Extrema unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Betrachte in der reellen Ebene die Parabel [mm] P:=\{(x,y)\in \mathbb R^2~:~y=x^2\}
[/mm]
und die Gerade [mm] G:=\{(u,v)\in \mathbb R^2~:~u=v-10\}
[/mm]
Bestimmen Sie nun mit Hilfe eines Lagrange-Ansatzes die Punkte [mm] (x,y)\in [/mm] P [mm] ~und~(u,v)\in [/mm] G mit minimalen Abstand.
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Mein Ansatz war folgender:
Ich definiere mir eine Abstandsfunktion.
Sei dazu [mm] f(x)=x^2 [/mm] meine Parabel und g(x)=x-10 meine Gerade.
Dann ist meine Abstandsfunktion [mm] \|f-g\|_2=\|x^2-x+10\|=|x^2-x+10|=:a(x)
[/mm]
Anschließend würde ich mit [mm] \nabla [/mm] a(x)=0 den Tiefpunkt bestimmen, also den Punkt mit minimalen Abstand.
Ich bin aber irgendwie skeptisch, ob ich das mit der "Abstandsfunktion" so machen kann??
Ist der Ansatz korrekt?
Außerdem habe ich hier den Lagrange-Multiplikator nicht benutzt.....
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Sa 03.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
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> Betrachte in der reellen Ebene die Parabel [mm]P:=\{(x,y)\in \mathbb R^2~:~y=x^2\}[/mm]
>
> und die Gerade [mm]G:=\{(u,v)\in \mathbb R^2~:~u=v-10\}[/mm]
>
> Bestimmen Sie nun mit Hilfe eines Lagrange-Ansatzes die
> Punkte [mm](x,y)\in[/mm] P [mm]~und~(u,v)\in[/mm] G mit minimalen Abstand.
>
>
> Mein Ansatz war folgender:
>
> Ich definiere mir eine Abstandsfunktion.
> Sei dazu [mm]f(x)=x^2[/mm] meine Parabel und g(x)=x-10 meine
> Gerade.
Hallo,
ich möchte vorwegschicken, dass ich keine Ahnung habe.
Ich frage mich nur, wieso du einfach die Geradenkoordinaten u und v in x und y "übersetzt".
Darfst du das?
Ober musst du eventuell davon ausgehen, dass auf die Ebene zwei grundverschiedene Koordinatensysteme gelegt wurden: ein x-y-System und ein u-v-System, deren Achsen gegeneinander verschoben, verdreht und möglicherweise auch gestreckt sind?
Gruß Abakus
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> Dann ist meine Abstandsfunktion
> [mm]\|f-g\|_2=\|x^2-x+10\|=|x^2-x+10|=:a(x)[/mm]
>
> Anschließend würde ich mit [mm]\nabla[/mm] a(x)=0 den Tiefpunkt
> bestimmen, also den Punkt mit minimalen Abstand.
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> Ich bin aber irgendwie skeptisch, ob ich das mit der
> "Abstandsfunktion" so machen kann??
> Ist der Ansatz korrekt?
> Außerdem habe ich hier den Lagrange-Multiplikator nicht
> benutzt.....
>
> Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte. Danke.
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Hmmm... gut.
Ich habe mir nichts böses dabei gedacht, die Gerade und die Parabel als Funktionen von x aufzufassen. Schien mir naheliegend.
Aber wenn du meinst, dass ich das nicht darf, dann weiß ich echt nicht wie ich hier mit einem Lagrange Ansatz fortsetzen kann....
Was stellt denn hier meine Nebenbedingung dar und wie kann ich sie formulieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 04.07.2010 | | Autor: | Chrispp |
Die Gerade G und die Parabel P sind deine Nebenbedingungen. Zu minimieren ist die (quadrierte) Abstandsfunktion.
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