Extremalprinzipien (Eigenwerte < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Konsi |
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Hallo
Kann mir jemand was zu den Extremalprinzipien (Poincare,Fischer) sagen.
Ich verstehe nicht ganz was damit gemeint ist.
Es heißt wohl das man durch den Rayleigh-Quotient zu jedem Eigenvektor
den zugehörigen Eigenwert berechnen kann.
Ich verstehe die folgende Formel jedoch nicht so richtig:
[mm] \lambda_{j}=max_{X_{j}} min_{x\inX_{j}}(/)
[/mm]
wobei [mm] \lambda_{j} [/mm] die Eigenwerte der Matrix A sind.
Was ist mit: [mm] max_{X_{j}} [/mm] gemeint?
Gruß, Konsi
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Hallo Konsi,
[mm] Ax_i=\lambda_i x_i
[/mm]
Wenn man jetzt beide Seiten mit [mm] x_i^T [/mm] durchmultipliziert verliert man zwar ein paar Freiheitsgrade aber richtig bleibts. Also:
[mm] x_i^TAx_i=x_i^T\lambda_ix_i
[/mm]
[mm] \lamda_i=\bruch{x_i^TAx_i}{x_i^Tx_i}
[/mm]
Also zu jedem Eigenvektor kann man so den Eigenwert bestimmen. Nun nützt einem das i.A. nichts zur Brechnung der Eigenwerte. Aber für bestimmte Klassen von Matrizen ist das Minimum(Maximum) der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{x^TAx}{x^Tx}
[/mm]
gleich dem minimalen(maximalen) Eigenwert.
gruß
mathemaduenn
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