Extrema unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die Extrema von [mm] f(x_1,x_2) [/mm] := [mm] x_1+x_2 [/mm] unter der Nebenbedingung, dass [mm] x_1²+2x_2²=4 [/mm] |
Was ich bisher habe:
grad f=(1,1)
[mm] NB:x_1²+2x_2² [/mm] =4 --> M:={ [mm] x_1, x_2)| x_1²+2 x_2²-4=0}
[/mm]
[mm] g(x_1,x_2):=x_1²+2x_2-4
[/mm]
g ist stetig und [mm] g^{-1} [/mm] ist sowohl abgeschlossen als auch beschränkt. Deshalb existiert ein Extrema, da M zusätzlich kompakt ist und f stetig. Somit nimmt f sein Extremum auf M an.
Notw. Bed:
grad [mm] g(x_0)=(2x_1,4x_2)\not= [/mm] 0
Besitzt f in [mm] x_o [/mm] ein Extrema unter der Nebenbedingung, so
[mm] \exists \lambda \in \IR: [/mm] grad [mm] f(x_o) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] grad [mm] g(x_o)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (1,1) = [mm] (\lambda 2x_1,\lambda 4x_2)
[/mm]
Mein problem ist es nun die Gleichungen aufzulösen. Wir haben ja:
1= [mm] \lambda 2x_1 [/mm] und
1= [mm] \lambda 4x_2.
[/mm]
Also [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} x_1
[/mm]
Für die Nebenbedingung hätte man dann ja: [mm] x_1²+2(\bruch{1}{2}x_1)²=4
[/mm]
[mm] =x_1²+ \bruch{1}{2}x_1 [/mm] =4
Kann ich damit irgendwas anfangen? Ich steig da irgendwie nicht durch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Mi 06.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die Extrema von [mm]f(x_1,x_2)[/mm] := [mm]x_1+x_2[/mm] unter
> der Nebenbedingung, dass [mm]x_1²+2x_2²=4[/mm]
> Was ich bisher habe:
> grad f=(1,1)
> [mm]NB:x_1²+2x_2²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=4 --> M:={ [mm]x_1, x_2)| x_1²+2 x_2²-4=0}[/mm]
Die Quadrate sieht man nicht: [mm]NB:x_1^2+2x_2^2[/mm] =4 !!!!
>
> [mm]g(x_1,x_2):=x_1²+2x_2-4[/mm]
> g ist stetig und
> [mm]g^{-1}[/mm] ist sowohl abgeschlossen als auch
> beschränkt.
Unsinn. [mm]g^{-1}[/mm] ex. nicht. Was meinst Du mit abgeschlossen ?
> Deshalb existiert ein Extrema, da M
> zusätzlich kompakt ist
Ja, wenn man die Quadrate sieht.
> und f stetig. Somit nimmt f sein
> Extremum auf M an.
> Notw. Bed:
> grad [mm]g(x_0)=(2x_1,4x_2)\not=[/mm] 0
ja
> Besitzt f in [mm]x_o[/mm] ein Extrema unter der Nebenbedingung, so
> [mm]\exists \lambda \in \IR:[/mm] grad [mm]f(x_o)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] grad
> [mm]g(x_o)[/mm]
O.K.
> [mm]\gdw[/mm] (1,1) = [mm](\lambda 2x_1,\lambda 4x_2)[/mm]
> Mein problem ist
> es nun die Gleichungen aufzulösen. Wir haben ja:
> 1= [mm]\lambda 2x_1[/mm] und
> 1= [mm]\lambda 4x_2.[/mm]
> Also [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} x_1[/mm]
Ja
> Für die
> Nebenbedingung hätte man dann ja:
> [mm]x_1²+2(\bruch{1}{2}x_1)²=4[/mm]
> [mm]=x_1²+ \bruch{1}{2}x_1[/mm] =4
> Kann ich damit irgendwas anfangen? Ich steig da irgendwie
> nicht durch.
Aus [mm] x_1=2x_2 [/mm] folgt mit der NB:
[mm] 6x_2^2=4
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> > [mm]NB:x_1²+2x_2²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> =4 --> M:={ [mm]x_1, x_2)| x_1²+2 x_2²-4=0}[/mm]
>
> Die Quadrate sieht man nicht: [mm]NB:x_1^2+2x_2^2[/mm] =4 !!!!
>
Okay, danke!>
> > [mm]g^{-1}[/mm] ist sowohl abgeschlossen als auch
> > beschränkt.
>
>
> Unsinn. [mm]g^{-1}[/mm] ex. nicht. Was meinst Du mit abgeschlossen
> ?
Okay, vielleicht hat ichs etwas falsch geschrieben. Kann auch sein, dass es trotzdem Blödsinn ist, aber: wir hatten eine ähnliche Beispielaufgabe wo wir dann hatten [mm] g^{-1}({0}) [/mm] ist abgeschlossen und beschränkt als Urbild einer stetigen Funktion
> > Für die
> > Nebenbedingung hätte man dann ja:
> > [mm]x_1²+2(\bruch{1}{2}x_1)²=4[/mm]
> > [mm]=x_1²+ \bruch{1}{2}x_1[/mm] =4
> > Kann ich damit irgendwas anfangen? Ich steig da
> irgendwie
> > nicht durch.
>
>
> Aus [mm]x_1=2x_2[/mm] folgt mit der NB:
>
> [mm]6x_2^2=4[/mm]
>
> FRED
Kannst du mir erklären wie du auf [mm] 6x_2^{2}kommst? [/mm] Hab das nämlich gerade auch eingesetzt und hatte dann [mm] 4x_2^{2}. [/mm] Und dann nachm Auflösen für [mm] x_2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1, was aber ja nicht sein kann, da dann die Nebenbedingung kaputt geht.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Gnocchi |
Oder folgt daraus, dass es keine Extrema gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mi 06.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Oder folgt daraus, dass es keine Extrema gibt?
Mann, Du hast doch oben begründet dass es solche gibt:
M ist kompakt und f stetig.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mi 06.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] x_1=2x_2 [/mm] in die NB [mm] x_1^2+2x_2^2=4 [/mm] ein. Du bekommst:
[mm] (2x_2)^2+2x_2^2=4
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> Setze [mm]x_1=2x_2[/mm] in die NB [mm]x_1^2+2x_2^2=4[/mm] ein. Du bekommst:
>
> [mm](2x_2)^2+2x_2^2=4[/mm]
>
> FRED
Gut, ich hab die Klammerung vergessen. Und meine Aussage, dass es keine Extrema gibt, war natürlich blöd.
Also wenn ich nun habe:
[mm] 6x_2x^{2}=4 [/mm] erhalte ich durch umformen [mm] x_2 [/mm] = [mm] \pm \bruch{\wurzel{6}}{3}
[/mm]
Aus den vorherigen Gleichungen konnte man ja schon folgern, dass [mm] x_1 =2x_2 [/mm] ist.
Somit müsste f Extrema bei [mm] f(2\bruch{\wurzel{6}}{3},\bruch{\wurzel{6}}{3}) [/mm] und [mm] f(-2\bruch{\wurzel{6}}{3},-\bruch{\wurzel{6}}{3}) [/mm] annehmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Mi 06.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Setze [mm]x_1=2x_2[/mm] in die NB [mm]x_1^2+2x_2^2=4[/mm] ein. Du bekommst:
> >
> > [mm](2x_2)^2+2x_2^2=4[/mm]
> >
> > FRED
> Gut, ich hab die Klammerung vergessen. Und meine Aussage,
> dass es keine Extrema gibt, war natürlich blöd.
> Also wenn ich nun habe:
> [mm]6x_2x^{2}=4[/mm] erhalte ich durch umformen [mm]x_2[/mm] = [mm]\pm \bruch{\wurzel{6}}{3}[/mm]
Nein. Rechne nochmal nach
FRED
>
> Aus den vorherigen Gleichungen konnte man ja schon folgern,
> dass [mm]x_1 =2x_2[/mm] ist.
> Somit müsste f Extrema bei
> [mm]f(2\bruch{\wurzel{6}}{3},\bruch{\wurzel{6}}{3})[/mm] und
> [mm]f(-2\bruch{\wurzel{6}}{3},-\bruch{\wurzel{6}}{3})[/mm] annehmen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Gnocchi |
Wir haben doch:
[mm] 6x_2^{2}=4
[/mm]
Dann: [mm] x_2^{2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Daraus die Wurzel: [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{6}}{3}.
[/mm]
oder willst du mir sagen, dass das [mm] -\bruch{\wurzel{6}}{3} [/mm] wegfällt? Kann aber ja nicht, weils ja die Gleichung erfüllt.
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Hallo Gnocchi,
> Wir haben doch:
> [mm]6x_2^{2}=4[/mm]
> Dann: [mm]x_2^{2}=\bruch{2}{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Daraus die Wurzel: [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{6}}{3}.[/mm]
Ungewöhnlich geschrieben, aber ok!
> oder willst du mir sagen, dass das [mm]-\bruch{\wurzel{6}}{3}[/mm]
> wegfällt?
Das ist auch eine LÖsung von [mm]x_2^2=2/3[/mm]
> Kann aber ja nicht, weils ja die Gleichung
> erfüllt.
Gruß
schachuzipus
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