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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mi 23.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Extremstellen bestimmen von
v. f:[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} x^{2}cos(log(x^{2})), & \mbox{für } x \in ]0,1] \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
so nun komme ich hier nicht weiter und brauche dringendst Hilfe!
Habe erstmal die Ableitungen gebildet:
[mm] f'(x)=2x(cos(log(x^{2}))-sin(log(x^{2})))
[/mm]
[mm] f''(x)=2(cos(log(x^{2}))-sin(log(x^{2})))-4(-cos(log(x^{2}))+sin(log(x^{2})))
[/mm]
Dann habe ich die erste Ableitung gleich Null gesetzt:
[mm] 2x(cos(log(x^{2}))-sin(log(x^{2})))=0
[/mm]
Und das ist entweder wenn 2x=0 (bei x=0 - ist definiert durch die Aufgabe, sonst wäre es eine Definitionslücke)
oder bei [mm] cos(log(x^{2}))-sin(log(x^{2}))=0.
[/mm]
Und mit dem letzten Term habe ich Probleme.
Bin folgendermaßen vorgegangen:
Sustitution [mm] z:=log(x^{2})
[/mm]
cos(z)-sin(z)=0
cos(z)=sin(z)
[mm] \bruch{cos(z)}{sin(z)}=\bruch{sin(z)}{sin(z)}
[/mm]
[mm] \bruch{cos(z)}{sin(z)}=1
[/mm]
Und mit [mm] \bruch{cos(z)}{sin(z)}=tan [/mm] z folgt
tan z=1
und dies ist bei [mm] z=\bruch{\pi}{4} [/mm] und bei [mm] z=5\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Mit Rücksubstitution folgt:
1. [mm] log(x^{2})=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
[mm] x^{2}=e^{\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
[mm] x=\wurzel{e^{\bruch{\pi}{4}}} [/mm] >1
2. [mm] log(x^{2})=5\bruch{\pi}{4}
[/mm]
[mm] x^{2}=e^{5\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
[mm] x=\wurzel{e^{5\bruch{\pi}{4}}} [/mm] > 1
Liegt also nicht im Intervall ...
allerdings, weiß ich, dass es ein inneren Tiefpunkt gibt, der im Intervall liegt.
Kann wer helfen??
Silfide
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Hallo silfide,
> Extremstellen bestimmen von
>
> v. f:[0,1] [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} x^{2}cos(log(x^{2})), & \mbox{für } x \in ]0,1] \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> so nun komme ich hier nicht weiter und brauche dringendst
> Hilfe!
>
> Habe erstmal die Ableitungen gebildet:
>
> [mm]f'(x)=2x(cos(log(x^{2}))-sin(log(x^{2})))[/mm]
>
> [mm]f''(x)=2(cos(log(x^{2}))-sin(log(x^{2})))-4(-cos(log(x^{2}))+sin(log(x^{2})))[/mm]
>
> Dann habe ich die erste Ableitung gleich Null gesetzt:
>
> [mm]2x(cos(log(x^{2}))-sin(log(x^{2})))=0[/mm]
>
> Und das ist entweder wenn 2x=0 (bei x=0 - ist definiert
> durch die Aufgabe, sonst wäre es eine Definitionslücke)
> oder bei [mm]cos(log(x^{2}))-sin(log(x^{2}))=0.[/mm]
>
> Und mit dem letzten Term habe ich Probleme.
>
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
> Sustitution [mm]z:=log(x^{2})[/mm]
> cos(z)-sin(z)=0
> cos(z)=sin(z)
>
> [mm]\bruch{cos(z)}{sin(z)}=\bruch{sin(z)}{sin(z)}[/mm]
> [mm]\bruch{cos(z)}{sin(z)}=1[/mm]
>
> Und mit [mm]\bruch{cos(z)}{sin(z)}=tan[/mm] z folgt
>
> tan z=1
>
> und dies ist bei [mm]z=\bruch{\pi}{4}[/mm] und bei
> [mm]z=5\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
Die obige trigonometrische Gleichung hat
unendlich viele Lösungen der Form:
[mm]z_{k}=\bruch{\pi}{4}+k*\pi[/mm]
Bestimme solche Lösungen , die nach Rücktransformation
in das gegebene Intervall passen.
> Mit Rücksubstitution folgt:
>
> 1. [mm]log(x^{2})=\bruch{\pi}{4}[/mm]
> [mm]x^{2}=e^{\bruch{\pi}{4}}[/mm]
> [mm]x=\wurzel{e^{\bruch{\pi}{4}}}[/mm] >1
>
> 2. [mm]log(x^{2})=5\bruch{\pi}{4}[/mm]
> [mm]x^{2}=e^{5\bruch{\pi}{4}}[/mm]
> [mm]x=\wurzel{e^{5\bruch{\pi}{4}}}[/mm] > 1
>
> Liegt also nicht im Intervall ...
> allerdings, weiß ich, dass es ein inneren Tiefpunkt gibt,
> der im Intervall liegt.
>
>
> Kann wer helfen??
>
>
> Silfide
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
2 Hinweise:
1. Die Differenzierbarkeit von f in x=0 solltest Du noch zeigen:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0+0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] existiert und = ?
2. Wegen $|f(x)| [mm] \le x^2 \le [/mm] 1$ für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ , haben wir
$-1 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] 1 $ für $x [mm] \in [/mm] [0,1].$
Weiter ist [mm] $f(1)=1^2 cos(log(1^2))=1*cos(0)=1.$
[/mm]
Damit hat f in x=1 ein absolutes Maximum. Es ist aber $f'(1)=2 [mm] \ne [/mm] 0.$
FRED
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