Extremstellen - wie errechnen? < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe als absoluter mathematischer Heimwerker eine Frage zur Extremstellenberechnung. Wie wird das gemacht? Ich habe absolut keine Ahnung wie ich vorgehen muss. Gibt es vielleicht sogar eine Anleitung im Netz? Gefunden habe ich nichts.
Es geht um folgende Aufgabenstellung:
Bestimme die Extremstellen (als Dezimalzahlen) der Funktion:
f(x) = 8x³ - 2x²
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schon mal Danke.
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Hallo,
tja ich hoffe, du bist mit dem Begriff der Ableitung vertraut. Man bildet von f die ersten zwei Ableitungen f' und f''. Anschließen setzst du die 1. Ableitung gleich 0 und löst nach x auf. Du erhältst dann in deinem Fall zwei x, die die Gleichung lösen. Dieses gefundene x setzst du in die 2. Ableitung. Ist deren Wert positiv, so Minimum, negativ, so Maximum.
Also...
[mm] f'(x)=24x^{2}-4x
[/mm]
[mm] 24x^{2}-4x=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x(24x-4)=0
[mm] \gdw [/mm] x=0 oder [mm] x=\bruch{1}{6}
[/mm]
Die zweite Ableitung lautet f''(x)=48x-4. Das Einsetzen schaffst du jetzt allein oder?
Kennst du den Begriff "Ableitung" nicht, kannst du dir z.B. den Graphen zeichnen. Dort wo sich das Monotonieverhalten ändert, sind Extremstellen.
Beste Grüße
Daniel
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Ja, Ableitung ist bekannt. Bei so einfachen Aufgaben bekomme ich die noch hin.
Jetzt hattest du die Antwort schon reserviert und ich
wollte noch etwas hinzuschreiben.
Die Antwort soll folgende Form haben:
Extremstellenpaare nach der Größe der x-Werte ordnen:
x1=
y1=
x2=
y2=
x3=
y3=
Wie komme ich jetzt auf die y Werte?
Und schon mal danke für die Hilfe bis jetzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo linx-linx!
Um die zugehörigen y-Werte (= Funktionswerte) zu erhalten, musst Du die ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion $f(x) \ = \ [mm] 8x^3-2x^2$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
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Also fange einfach mal an so wie ich das verstanden habe:
f (x) = 8x³ - 2x²
f' (x) = 24x² - 4x
f''(x) = 48x - 4
Erste Ableitung = 0 setzen.
24x² - 4x = 0
x1 = 0
x2 = 4
einsetzen der x Werte in f''
48*0 - 4 bzw. 48*4 - 4
x=-4
x=188
Und da hört es dann auf. Oha, ich und Mathe,... das wird nie was,...
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Hallo
> Also fange einfach mal an so wie ich das verstanden habe:
>
> f (x) = 8x³ - 2x²
> f' (x) = 24x² - 4x
> f''(x) = 48x - 4
>
> Erste Ableitung = 0 setzen.
>
> 24x² - 4x = 0
>
> x1 = 0
Bis dahin ist alles richtig
> x2 = 4
>
Das stimmt allerdings nicht.
Klammere doch x zuerst aus.
f''(x) gibt die Krümmung bzw die Änderung der Steigung der Tangente an der Stelle x an.
falls f''(x)>0 wird die Steigung der Tangente immer größer: Der Graph
der Funktion f(x) ist linksgekrümmt--->dann ist die mögliche Extremstelle ein Minimum
falls f''(x)<0 wird die Steigung der Tangente immer ....
Es ist f''(0)=-4
Was folgt daraus?
Liegt ein Minimum oder ein Maximum vor?
Gruß
Reinhold
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Was das im genauen ist, geht aus der Aufgabe nicht hervor. Ich soll nur einfach die Werte berechnen.
24x² - 4x = 0
Ist das keine quadratische Gleichung die man einfach ausrechnen kann?
ausgeklammert wäre das ja dann:
x(24x - 4)= 0
Aber wie dann weiter?
Es geht mir hier nur um den Rechenweg. Also so einen Leitfaden wie ich Schritt für Schritt vorgehen muss. Damit bekomme ich das meist hin.
Entschuldigung das ich so nerve, aber wie oben schon mal geschrieben, bin ich mathematisch ganz und gar nicht bewandert.
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Ja, das ist eine quadratische Gleichung.
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Es muss also x=0 und 24x-4=0 sein.
Gruß
Reinhold
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 12.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also fange einfach mal an so wie ich das verstanden habe:
>
> f (x) = 8x³ - 2x²
> f' (x) = 24x² - 4x
> f''(x) = 48x - 4
>
> Erste Ableitung = 0 setzen.
>
> 24x² - 4x = 0
daraus x*(6x-1)=0
daraus [mm] x_1=0 [/mm]
[mm] 6x_1-1=0
[/mm]
> x1 = 0
> x2 = 4
falsch.
> einsetzen der x Werte in f''
>
> 48*0 - 4 bzw. 48*4 - 4
>
> x=-4
Das ist nicht x, sondern f(x1)=y1
entsprechend, wenn du den richtigen Wert von [mm] x_2 [/mm] einsetzt bekommst du [mm] y_2!
[/mm]
Dann die x- Werte in f'' einsetzen um festzustellen, obs Max oder Min sind:
Gruss leduart
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So, also dann nochmal mit einer anderen Aufgabenstellung:
f (x)= 2x³ - 3x²
f' (x)= 6x² - 6x
f''(x)=12x - 6
Erste Ableitung Null setzen.
6x² - 6x = 0
x ausklammern.
x(6x - 6) = 0
x(x - 1) = 0
Aber dann weiss ich einfach nicht weiter. Bin wohl einfach nur zu doof. *seufz*
Als Ergebnisvorgabe habe ich dann auch wieder:
x1 =
y1 =
x2 =
y2 =
x3 =
y3 =
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 So 12.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Hast du überhaupt meinen Beitrag gelesen?
Einer der Faktoren von einem Produkt muss 0 sein.
Beispiel: x*y=0
x=0
y=0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 So 12.08.2007 | | Autor: | linx-linx |
Ja, gelesen schon, aber mit dem verstehen hapert es,...
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> So, also dann nochmal mit einer anderen Aufgabenstellung:
>
> f (x)= 2x³ - 3x²
> f' (x)= 6x² - 6x
> f''(x)=12x - 6
>
> Erste Ableitung Null setzen.
>
> 6x² - 6x = 0
>
> x ausklammern.
>
> x(6x - 6) = 0
>
> x(x - 1) = 0
>
> Aber dann weiss ich einfach nicht weiter. Bin wohl einfach
> nur zu doof. *seufz*
Ach was! Steter Tropfen höhlt den Stein!
Du solltest Dir nun überlegen, warum Du die 1.Ableitung =0 gesetzt hast.
Falls Du es vergessen hast: Du wolltest nachschauen, für welche x die 1. Ableitung =0 ist.
Das wolltest Du tun, weil Du wissen wolltest, an welchen Stellen die Tangente waagerecht (Steigung=0) ist.
Nun hast Du herausgefunden, daß die 1. Ableitung genau dann =0 ist, wenn x(x - 1) = 0.
Und? Für welche x wird dieser Ausdruck =0? Wenn einer der Faktoren=0 ist. Was mußt Du also für x einsetzen?
Es gibt 2 Möglichkeiten.
[mm] x_1= [/mm] ... und [mm] x_2= [/mm] ...
Gruß v. Angela
>
> Als Ergebnisvorgabe habe ich dann auch wieder:
>
> x1 =
>
> y1 =
>
> x2 =
>
> y2 =
>
> x3 =
>
> y3 =
>
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bei x1 = 1 ???
x2 keinen Plan.
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x*y wird 0, wenn x=0 und/oder y=0
In deinem Beispiel [x(6x-6)=0] ist y=(6x-6)
Es muss 6x-6=0 für eine Extremstelle gelten
Das kannst du sicherlich nach x umstellen.
Außerdem muss x=0 sein, da 0*Zahl=0.
Hast du es jetzt verstanden?
Gruß
Reinhold
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 So 12.08.2007 | | Autor: | linx-linx |
Nein. Eben zu dumm. :-( Entschuldigung das ich euch eure kostbare Zeit stehle. Kann das nicht mal einer einfach Schritt für Schritt vorgeben. So Stück für Stück kann ich das für mich nicht zusammensetzen,...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 So 12.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Was verstehst denn du jetzt am Extremstellen berechnen nicht?
Das Lösen von Gleichungen sollte doch kein Problem sein, oder?
Die quadratischen Gleichungen kannst du natürlich auch mit pq-Formel lösen. Ist genau so richtig!
Gruß
Reinhold
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ja aber warum wurde dann oben geschrieben, das wäre falsch.
Also nochmal. Ich erstelle die 1. und 2. Ableitung.
Dann setze ich die 1. Ableitung = 0.
Dann habe ich eine quadratische Gleichung. Die kann ich doch ganz einfach ausrechnen. Warum soll ich da etwas ausklammern?
Kann nicht jemand mal einfach diese Rechnung Schritt für Schritt hier aufzeigen?
Also wie ich auf diese Ergebnisse komme. Vielleicht kapiere ich es dann. Meinetwegen auch mit einer andere Funktion. Nicht das noch jemand denkt, ich möchte euch rechnen lassen. Ich verstehe es einfach nicht.
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> ja aber warum wurde dann oben geschrieben, das wäre falsch.
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> Also nochmal. Ich erstelle die 1. und 2. Ableitung.
>
> Dann setze ich die 1. Ableitung = 0.
>
> Dann habe ich eine quadratische Gleichung. Die kann ich
> doch ganz einfach ausrechnen. Warum soll ich da etwas
> ausklammern?
Hallo,
natürlich kannst Du Deine Gleichung so ausrechnen, wie es Dir am bequemsten ist. Manchmal gibt es eben mehrere Möglichkeiten.
Wenn Du es mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung machen willst, dann mach es doch!
Das mit dem Ausklammern des x ist eine schnelle Methode, wenn man keinen Term ohne x in der Gleichung hat.
Aber es ist völlig schnuppe, WIE Du zur Lösung kommst - sofern es auf "legalen" Wegen geschieht.
Was bekommst Du denn heraus, wenn Du f' (x)= 6x² - 6x =0, also 6x² - 6x =0, mit Deinem Verfahren löst?
Wenn Du 0 und 1 bekommst, hast Du die richtige Lösung.
Das sind dann Stellen, an denen die Funktion Extremwerte haben kann.
Als nächstes setzt Du [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] in die zweite Ableitung ein und schaust, ob das, was Du bekommst größer oder kleine als Null ist.
größer: dann hast Du an der eingesetzen Stelle ein Minimum.
kleiner: dann hast Du an der eingesetzten Stelle ein Maximum.
(Pech hast Du, wenn 0 herauskommt. Dann kannst Du' ohne weitere Rechnung nicht entscheiden.)
Achso. Und am Ende brauchst Du ja noch die y-Werte zu Deinen x-Werten.
Das geht dann durch Einsetzen in die Funktion: f(0)=... und f(1)=...
Gruß v. Angela
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Ok, danke. Ich habe einen Fehler von mir weiter oben gefunden. Hatte die quadratische Gleichung in der Normalform oder wie die heisst gesehen. Und dann war es eben falsch.
Bekomme bei der 6x²-6x=0
für x1 = 0 und für x2 = 1 heraus. (Mache das einfach mal so weiter, weil es für mich am einfachsten und am wenigsten verwirrend ist. Ist ja "legal".)
Das setze ich in die 2. Ableitung ein und rechne das aus.
Dann habe ich
f''(0) = 12(0) - 6
= -6
f''(1) = 12(1) - 6
= 6
richtig?
Das setze ich dann in die Funktion f (x)= 2x³ - 3x² ein.
f (-6)= 2(-6³) - 3(-6²)
y1 = -540
f ( 6)= 2(6³) - 3(6²)
y2 = 324
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> Ok, danke. Ich habe einen Fehler von mir weiter oben
> gefunden. Hatte die quadratische Gleichung in der
> Normalform oder wie die heisst gesehen. Und dann war es
> eben falsch.
>
> Bekomme bei der 6x²-6x=0
>
> für x1 = 0 und für x2 = 1 heraus. (Mache das einfach mal so
> weiter, weil es für mich am einfachsten und am wenigsten
> verwirrend ist. Ist ja "legal".)
>
> Das setze ich in die 2. Ableitung ein und rechne das aus.
>
> Dann habe ich
> f''(0) = 12(0) - 6
> = -6
> f''(1) = 12(1) - 6
> = 6
>
> richtig?
>
Jawohl, bis hierhin ist alles richtig
> Das setze ich dann in die Funktion f (x)= 2x³ - 3x² ein.
>
Nein, da hast du etwas falsch verstanden.
Mit Hilfe der 2 Ableitung prüft man, ob es bei diesen kritischen Punkten (wenn ich sie mal so nennen darf), die du schon oben halb ausgerechnet hast, um Minima oder Maxima handelt.
Die Frage, wann es sich um Minima und Maxima handelt, wurde schon mehrmals beantwortet
Mit "halb" ausgerechnet meine ich, dass du schon die x-Koordinate des Punktes bestimmt hast, die y-Koordinate jedoch noch nicht.
Um die y-Koordinate dieser "kritischen Punkte" zu bestimmen, musst du die x-Koordinate der möglichen Extrempunkte, wie Loddar schon erwähnt hat, in die Ausgangsfunktion f(x)=2x³-3x² einsetzen.
In deinem Beispiel setzt du 0 und 1 in f(x) ein.
Gruß
Reinhold
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Ah jetzt ja! Erstmal danke an alle für eure Geduld.
Ich werde morgen mal noch ein paar Funktionen durchrechnen. Kam mir bei den hohen y-Werten schon komisch vor.
Jetzt nur noch eine letzte Frage:
In der Aufgabenstellung habe ich ja noch x3 bzw y3 vorgegeben. Was mache ich damit? Sind die bei der Funktion nicht existent?
Danke nochmal,
ein beruhigt schlafen gehen könnender
linx-linx
Ihr seid Klasse!
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Bei deiner Aufgabe gibt es definitiv nur zwei Extrempunkte. Also sind x3 und y3 in dieser Aufgabe nicht existent, falls der Punkt P(x3|y3) ein Extrempunkt sein soll.
Gruß
Reinhold
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