. |
Hallo Leute,
ich habe die Aufgabe weitgehend gelöst und denke, dass meine Lösungen auch korrekt sind. Lediglich im letzten Teil habe ich Problem. Dennoch poste ich meine ganze Lösung. Vielleicht Hilft es jemanden die Zusammenhänge zu verstehen.
Los gehts:
1.
Partiell Ableiten:
[mm]
f^{'}_{x}=2y-(x+y)^{2}
f^{'}_{y}=2x-(x+y)^{2}
[/mm]
Gleichungssystem da die Bedingung lautet [mm]f^{'}(x,y)=0[/mm]
[mm]2y-(x+y)^{2}=0[/mm]
[mm]2x-(x+y)^{2}=0[/mm]
[mm]2y-(x+y)^{2}=2x-(x+y)^{2} \Rightarrow y=x[/mm]
Das eingesetzt in einem der Gleichungen liefert
[mm]2x-(2x)^{2}=0[/mm]
[mm]2x-4x^{2}=0[/mm]
[mm]x^{2}-\bruch{1}{2}x=0[/mm] | PQ-Formel
[mm]\Rightarrow x_{1}=\bruch{1}{2} , x_{2}=0[/mm]
[mm]\xi_{1}(0,0)[/mm] und [mm]\xi_{2}(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2})
[/mm] sind die stationären Punkte von f.
2.
[mm]f^{''}_{xx}=-2(x+y)[/mm]
[mm]f^{''}_{xy}=2-2(x+y)[/mm]
[mm]f^{''}_{yx}=2-2(x+y)[/mm]
[mm]f^{''}_{yy}=-2(x+y)[/mm]
Hesse-Matrix:
[mm]Hf(x,y)=\pmat{-2(x+y) & 2-2(x+y) \\ 2-2(x+y) & -2(x+y) }[/mm]
3.
[mm]\xi_{1}[/mm] und [mm]\xi_{2}[/mm] in die Hesse-Matrix einsetzen und die Eigenwerte berechnen:
[mm]Hf(\xi_{1})=\pmat{0 & 2 \\ 2 & 0}[/mm]
[mm]Hf(\xi_{2})=\pmat{-2 & 0 \\ 0 & -2}[/mm]
Daraus lassen sich die Eigenwerte berechnen mit:
[mm]Hf(\xi_{1})[/mm] hat die Eigenwerte [mm]\pm2 \Rightarrow[/mm] Die Matrix ist indefinit also hier existiert eine Sattelstelle.
[mm]Hf(\xi_{2})[/mm] hat den Eigenwert [mm]-2 \Rigtharrow[/mm] Die Matrix ist negativ definit --> Hier existiert ein Maximum.
4.
[mm]L(x,y,\lambda)=2xy-\bruch{1}{3}(x+y)^{3}+\lambda((x+y)^{2}-1)[/mm]
1) [mm]L^{'}_{x}=2y-(x+y)^{2}+2\lambda(x+y)=0[/mm]
2) [mm]L^{'}_{y}=2x-(x+y)^{2}+2\lambda(x+y)=0[/mm]
3) [mm]L^{'}_{\lambda}=(x+y)^{2}-1=0[/mm]
Aus 3 folgt [mm](x+y)=\pm1[/mm]
Das eingesetzt in 1 und 2 und die beiden gleichgesetzt liefert [mm]x=y[/mm]
Und das wieder in 3 eigesetzt bringt [mm]\xi_{3}(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2})[/mm] und [mm]\xi_{4}(-\bruch{1}{2},-\bruch{1}{2})[/mm]
Bis hierhin ist mir aller klar.
Ich weiss dass die beiden Punkte auch wieder stationäre Punkte der Funktion unter der Bedingung sind. Aber wie bekomme ich jetzt raus, ob sie Maxima oder Minima sind.
Die Sache mit den Eigenwerten dauert zu lange, da es für die Teilaufgabe nur einen Punkt gibt, denke ich, dass es eine effektivere Methode geben muss.
Was mir noch einfallen würde, wäre, die Funktionswerte von f an den Stellen zu berechnen und den kleineren ein Minimum und den größeren ein Maximum zu nennen, da ja laut Aufgabenstellung (zwischen den Zeilen gelesen und vermutet) nur ein Maximum und nur ein Minimum existieren sollte. Ganz wissenschaftlich ist dies aber nicht. Was mache ich nun?
Vielen Dank für die Hilfe im Voraus
|
|
| |
|
Hi,
tja, mit hinreichenden kriterien bei extrema mit nebenbedingung ist immer so eine sache. Ich wuesste kein einfaches.
eine methode ist, die hesse matrix auf den tangentialraum der nebenbedingungs-mannigfaltigkeit in den kritischen pkten. einzuschraenken und dann auf definitheit zu pruefen. Ist aber glaube ich kein standard-vorgehen.
ein simples vorgehen in deinem fall waere folgendes: schau dir die NB genau an: sie bedeutet [mm] $(x+y)=\pm [/mm] 1$, dh. [mm] $y=\pm [/mm] 1-x$. Auf diesen beiden geraden betrachtest du also die funktion f. du kannst nun getrennt beide faelle in f einsetzen. Du siehst, dass dann etwas herauskommt wie
[mm] $f(x)=-x^2+\ldots$.
[/mm]
eingeschraenkt auf die geraden ist f also so etwas wie eine negative quadratische funktion. Was heisst das in bezug auf die extrema?
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
Hi Matthias,
danke für die Ausführliche Info.
Ich habe das mit den Parabeln durchgerechnet. Ich bekomme zwei Parabeln, wo jeweils die Höhe des Scheitelpunktes unterschiedlich ist. Bei y=-1-x bekomme ich den "höher" liegenden Scheitelpunkt Also heisst das, an der Stelle ein Maximum und bei dem anderen ist der Scheitelpunkt niedriger --> ein Minimum.
Habe ich das richtig interpretiert?
|
|
|
| |
|
> Hi Matthias,
>
> danke für die Ausführliche Info.
>
> Ich habe das mit den Parabeln durchgerechnet. Ich bekomme
> zwei Parabeln, wo jeweils die Höhe des Scheitelpunktes
> unterschiedlich ist. Bei y=-1-x bekomme ich den "höher"
> liegenden Scheitelpunkt Also heisst das, an der Stelle ein
> Maximum und bei dem anderen ist der Scheitelpunkt niedriger
> --> ein Minimum.
>
> Habe ich das richtig interpretiert?
nicht ganz...  du untersuchst die funktion ja auf LOKALE extrema. Jetzt stell dir eine umgedrehte parabel vor, die nicht wie ueblich auf der x-achse lebt sondern auf der geraden $y=1-x$ (oder der anderen, du kannst die beiden getrennt betrachten). Dann stell dir ein eindimensionales wesen vor, was die gerade entlangfaehrt (auf der parabel). Wie wird dieses wesen die scheitelpunkte empfinden, als maxima oder minima?
hoffe, jetzt wirds klar.
gruss
matthias
|
|
|
|
