www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Extremstellen berechnen
Extremstellen berechnen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Exp- und Log-Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Extremstellen berechnen: Hilfestellungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Aufgabe
Berechnen Sie für x>0 alle lokalen Extremstellen und Extremwerte von f in Abhängigkeit von n, n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}. Handelt es sich um Maxima oder Minima?
a) [mm] f(x)=x^{n}*e^{-x} [/mm]
b) [mm] f(x)=x*e^{-n*x} [/mm]

Ich weiß zwar das ich die Ableitungen machen muss, und f'(x)=0, sowie f''(x)<>0 sein müssen, aber bis dahin komme ich gar nicht erst...
zu a)
Bei a) komme ich ab folgendem Punkt nicht mehr weiter:
[mm] f(x)=x^{n}*e^{-x} [/mm]
[mm] f'(x)=nx^{(n-1)}*e^{-x}+x^{n}*(-e^{-x}) [/mm] = [mm] e^{-x}*(nx^{(n-1)}-x^{n}) [/mm]
[mm] f''(x)=(-e^{-x})*(nx^{(n-1)}-x^n)+e^{-x}*((n^2-n)x^{(n-2)}-nx^{(n-1)}) [/mm]
       [mm] =e^{-x}(-nx^{(n-1)}+x^n+(n^2-n)x^{(n-2)}-nx^{(n-1)}) [/mm]
       [mm] =e^{-x}(-2nx^{(n-1)}+x^n+(n^2-n)x^{(n-2)}) [/mm]
notw. Bed.: f'(x)=0
[mm] e^{-x}(nx^{(n-1)}-x^n)=0 [/mm]

zu b)
Bei b) stocke ich noch früher:
[mm] f(x)=x*e^{-n*x} [/mm]
[mm] f'(x)=1*e^{-nx}+x*(-ne^{-nx})=e^{-nx}*(-nx)=-nxe^{-nx} [/mm]
[mm] f''(x)=(-nx)(-nx)e^{-nx}=(nx)(nx)e^{-nx} [/mm]

ICh hoffe mir kann jemand helfen
Danke schon mal

        
Bezug
Extremstellen berechnen: zu Teilaufgabe (a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Sa 29.01.2011
Autor: Loddar

Hallo Kruemel!



>  Bei a) komme ich ab folgendem Punkt nicht mehr weiter:
>  [mm]f(x)=x^{n}*e^{-x}[/mm]
>  [mm]f'(x)=nx^{(n-1)}*e^{-x}+x^{n}*(-e^{-x})[/mm] = [mm]e^{-x}*(nx^{(n-1)}-x^{n})[/mm]

[ok]


> [mm]f''(x)=(-e^{-x})*(nx^{(n-1)}-x^n)+e^{-x}*((n^2-n)x^{(n-2)}-nx^{(n-1)})[/mm]

[ok]

> [mm]=e^{-x}(-nx^{(n-1)}+x^n+(n^2-n)x^{(n-2)}-nx^{(n-1)})[/mm]

Hier hast Du das Minuszeichen (wieseo eigentlich) nur halbherzig in die Klammer multipliziert.


> notw. Bed.: f'(x)=0
>  [mm]e^{-x}(nx^{(n-1)}-x^n)=0[/mm]

[ok] [mm] $e^{-x}$ [/mm] kann nie Null werden, so dass Du nur die Klammer betrachten musst.
Klammere zunächst [mm] $x^{n-1}$ [/mm] aus.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Extremstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Wie soll ich denn [mm] x^{n-1} [/mm] ausklammern, ich habe das doch nur einmal da stehen, das andere x ist doch [mm] x^n [/mm] und nicht [mm] x^{n-1} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Extremstellen berechnen: Potenzrechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Sa 29.01.2011
Autor: Loddar

Hallo Krümel!


Das ist einfache Potenzrechnung. Es gilt:

[mm] $x^n [/mm] \ = \ [mm] x^{n-1+1} [/mm] \ = \ [mm] x^{n-1}*x^1$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Extremstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Ok, dann hätte ich also: [mm] x^{(n-1)}(n-x)=0 [/mm]
Dann könnte ich das glaube ich auch so schreiben:
[mm] x^{(n-1)}=0 [/mm] (Wie löse ich das nach x auf?)    und
n-x=0 woraus folgt x1=n
Ist bei dieser Idee irgendetwas Brauchbares dabei, ich weiß, ich bin nicht wirklich bewandert in Mathe :(

Bezug
                                        
Bezug
Extremstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Sa 29.01.2011
Autor: DrNetwork


> Ok, dann hätte ich also: [mm]x^{(n-1)}(n-x)=0[/mm]
>  Dann könnte ich das glaube ich auch so schreiben:
>  [mm]x^{(n-1)}=0[/mm] (Wie löse ich das nach x auf?) und
>  n-x=0 woraus folgt x1=n

Ich bin grad nicht genau sicher ob man das so aufspalten kann, aber ich antworte dir zu deinem Problem [mm]x^{(n-1)}=0[/mm].

Und zwar sieht das kompliziert aus, ist es aber nicht.
Wie löst du sowas [mm] x^2 [/mm] = 4 - [mm] \sqrt[2]{4} [/mm] = |2|? Genau so löst man [mm] x^{(n-1)}=0. [/mm]
[mm] x=\sqrt[n-1]{0} [/mm]

> Ist bei dieser Idee irgendetwas Brauchbares dabei, ich
> weiß, ich bin nicht wirklich bewandert in Mathe :(


[edit] Ich find den "teilweise beantwortet"-Knopf nicht ...

Bezug
                                                
Bezug
Extremstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Das würde dann also heißen ich hätte x1=n und x2=0 ???
Dann setzte ich das einfach mal in die zweite Ableitung ein:
f''(0)=1  
Das ist größer als 0, also ein Minimum bei TP (0/0)
Stimmt das?
[mm] f''(n)=e^{-n}(-2n*n^{(n-1)}+n^n+(n^2-n)n^{(n-2)}) [/mm]
       [mm] =e^{-n}-2n^n+n^n+(n^3-n^2)n^{(n-2)}) [/mm]
       [mm] =e^{-n}-n^n+(n^3-n^2)^{(n-2)} [/mm]
Angenommen das wäre richtig, dann habe ich trotzdem keine Ahnung, was jetzt Hoch- bzw. Tiefpunkte in Abhängigkeit von n wären  


Bezug
                                                        
Bezug
Extremstellen berechnen: Monotonieverh. statt 2. Abl.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Sa 29.01.2011
Autor: MaTEEler

Hallo Kruemel1008,

die beiden Stellen mit waagrechter Tangente sind [mm] x_{1}=n [/mm] und [mm] x_{2}=0, [/mm] richtig!!!

Du hast jetzt zwei Möglichkeiten, entweder du benutzt die zweite Ableitung oder du untersuchst das Monotonieverhalten:

Da die zweite Ableitung kein wirklich ansehnlicher Term ist und nach Einsetzen von n nicht gerade klarer wird, was Sache ist, würde ich empfehlen, die Frage nach der Art des Extremums mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion f zu klären.

Hierfür brauchst du die zweite Ableitung nämlich gar nicht zu bilden, sondern es genügt die Betrachtung der ersten Ableitung, sprich der Steigung, in entsprechenden Intervallen von x.

Ist dir das Verfahren bekannt? Am übersichtlichsten ist es meiner Meinung nach mit einer Monotonie-Tabelle.

MfG,
MaTEEler


PS.: Mir ist aufgefallen, wenn man die zweite Ableitung geschickt aufstellt, klappt das prima und man sieht sofort welches Vorzeichen f´´(n) hat.
Hierfür musst du allerdings die zweite Ableitung am besten ausgehend von der ersten Ableitung der Form mit dem ausgeklammerten [mm] x^{n-1} [/mm] bilden. Mit Anwendung der Produktregel und keinen (!) weiteren Umformungen fallen dann nämlich zwei der drei Summanden nach Einsetzen von n weg, da diese jeweils einen Faktor (x-n) enthalten. Der Summand der stehen bleibt lässt sich dann mit Erinnerung an n [mm] \in \IN [/mm] und dem Wissen von [mm] e^{x}>0 [/mm] für allel x sehr schnell untersuchen.

Bezug
                                                                
Bezug
Extremstellen berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Tut mir Leid, davon hab ich noch nie was gehört

Bezug
                                                                        
Bezug
Extremstellen berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

tut mir leid, davon hab ich noch nie was gehört

Bezug
                                                                                
Bezug
Extremstellen berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Sa 29.01.2011
Autor: MaTEEler

Dann probiers doch am einfachsten mal mit der 2. Ableitung wie ich es noch unter PS beschrieben hab. Das klappt eigentlich prima und geht auch recht schnell und einfach. Voraussetzung dafür ist, dass du die 2. Ableitung dafür in der richtigen Form erhälst. Das kriegst du aber, wie beschrieben, wenn du die erste Ableitung ableitest. Und zwar die Darstellung der ersten Ableitung, in der der Term [mm] x^{n-1} [/mm] ausgeklammert ist.
Die hast du doch, oder?!

Falls nicht, das ist die Form der ersten Abl. von der ich rede:

[mm] f´_{n}(x)=(n-x)*x^{n-1}*e^{-x} [/mm]

Diese erste Ableitung einfach noch einmal ableiten (Produktregel beachten, 3 Faktoren!) und dann n einsetzen!

Gruß,
MaTEEler

Bezug
        
Bezug
Extremstellen berechnen: zu Teilaufgabe (b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Sa 29.01.2011
Autor: Loddar

Hallo!

>  Bei b) stocke ich noch früher:
>  [mm]f(x)=x*e^{-n*x}[/mm]
>  [mm]f'(x)=1*e^{-nx}+x*(-ne^{-nx})[/mm]

Bis hierhin stimmt es.


> [mm]=e^{-nx}*(-nx)=-nxe^{-nx}[/mm]

Dann klammerst Du falsch aus.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Extremstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Wie soll ich das denn sonst ausklammern ?

Bezug
                        
Bezug
Extremstellen berechnen: ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Sa 29.01.2011
Autor: Loddar

Hallo!


> Wie soll ich das denn sonst ausklammern ?

Richtig, so dass auch zwei Summanden in der Klammer verbleiben:

[mm] f'(x) \ = \ 1*e^{-n*x}+x*\left(-n*e^{-n*x}\right) \ = \ e^{-n*x}*\left(\red{1}-n*x\right) [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Extremstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Uuups, dann versuche ich jetzt mal die zweite Ableitung:
[mm] f''(x)=-ne^{-nx}*(1-nx)+e^{-nx}*(-n) [/mm]
       [mm] =-ne^{-nx}*(1-nx)-ne^{-nx} [/mm]
       [mm] =-ne^{-nx}((1-nx)+1) [/mm]
       [mm] =-ne^{-nx}(1-nx+1) [/mm]
       [mm] =-ne^{-nx}(2-nx) [/mm]
notw. Bed.: f'(x)=0
[mm] e^{-nx}(1-nx)=0 [/mm]
Kann [mm] e^{-nx} [/mm] jetzt auch nicht null sein? -> Ich gehe jetzt einfach mal davon aus, also müsste ich dann ja nur die Klammer betrachten:
1-nx=0
x=1/n

Bezug
                                        
Bezug
Extremstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Sa 29.01.2011
Autor: DrNetwork


> Uuups, dann versuche ich jetzt mal die zweite Ableitung:
>  [mm]f''(x)=-ne^{-nx}*(1-nx)+e^{-nx}*(-n)[/mm]
>         [mm]=-ne^{-nx}*(1-nx)-ne^{-nx}[/mm]
> [mm]=-ne^{-nx}((1-nx)+1)[/mm]
>         [mm]=-ne^{-nx}(1-nx+1)[/mm]
>         [mm]=-ne^{-nx}(2-nx)[/mm]

Ich gehe mal davon aus das ihr schon richtig umgeformt habt.

>  notw. Bed.: f'(x)=0
>  [mm]e^{-nx}(1-nx)=0[/mm]
>  Kann [mm]e^{-nx}[/mm] jetzt auch nicht null sein? -> Ich gehe jetzt

> einfach mal davon aus,

Ja, [mm] e^x [/mm] kann nie Null werden. Genauso wie es kein ln(0) gibt.

>also müsste ich dann ja nur die

> Klammer betrachten:
>  1-nx=0
>  x=1/n

Richtig!


Bezug
                                                
Bezug
Extremstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Ok, dann versuche ich es mal weiter:
hinr, Bed.: f'(x)=0 und f''(x)<>0
[mm] f''(1/n)=-ne^{-n\bruch{1}{n}}(2-n\bruch{1}{n}) [/mm]
          [mm] =-ne^{-1}(2-1) [/mm]
          [mm] =-\bruch{1}{ne} [/mm]

für n<0: Minimum [mm] TP(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{ne}) [/mm]
für n>0: Maximum [mm] HP(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{ne}) [/mm]

Stimmt das so??? ( Bestimmt nicht ;))

Bezug
                                                        
Bezug
Extremstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Sa 29.01.2011
Autor: MathePower

Hallo Kruemel1008,

> Ok, dann versuche ich es mal weiter:
>  hinr, Bed.: f'(x)=0 und f''(x)<>0
>  [mm]f''(1/n)=-ne^{-n\bruch{1}{n}}(2-n\bruch{1}{n})[/mm]
>            [mm]=-ne^{-1}(2-1)[/mm]


Bis hierher ist es richtig. [ok]


>            [mm]=-\bruch{1}{ne}[/mm]
>  
> für n<0: Minimum [mm]TP(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{ne})[/mm]
>  für n>0: Maximum [mm]HP(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{ne})[/mm]
>  
> Stimmt das so??? ( Bestimmt nicht ;))


n ist doch aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ([mm]n \in \IN[/mm]).
Damit liegt die Art des Extremums fest.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Extremstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Achso, das heißt das mein Hochpunkt das Ergebnis ist???

Bezug
                                                                        
Bezug
Extremstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Sa 29.01.2011
Autor: MathePower

Hallo Kruemel1008,

> Achso, das heißt das mein Hochpunkt das Ergebnis ist???


Richtig.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Extremstellen berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Sa 29.01.2011
Autor: Kruemel1008

Super, danke

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Exp- und Log-Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de