Extremstellen in \IR^{3} < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | Es sei M= {x [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] \parallel x\parallel_{2} \le [/mm] 1},
f : M [mm] \to \IR^{2}, f((x,y,z)^{t})= x^{2}y^{2}z^{2}
[/mm]
1) Zeigen Sie: Die Funktion f nimmt ihr globales Maximum an.
2) Bestimmen Sie alle globale Extrema. Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hallo, ich sitze gerade in der Klausurvorbereitung und hänge leider an dieser Aufgabe fest. Das Prinzip der Aufgabe habe ich einigermaßen verstanden.
Als erstes untersuche ich die Funktion auf ihre lok. Extrema im Inneren, also M_kringel. Dazu bilde ich den Gradient
grad f [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{2x*y^{2}z^{2} \\ 2y*x^{2}z^{2} \\ 2z*x^{2}y^{2}} [/mm] und setze das gleich Null.
Die Funktion ist lösbar für (x,y,0), (x,0,z) oder (0,y,z).
Dies sind also meine Kandidaten für eine mögliche globale Extremstelle.
Im weiteren untersuche ich die Funktion weiter auf die Extremwerte auf dem Rand, der durch
[mm] g(\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}} [/mm] - 1 = 0 gegeben ist.
Als Bedingung haben wir dann
grad f [mm] (\vektor{x \\ y \\ z})= \vektor{2x*y^{2}z^{2} \\ 2y*x^{2}z^{2} \\ 2z*x^{2}y^{2}} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] grad g [mm] \vektor{(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}})^{\bruch{-1}{2}}*x \\ (\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}})^{\bruch{-1}{2}}*y \\ (\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}})^{\bruch{-1}{2}}*z}.
[/mm]
Dies habe ich berechnet und habe unter der Nebenbedingung M die weiteren Kandidaten (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Denn nur für diese 3 Punkte ist meine Gleichung g erfüllt.
Doch wenn ich alle Kandidaten in meine Ausgangsfunktion einsetze, habe ich immer Null raus.
Wo liegt mein Fehler :( ?
Vielen Dank für Eure Hilfen!
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Es stimmt soweit
Beim Auflösen des Gleichungsystems fällt aber die Wurzel im Gradient durch die Nebenbedingung weg.
und du hast die Glg:
[mm] $2xy^2z^2 =\lambda [/mm] x$
[mm] $2yx^2z^2 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] y$
[mm] $2zx^2y^2 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] z$
und die Nebenbedingung
wenn du nun voraussetzt, dass x,y,z ungleich 0 sind, da hast du ja schon deine ersten Lösungen (Minima) ermittelt, dann kommst du einfach auf
[mm] $x=y=z=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
[/mm]
in dem Fall hättest du aber Diff-Rechnung nicht gebraucht, denn aus der
Geom-Arithm Mittelungleichung folgt:
[mm] $\wurzel[3]{x^2.y^2.z^2}\le (\frac{x^2+y^2+z^2}{3})=\frac{1}{3}$
[/mm]
wobei das Gleichheitszeichen nur gilt wenn $ [mm] x^2=y^2=z^2$ [/mm] ist
Daraus folgt die Lösung und du weißt,dass das dann das Maximum ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Vielen Dank für die Antwort!
Ich habe soweit alles verstanden.
Doch woher kommt die 3. Wurzel?
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Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort!
> Ich habe soweit alles verstanden.
> Doch woher kommt die 3. Wurzel?
das kommt vom geometrischen Mittel $G$.
[mm] G(x_1,x_2,...,x_n)=\sqrt[n]{x_1*x_2*...*x_n}
[/mm]
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:53 Di 16.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei M= [mm] \{x \in \IR^{3} | \parallel x\parallel_{2} \le 1\}, [/mm]
> f : M [mm]\to \IR^{2}, f((x,y,z)^{t})= x^{2}y^{2}z^{2}[/mm]
es ist nur nebensächlich, aber
[mm] $x^2y^2z^2$ [/mm] ist [mm] $\in \IR\,,$
[/mm]
also sollte da auch $f [mm] \colon [/mm] M [mm] \to \red{\;\IR}$ [/mm] stehen!
Nebenbei: Mengenklammern in Latex mit vorangestelltem Backslash
schreiben:
[mm] [nomm]$\{1,2,3,\ldots\}$[/nomm] [/mm] liefert [mm] $\{1,2,3,\ldots\}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Mi 17.09.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Hups, Tippfehler :)
Danke für die Hilfen!! Ihr habt mir echt weitergeholfen
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