Extremstellen gebrochen Funkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich habe folgende Funktion
f(x)= [mm] \bruch{2x^4+3x^3-9x^2+x+3}{3x^2+7x+6}
[/mm]
von der ich der ich die Minima bzw. Maxima bestimmen soll.
Normalerweise leitet man die Funktion ja mit der Quotienregel ab und setzt die 1 Ableitung Null
[mm] f´(x)=\bruch{(8x^3+9x^2-18x+1)(3x^2+7x-6)-(2x^4+3x^3-9x^2+x+3)(6x+7)}{3x^2+7x-6)^2}
[/mm]
Nun weis ich nicht wie ich weiter machen soll, die Funktion ist viel zu komplex um einfach die Nullstellen der Ableitung zu finden.
Wie kann ich das einfacher machen?
Ich dachte das vielleicht wie bei den Nullstellen die Extremas der Zählerfunktion die Extremas des ganzen Bruches sind?
Kann das sein?
|
|
| |
|
Hallo,
ja, du hast schon Recht, dass das dann ziemlich eklige Nullstellen sind.
Man müsste nämlich die Gleichung
[mm] 9x^4+42x^3+2x^2-102x-15=0
[/mm]
lösen.
Das ist aber kaum machbar.
Ich frage mich daher, wo die Aufgabe herstammt. Kannst du dazu mal eine kurze Angabe machen?
Ist da eventll. ein Vorzeichenfehler in der Aufgabe passiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Also ich habe mich etwas verschrieben
die Funktion lautet
f(x)=$ [mm] \bruch{2x^4+3x^3-9x^2+x+3}{3x^2+7x-6} [/mm] $
Aber ändert das etwas?
Ein Tipp ist das bei x=1 eine doppelte Nullstelle und ein Extrema vorliegt.
|
|
|
| |
|
Nochmals hallo,
jaaaa, das verändert viel.
Ich würde dir vorschlagen, dass wir alle Tippel-Tappel-Tour durchgehen!
1. Differenziere korrekt nach x! Vereinfache den Zähler!
2. Setze f'(x)=0 und lass den Nenner verschwinden.
3. Du weißt, dass bereits bei x=1 eine Nullstelle der Ableitung ist. Damit kannst du eine Polynomdivision durchführen und so weitere Nullstellen finden.
4. Einfach weiter im üblichen Protokoll zum finden von Extrema.
Am besten du machst erst einmal den Schritt 1. Dann können wir vergleichen und dann korrigieren oder hoffentlich deine Ableitung bestätigen.
Bis denn ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 So 15.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Meine Ableitung ist doch schon
$ [mm] f´(x)=\bruch{(8x^3+9x^2-18x+1)(3x^2+7x-6)-(2x^4+3x^3-9x^2+x+3)(6x+7)}{(3x^2+7x-6)^2} [/mm] $
Wenn ich das zu erst null setzt habe ich doch noch immer das selbe Probelm der komplexen Funktion?
Soll ich vielleicht vor der Ableiten die Polynomdivison durchführen? Dann macht würde es vereinfacht werden.
Verliere ich dann vielleicht eine Extremstelle?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 So 15.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Meine Ableitung ist doch schon
>
> [mm]f´(x)=\bruch{(8x^3+9x^2-18x+1)(3x^2+7x-6)-(2x^4+3x^3-9x^2+x+3)(6x+7)}{(3x^2+7x-6)^2}[/mm]
>
> Wenn ich das zu erst null setzt habe ich doch noch immer
> das selbe Probelm der komplexen Funktion?
>
> Soll ich vielleicht vor der Ableiten die Polynomdivison
> durchführen? Dann macht würde es vereinfacht werden.
> Verliere ich dann vielleicht eine Extremstelle?
Nein , das geht nicht, wenn, dann mußt du dann das produkt differenzieren.
aber du kannst statt zuerst auszurechnen, jeweil die Klammern, die 0 ergeben durch [mm] (x-1)^2 [/mm] oder zweimal durch x-1 dividieren
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 So 15.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich habs nicht ganz verstanden:
Kann ich jetzt einfach $ [mm] \bruch{2x^4+3x^3-9x^2+x+3}{3x^2+7x+6} $:(x-1)^2 [/mm]
rechnen, also Polynomdivision machen?
Wie könnte ich denn den Zähler zerlegen und in wie weit hilft mir das beim Ableiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:40 So 15.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Coxy!
Ergänzend zur Antwort von Al Chwarizmi solltest Du Zähler und Nenner durch $(x+3)_$ dividieren, kürzen und erst dann weiter rechnen.
Diesen Weg würe ich ebenfalls stark favorisieren.
Ergänzend zur Antwort von leduart solltest Du den Zähler durch [mm] $(x-1)^2$ [/mm] dividieren und dies dann ableiten in jeweils faktorisierter Form.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 15.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Dann versuche ich mal den Alternativen weg
Ich hab die Funktion zerlegt
[mm] f(x)=\bruch{(x-1)(x-1)(x+3)(2x+1)}{(x+3)(3x-2)}
[/mm]
Dann habe ich den Zähler zwei mal durch (x-1) geteilt und anschließend die Funktion um (x+3) gekürzt.
Dann habe ich abgeleitet und folgende Funktion erhalten
[mm] f´(x)=\bruch{-7}{9x^2-12x+4}
[/mm]
Was ich dann null setzten wollte.
Die Funktion hat aber keine Nullstellen so dass ich davon ausgehe das die Funktion nur ein Extrema bei x=1 hat.
Stimm das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 15.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Coxy!
> Ich hab die Funktion zerlegt
> [mm]f(x)=\bruch{(x-1)(x-1)(x+3)(2x+1)}{(x+3)(3x-2)}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Dann habe ich den Zähler zwei mal durch (x-1) geteilt
Wie(so) das? Damit veränderst Du doch den Wert des Bruches!
> und anschließend die Funktion um (x+3) gekürzt.
Das ist eine gute Idee.
> Dann habe ich abgeleitet und folgende Funktion erhalten
> [mm]f´(x)=\bruch{-7}{9x^2-12x+4}[/mm]
Da Du oben eine falsche Umforumung angewandt hast, ist diese Ableitung zwangsläufig auch falsch.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> Ich habe folgende Funktion
> f(x)= [mm]\bruch{2x^4+3x^3-9x^2+x+3}{3x^2+7x+6}[/mm]
> von der ich der ich die Minima bzw. Maxima bestimmen
> soll.
> Normalerweise leitet man die Funktion ja mit der
> Quotienregel ab und setzt die 1 Ableitung Null
>
> [mm]f´(x)=\bruch{(8x^3+9x^2-18x+1)(3x^2+7x-6)-(2x^4+3x^3-9x^2+x+3)(6x+7)}{3x^2+7x-6)^2}[/mm]
>
> Nun weis ich nicht wie ich weiter machen soll, die Funktion
> ist viel zu komplex um einfach die Nullstellen der
> Ableitung zu finden.
> Wie kann ich das einfacher machen?
> Ich dachte das vielleicht wie bei den Nullstellen die
> Extremas der Zählerfunktion die Extremas des ganzen
> Bruches sind?
> Kann das sein?
Hallo Coxy
Bei einer derartigen Aufgabe solltest du zuerst
untersuchen, ob man den Funktionsterm nicht
vereinfachen könnte, besonders dann, wenn es
sich um eine Aufgabe aus einem Schulbuch handelt !
(und ich meine natürlich den richtigen Funktions-
term)
Man kann den Term vereinfachen, nämlich
durch Kürzen. Zerlege also zunächst einmal Zähler
und Nenner in Faktoren, soweit es geht.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 15.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Also
ich bin heute morgen wie folgt vorgegangen:
Da ich weis das bei x=1 ein Extrema ist habe ich 2 mal Polynomdivison durch x=1 bzw. 1 mal durch [mm] (x-1)^2 [/mm] gemacht.
Dann bekam ich die Funktion
[mm] 2x^2+7x+3
[/mm]
Welche ich abgeleitet habe und null gesetzt habe.
Dan kam als Extremum [mm] x=-\bruch{7}{4} [/mm] raus.
Stimmt das?
Wenn ja dan habe ich nur 2 Extrempunkte, einmal bei x=1 und einmal bei [mm] x=-\bruch{7}{4}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Coxy,
> Also
> ich bin heute morgen wie folgt vorgegangen:
> Da ich weis das bei x=1 ein Extrema ist habe ich 2 mal
> Polynomdivison durch x=1 bzw. 1 mal durch [mm](x-1)^2[/mm] gemacht.
> Dann bekam ich die Funktion
> [mm]2x^2+7x+3[/mm]
> Welche ich abgeleitet habe und null gesetzt habe.
> Dan kam als Extremum [mm]x=-\bruch{7}{4}[/mm] raus.
> Stimmt das?
Nein, das stimmt nicht.
> Wenn ja dan habe ich nur 2 Extrempunkte, einmal bei x=1 und
> einmal bei [mm]x=-\bruch{7}{4}.[/mm]
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 15.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Was habe ich den falsch gemacht?
Wie muss ich das richtig machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 15.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Nach der Poynomdivision musst Du doch immer noch eine gebrochen-rationale Funktion erhalten.
Das ist aber bei Dir nicht der Fall.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 So 15.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Gut dann kürze ich nur das (x+3) weg.
Aber dann habe ich doch immer eine Funktion 3 Grades.
Wie soll ich mit dieser Weiter arbeiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 So 15.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Gut dann kürze ich nur das (x+3) weg.
> Aber dann habe ich doch immer eine Funktion 3 Grades.
> Wie soll ich mit dieser Weiter arbeiten?
Gemäß  Quotientenregel ableiten.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich habe nach Quotientenregel abgeleitet und nun folgende Funktion
[mm] f´(x)=\bruch{12x^3-21x^2+12x-3}{(3x-2)^2}
[/mm]
Wie soll ich die Funktion jetzt Null setzten?
Die Funktion hat einen zu hohen Grad...
|
|
|
| |
|
Hallo Coxy,
> Ich habe nach Quotientenregel abgeleitet und nun folgende
> Funktion
> [mm]f'(x)=\bruch{12x^3-21x^2+12x-3}{(3x-2)^2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie soll ich die Funktion jetzt Null setzten?
> Die Funktion hat einen zu hohen Grad...
Versuche den Zähler zu faktorisieren.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Coxy!
Du kennst doch bereits eine Nullstelle des Zählers aus der Aufgabenstellung.
Also: Polynomdivision.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich kenne die Nullstellen von der Funktion aber doch nicht von der Ableitung der Funktion!
Wo mit soll ich dann Polynomdivison machen?
UND warum darf ich beim Zähler einfach Polynomdivision machen?
Verliere ich dann nicht vielleicht ein Extremum?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Di 17.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Coxy!
> Ich kenne die Nullstellen von der Funktion aber doch nicht
> von der Ableitung der Funktion!
Doch. Wenn $x \ = \ 1$ ein Extremum sein soll, muss dies auch eine nullstelle der Ableitung sein.
> Wo mit soll ich dann Polynomdivison machen?
Zähler der Ableitung geteilt durch $(x+1)_$ .
> UND warum darf ich beim Zähler einfach Polynomdivision machen?
Weil ein Bruch genau dann Null wird, wenn der Zähler dieses Burches null wird.
> Verliere ich dann nicht vielleicht ein Extremum?
Nein, dieses Extremum bei $x \ = \ 1$ kennst Du ja und geht Dir damit auch nicht verloren.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich habe für die letzte Nullstelle [mm] x=-\bruch{1}{4} [/mm] raus.
stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Di 17.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Coxy!
> Ich habe für die letzte Nullstelle [mm]x=-\bruch{1}{4}[/mm] raus.
Die Nullstelle für was - die Ableitung?
Das erhalte ich nicht. Bitte rechne vor.
Bei mir bleibt es bei einer Nullstelle der Ableitung mit $x \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Di 17.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Also ich habe erst ein mal durch (x+3) gekürzt dann habe ich abgeleitet und folgende Funktion erhalten:
[mm] f'(x)=\bruch{12x^3-21x^2+12x-3}{(3x-2)^2}
[/mm]
Ich glaube ich sehe meinen Fehler gerade...
Ich habe 2 mal Polynomdivison durch x-1 gemacht aber ich man darf ja nur einmal mal, richtig?
Nach 1 maliger Polynom divison hätte ich
[mm] f'(x)=\bruch{12x^2-9x+3}{(3x-2)^2}
[/mm]
Dann müsste ich nur noch den Zähler null setzten, dieser kann jedoch nie null werden.
So müsste es doch jetzt stimmen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Di 17.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich möchte dann ja noch überprüfen ob es sich um ein minimum oder ein maximum handelt, deswegen leite ich ein 2 mal ab:
[mm] f''(x)=\bruch{108x^4-288x^3+288x^2-114x+12}{(3x-2)^4}
[/mm]
stimmt meine Ableitung?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich möchte dann ja noch überprüfen ob es sich um ein
> minimum oder ein maximum handelt, deswegen leite ich ein 2
> mal ab:
> [mm]f''(x)=\bruch{108x^4-288x^3+288x^2-114x+12}{(3x-2)^4}[/mm]
> stimmt meine Ableitung?
Was glaubst du: wer hat Lust, das alles selber nochmal nachzurechnen?
Entweder postest du deine Rechnung und wir kontrollieren nach oder du bemühst einen online-Rechner, etwa auf wolframalpha und prüfst selber...
Was ich dir aber sagen kann, ist, dass du blindlings im Zähler ausmultipliziert hast. Klammere dort nach dem ersten Schritt besser $(3x-2)$ aus, dann kannst du es direkt kürzen.
Wenn du richtig rechnest, erhöht sich die Nennerpotenz mit jeder Ableitung um 1, also hier von 2 auf 3 ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
