Extrempunkte von f(x)=x+sin(x) < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x)=-x/2+2sin(x)+pi/2 ->Kf mit -0,5=<x=<6,5
Untersuchen sie Kf auf Extrem- und Wendepunkte |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also die Ableitungen usw. ist mir klar, hoff ich doch...
f'(x)=-1/2+2cos(x)
f''(x)=-2sin(x)
f'''(x)=-2cos(x)
Extrempunkte:
f'(x)=0
x=cos^-1(1/4)=1,318116072
Aber wie finde ich weitere Nullstellen z.B. (laut TR) x=4,9650692
THX schonmal im Voraus
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Hier sind die Grenzen eines Taschenrechners!
Hier muß man Verständnis für die Sache aufbringen!
Reine Tippfertigkeit der Finger reicht nicht!
Dabei ist es eigentlich gar nicht schwer.
I. COSINUS
Die Gleichung [mm]\cos{x} = t[/mm] mit [mm]|t| \leq 1[/mm] löst man so.
1. Man bestimmt mit dem Taschenrechner oder bei charakteristischen [mm]t[/mm]-Werten wie [mm]t = 0, \pm \frac{1}{2} , \pm \frac{\sqrt{2}}{2} , \pm \frac{\sqrt{3}}{2} , \pm 1[/mm] durch direktes Wissen eine Lösung der Gleichung. Nennen wir sie [mm]x_0[/mm].
2. Wegen der Geradheit der Cosinus-Funktion ist auch [mm]x_0' = - x_0[/mm] eine Lösung der Gleichung.
3. Jede dieser beiden Lösungen generiert durch Addition beliebiger ganzzahliger (auch negativer!) Vielfacher von [mm]2 \pi[/mm] eine ganze Lösungsreihe:
[mm]\ldots, \ x_0 - 6 \pi , \ x_0 - 4 \pi , \ x_0 - 2 \pi , \ x_0 , \ x_0 + 2 \pi , \ x_0 + 4 \pi , \ x_0 + 6 \pi , \ldots[/mm]
[mm]\ldots, \ x_0' - 6 \pi , \ x_0' - 4 \pi , \ x_0' - 2 \pi , \ x_0' , \ x_0' + 2 \pi , \ x_0' + 4 \pi , \ x_0' + 6 \pi , \ldots[/mm]
oder abstrakt notiert:
erste Reihe: [mm]x = x_0 + 2 k \pi , \ \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
zweite Reihe: [mm]x = x_0' + 2 k \pi , \ \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
Weitere Lösungen als die genannten gibt es nicht.
II. SINUS
Die Gleichung [mm]\sin{x} = t[/mm] mit [mm]|t| \leq 1[/mm] löst man so.
1. Man bestimmt mit dem Taschenrechner oder bei charakteristischen [mm]t[/mm]-Werten wie [mm]t = 0, \pm \frac{1}{2} , \pm \frac{\sqrt{2}}{2} , \pm \frac{\sqrt{3}}{2} , \pm 1[/mm] durch direktes Wissen eine Lösung der Gleichung. Nennen wir sie [mm]x_0[/mm].
2. Wegen der Symmetrie der Sinus-Funktion bezüglich [mm]x = \frac{\pi}{2}[/mm] ist auch [mm]x_0' = \pi - x_0[/mm] (Unterschied zum Cosinus!) eine Lösung der Gleichung.
3. Jede dieser beiden Lösungen generiert durch Addition beliebiger ganzzahliger (auch negativer!) Vielfacher von [mm]2 \pi[/mm] eine ganze Lösungsreihe:
[mm]\ldots, \ x_0 - 6 \pi , \ x_0 - 4 \pi , \ x_0 - 2 \pi , \ x_0 , \ x_0 + 2 \pi , \ x_0 + 4 \pi , \ x_0 + 6 \pi , \ldots[/mm]
[mm]\ldots, \ x_0' - 6 \pi , \ x_0' - 4 \pi , \ x_0' - 2 \pi , \ x_0' , \ x_0' + 2 \pi , \ x_0' + 4 \pi , \ x_0' + 6 \pi , \ldots[/mm]
oder abstrakt notiert:
erste Reihe: [mm]x = x_0 + 2 k \pi , \ \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
zweite Reihe: [mm]x = x_0' + 2 k \pi , \ \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
Weitere Lösungen als die genannten gibt es nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Sa 10.06.2006 | | Autor: | bullets_4u |
Ok vielen Dank hat mir sehr geholfen, mein Fehler war das ich nur [mm] \pi [/mm] anstelle [mm] 2\pi [/mm] dazugezählt habe, weil ich nicht wusste dass ich einfach den negativen wer auch als Nullstelle benutzen kann und somit nie auf [mm] x_{0}=-cos^{-1}(1/4)+2\pi [/mm] gekommen bin!
nochmals vielen Dank könnte mir am Montag das Leben/ meine Note retten :)
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