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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 17.07.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Bestimme lokale und globale Extrema der Höhenfunktion [mm] h:\IR^3\to\IR^2, (x,y,z)\mapsto [/mm] z unter der Nebenbedingung [mm] f:=\{(x,y,z)\in\IR^3|(\wurzel{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1\} [/mm] |
Hi,
vor einer Klausur häufen sich immer die Fragen und wenn dann auch kein Kommilitone - wie in diesem Fall - helfen kann, ist es umso schlechter. Aber vielleicht könnt ihr mir ja (wieder einmal) helfen.
Folgendes habe ich gemacht:
(grad h)(x,y,z)=(0,0,1)
(grad [mm] f)(x,y,z)=(2*(\wurzel{x^2+y^2}-2)*(x^2+y^2)^{-1}*x,2*(\wurzel{x^2+y^2}-2)*(x^2+y^2)^{-1}*x,2z)
[/mm]
Nach Vorlesung existiert ein [mm] \lambda\in\IR [/mm] mit (grad [mm] h)(x,y,z)=\lambda*(gradf)(x,y,z) [/mm] [was nichts anderes ist, als der La-Place Operator]
Ich muss also folgendes Gleichungssystem lösen:
[mm] \vmat{ 0=2*\lambda*(\wurzel{x^2+y^2}-2)*(x^2+y^2)^{-1}*x \\ 0= 2*\lambda*(\wurzel{x^2+y^2}-2)*(x^2+y^2)^{-1}*y \\ 1=2*\lambda*z \\(\wurzel{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1 }
[/mm]
Aus I und II folgt x=y.
Aber wie kann ich jetzt etwas über z aussagen?
Das ist der Teil, der mir fehlt. Über die Extrema kann ich ja dann mittels Hesse-Matrix aussagen machen?!
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Bestimme lokale und globale Extrema der Höhenfunktion
> [mm]h:\IR^3\to\IR, (x,y,z)\mapsto[/mm] z unter der Nebenbedingung
> [mm]f:=\{(x,y,z)\in\IR^3|(\wurzel{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1\}[/mm]
>
> Folgendes habe ich gemacht:
>
> (grad h)(x,y,z)=(0,0,1)
Hallo,
das sagt Dir, daß die Funktion auf ganz [mm] \IR^3 [/mm] kein lokales Extremum hat. Denn durch keine Wahl von (x,y,z) wird dieser Gradient =(0,0,0).
>
> (grad
> [mm]f)(x,y,z)=(2*(\wurzel{x^2+y^2}-2)*(x^2+y^2)^{-1}*x,2*(\wurzel{x^2+y^2}-2)*(x^2+y^2)^{-1}*x,2z)[/mm]
>
> Nach Vorlesung existiert ein [mm]\lambda\in\IR[/mm] mit (grad
> [mm]h)(x,y,z)=\lambda*(gradf)(x,y,z)[/mm] [was nichts anderes ist,
> als der La-Place Operator]
>
Das mache ich zwar etwas anders, aber da wir dasselbe Gleichungssystem bekommen, dürftest Du es richtig gemacht haben.
> Ich muss also folgendes Gleichungssystem lösen:
>
> [mm]\vmat{ 0=2*\lambda*(\wurzel{x^2+y^2}-2)*(x^2+y^2)^{-1}*x \\ 0= 2*\lambda*(\wurzel{x^2+y^2}-2)*(x^2+y^2)^{-1}*y \\ 1=2*\lambda*z \\(\wurzel{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1 }[/mm]
>
>
> Aus I und II folgt x=y.
Dem Schluß kann ich so schnell nicht folgen.
Ich sehe folgendes:
aus I folgt [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] x^2+y^2=4 [/mm] oder x=0
aus II folgt [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] x^2+y^2=4 [/mm] oder y=0
Ich würd's aber anders angehen (mit dem Ziel, die Hilfsgröße [mm] \lambda [/mm] schnell loszuwerden):
aus III folgt [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] \lambda=\bruch{1}{z}
[/mm]
Nun einmal das GS für [mm] \lambda=0 [/mm] betrachten und einmal für [mm] \lambda=\bruch{1}{z} [/mm] und daraus Schlüsse ziehen.
Gruß v. Angela
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