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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Sei
[mm] f(x)=\begin{cases} 0{,}5 & \mbox{für } 1 \le x < 0 \\ 1-x & \mbox{für } 0 \le x \le 1 \end{cases}
[/mm]
eine nicht stetige Funktion. Welche Aussage ist richtig?
a) Der Definitionsbereich dieser Funktion ist nicht abgeschlossen.
b) Der Definitionsbereich dieser Funktion ist abgeschlossen und beschränkt. Das ist eine hinreichende Bedingung für Existenz von Maximum und Minimum.
c) Diese Funktion ist nicht stetig und besitzt deswegen kein Maximum und Minimum.
d) Diese Funktion besitzt ein globales Maximum und ein globales Minimum. |
Hallo,
ich hätte wegen dem x<0 gesagt, dass es nicht abgeschlossen ist, aber das ist wohl nicht richtig. Die richtige Antwort ist, das diese Funktion ein globales Maximum und Minimum hat.
Guckt man bei dem abgeschlossenen Definitionsbereich nur auf -1 [mm] \le [/mm] x und x [mm] \le [/mm] 1 und sieht aha dort ist ein [mm] \le [/mm] , also abgeschlossen?
In den Lösungen steht sogar noch, dass diese Funktion ein globales Maximum im Punkt x = 0 und globale sMinimum im Punkt x = 1 hat.
Wie kommt man jedoch drauf?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Do 30.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Definitionsbereich einer Funktion besteht doch aus all denjenigen Zahlen x, für die ein f(x)-Wert definiert ist.
Jetzt stellst du dir die Fragen : Kann ich aus der gegebenen Funktionsvorschrift den Funktionswert für x = -0,3 ausrechnen ?, für x = 1 ?, für x = 0 ? für x = -2 ? Alle x-Werte, für die die Antwort "ja" lautet, gehören zum Definitionsbereich. Danach kannst du die Frage nach der Abgeschlossenheit beantworten. Du musst immer den Bereich für die Funktion insgesamt im Auge haben, nicht die Einzelbereiche für die Abschnitte, in denen die jeweiligen Zuordnungsvorschriften zur Anwendung kommen.
Beachte bei b. und c., dass dort Aussagen der Form "Weil ... deshalb ..." gemacht werden. Gefragt ist nicht, ob die weil-Aussage oder die deshalb-Aussage richtig ist, sondern ob die Implikation gilt.
Mache dir am besten eine Skizze vom Graphen der Funktion, dann siehst du klarer.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Do 30.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Okey, also ist es abgeschlossen, weil gilt -1 [mm] \le [/mm] x und x [mm] \le [/mm] 1.
Wenn da stehen würde im ersten -1 [mm] \le [/mm] x und im zweiten x<1, wäre es aber nicht abgeschlossen, oder?
Und auch wenn im ersten statt x [mm] \le [/mm] 0 jetzt x [mm] \le [/mm] -0,5 stehen würde, hätte dies keinen Einfluss auf die Abschlossenheit, da es ja quasi "innerhalb" ist und somit keine Relevanz hat?
In den Lösungen steht, dass diese Funktion ein globales Maximum im Punkt x = 0 und globales Minimum im Punkt x = 1 hat.
Ist das so weil für x=1 f(x)= 1-1 = 0 rauskommt und für f(x)= 1-0 = 1 und damit Maximum und Minimum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Do 30.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Okey, also ist es abgeschlossen, weil gilt -1 [mm]\le[/mm] x und x
> [mm]\le[/mm] 1.
Ja.
>
> Wenn da stehen würde im ersten -1 [mm]\le[/mm] x und im zweiten
> x<1, wäre es aber nicht abgeschlossen, oder?
>
Ja.
> Und auch wenn im ersten statt x [mm]\le[/mm] 0 jetzt x [mm]\le[/mm] -0,5
> stehen würde, hätte dies keinen Einfluss auf die
> Abschlossenheit, da es ja quasi "innerhalb" ist und somit
> keine Relevanz hat?
Im ersten steht doch x<0.
Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Intervallen ist allerdings abgeschlossen. Wenn es statt x<0 heißen würde x<-0,5 wäre der Definitionsbereich nicht abgeschlossen.
>
> In den Lösungen steht, dass diese Funktion ein globales
> Maximum im Punkt x = 0 und globales Minimum im Punkt x = 1
> hat.
>
> Ist das so weil für x=1 f(x)= 1-1 = 0 rauskommt und für
> f(x)= 1-0 = 1 und damit Maximum und Minimum?
Besser : Minimum und Maximum (gleiche Reihenfolge)
Ja, und insbesondere deshalb, weil es keine kleineren als 0 und keine größeren als 1 Funktionswerte gibt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 02.02.2014 | | Autor: | Mathics |
> > Wenn da stehen würde im ersten -1 [mm]\le[/mm] x und im zweiten
> > x<1, wäre es aber nicht abgeschlossen, oder?
> >
>
> Ja.
>
> > Und auch wenn im ersten statt x [mm]\le[/mm] 0 jetzt x [mm]\le[/mm] -0,5
> > stehen würde, hätte dies keinen Einfluss auf die
> > Abschlossenheit, da es ja quasi "innerhalb" ist und somit
> > keine Relevanz hat?
>
> Im ersten steht doch x<0.
> Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Intervallen ist
> allerdings abgeschlossen. Wenn es statt x<0 heißen würde
> x<-0,5 wäre der Definitionsbereich nicht abgeschlossen.
Aber muss man denn nicht die gesamte Funktion anschauen und nicht nur die Teile quasi. Ich mein es gilt ja immer noch für die gesamte Funktion -1 [mm] \le [/mm] x und x [mm] \le [/mm] 1
LG
Mathics
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Hallo,
> > > Wenn da stehen würde im ersten -1 [mm]\le[/mm] x und im zweiten
> > > x<1, wäre es aber nicht abgeschlossen, oder?
> > >
> >
> > Ja.
> >
> > > Und auch wenn im ersten statt x [mm]\le[/mm] 0 jetzt x [mm]\le[/mm] -0,5
> > > stehen würde, hätte dies keinen Einfluss auf die
> > > Abschlossenheit, da es ja quasi "innerhalb" ist und somit
> > > keine Relevanz hat?
> >
> > Im ersten steht doch x<0.
> > Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Intervallen
> ist
> > allerdings abgeschlossen. Wenn es statt x<0 heißen würde
> > x<-0,5 wäre der Definitionsbereich nicht abgeschlossen.
>
> Aber muss man denn nicht die gesamte Funktion anschauen und
> nicht nur die Teile quasi. Ich mein es gilt ja immer noch
> für die gesamte Funktion -1 [mm]\le[/mm] x und x [mm]\le[/mm] 1
Andersherum wird ein Schuh daraus: die Funktion ist auf dem Intervall [mm] -1\le{x}\le{1} [/mm] definiert. Und dass man den ganzen Definitionsbereich anschauen muss, das schrieb dir doch Sax schon.
PS: es ist dies auch wieder so eine Frage, die so hingeschrieben ist, wie sie dir gerade in den Sinn gekommen war. Das Problem daran ist, das man nicht wirklich verstehen kann, worin dein Problem liegt. Du (bzw. nicht nur du, das wird hier gerade Mode...) musst solche Fragen präziser formulieren, dann kann man auch zielführend helfen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 02.02.2014 | | Autor: | Mathics |
Okey, da hast du Recht!
Ich versuche mal meine Gedanken besser zu sortieren:
Als ich dir Aufgabe begonnen habe, dachte ich es ist nicht abgeschlossen, weil im ersten Teil x<0 steht. Dann habe ich von Sax gelernt, dass man sich die gesamte Funktion anschauen muss, folglich habe ich das so verstanden, dass ich ein Ende der Funktion -1 [mm] \le [/mm] x und das andere Ende der Funktion x [mm] \le [/mm] 1 anschaue. Da in beiden [mm] \le [/mm] steht, also das letzte Stück am Rand im Defintionsbereich enthalten ist - bildlich gesprochen: ich schneide eine Wurst mit dem Messer und die letzte Scheibe klebt nicht an meinem Messer, sondern gehört noch zur Wurst. :) - ist es abgeschlossen.
Schließlich dachte ich dann: Ok, wenn ich Anfang und Ende anschauen muss, dann kann ich statt x<0 ja auch was anderes, z.B. x<0,5 einsetzen und das wäre dann ja trotzdem abgeschlossen.
Aber so wie ich die letzte Antwort von Sax verstanden habe, ist mein Gedankengang nicht ganz korrekt.
Deshalb ist meine Frage, wieso ich mit meiner Schlussfolgerung und dem Gedankengang falsch liege.
LG
Caner
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Hallo,
> Okey, da hast du Recht!
>
> Ich versuche mal meine Gedanken besser zu sortieren:
>
> Als ich dir Aufgabe begonnen habe, dachte ich es ist nicht
> abgeschlossen, weil im ersten Teil x<0 steht. Dann habe ich
> von Sax gelernt, dass man sich die gesamte Funktion
> anschauen muss, folglich habe ich das so verstanden, dass
> ich ein Ende der Funktion -1 [mm]\le[/mm] x und das andere Ende der
> Funktion x [mm]\le[/mm] 1 anschaue.
Du schaust hier nicht die Funktrion selbst an, sondern nur ihren Definitionsbereich, also zunächst einmal eine Menge reeller Zahlen.
> Da in beiden [mm]\le[/mm] steht, also das
> letzte Stück am Rand im Defintionsbereich enthalten ist -
> bildlich gesprochen: ich schneide eine Wurst mit dem Messer
> und die letzte Scheibe klebt nicht an meinem Messer,
> sondern gehört noch zur Wurst. :) - ist es abgeschlossen.
Das ist noch nicht die ganze Wahrheit. Da werden zwei Intervalle, ein halboffenes und ein abgeschlossenes an der Stelle x=0 'verklebt'. Da die 'Klebestelle' selbst in dem neuen Intervall enthalten ist, also um bei deinem Bild zu bleiben, kein Wursträdchen fehlt, hängen die beiden Intervalle also zusammen. Die Ränder sind abgeschlossen, also ist der Definitionsbereich abgeschlossen.
>
> Schließlich dachte ich dann: Ok, wenn ich Anfang und Ende
> anschauen muss, dann kann ich statt x<0 ja auch was
> anderes, z.B. x<0,5 einsetzen und das wäre dann ja
> trotzdem abgeschlossen.
> Aber so wie ich die letzte Antwort von Sax verstanden habe,
> ist mein Gedankengang nicht ganz korrekt.
Jetzt kommt das Problem, dass es eben doch nicht nur um reelle Intervalle geht. Wenn dem so wäre, dann wäre nämlich deine obige Überlegung - swoeit ich sie richtig verstanden habe - korrekt. Es geht aber um die Definitionsmenge einer Funktion, und wenn man das machen würde, was du da vorhast, dann hätte deine Funktion auf dem Intervall [0;0.5) zwei unterschiedliche Funktionsvorschriften. Das widerspricht dem Konzept der Funktion, das brauchen wir denke ich nicht weiter zu vertiefen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 So 02.02.2014 | | Autor: | Mathics |
Stimmt, mit x<0,5 wäre das ein Widerspruch, da man zwei verschiedene Funktionswerte erhält.
Wenn ich x<-0,5 habe, wäre der Definitionsbereich dann nicht abgeschlossen, weil die beiden Teile der Funktion nicht mehr so passend aneinander geklebt werden können und damit die -0,5, das letzte Stück sozusagen, nicht mehr im Definitionsbereich enthalten ist, richtig?
LG
Mathics
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Hallo,
> Stimmt, mit x<0,5 wäre das ein Widerspruch, da man zwei
> verschiedene Funktionswerte erhält.
Ja, aber eben das gibt es nicht!
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> Wenn ich x<-0,5 habe, wäre der Definitionsbereich dann
> nicht abgeschlossen, weil die beiden Teile der Funktion
Sage besser: die beiden Intervalle, aus denen der Definitionsbereich besteht.
> nicht mehr so passend aneinander geklebt werden können und
> damit die -0,5, das letzte Stück sozusagen, nicht mehr im
> Definitionsbereich enthalten ist, richtig?
Das Intervall (-0.5,0] wäre dann nicht enthalten und der Definitionsbereich somit nicht abgeschlossen. Allerdings ist die ganze Sache doch etwas spitzfindig geworden. Dich interessieren die Extremwerte. Abgeschlossenheit und Beschränktheit zusammen impliziert die Existenz von jeweils mindestens einem Maximum und Minimum. Aber das Nicht-Vorliegen einer dieser beiden Eigenschaften bedeutet ja nicht den Umkehrschluss. Unsere kleine Debatte ist somit für deine ursprüngliche Frage nicht wirklich von Bedeutung. 
Gruß, Diophant
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