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| Aufgabe | Ausgangsgleichung: fk(x)=x*(k- [mm] \wurzel{x})
[/mm]
Auf Gk wird ein Punkt P(r;s) mit 0<r< [mm] k^{2} [/mm] gewählt. Seine senkrechte Projektion auf die x-Achse heißt Q.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P bei festem k so, dass das Fünfeck OPQNA einen extremalen Inhalt hat.
Untersuchen Sie, ob der Inhalt des Fünfecks OPQNA bei festem r und veränderlichem k ein relatives Maximum annehmen kann.
(A ist der Schnittpunkt der beiden Tangenten an Gk im Ursprung 0 und im Schnittpkt. N von Gk mit der positiven Schnittachse) |
Also... dass war ein großer Aufgabenkomplex, jetzt hänge ich nur noch an diesem Aufgabenteil... Ich habe keine Ahnung wie ich daran gehen soll... Die Rede ist von einem Fünfeck, jedoch liegen die Punkte 0 Q und N alle auf der x-Achse... Somit kann das meiner Meinung nur noch ein Viereck sein... Der gRaph sieht fast wie eine umgedrehte Parabel aus... Falls ihr ein paar Angaben braucht: einige Sachen die ich ausgerechnet habe
N1(0;0)
[mm] N2(k^{2};0)
[/mm]
t1=kx
[mm] t2=\bruch{-k}{2x}+\bruch{k^{3}}{2}
[/mm]
Extrempunkt=Hochpunkt bei [mm] HP(\bruch{4k^{2}}{9};\bruch{4k^{3}}{27}
[/mm]
Ich habe echt keine Ahnung was ich machen soll... Weiss zwar das es eine Extremwertaufgabe ist, abe rkeine ahnung wie ich das anstellen soll....
Würd mich echt über Hilfe freuen... Vielen Dank im Vorraus...
//Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Di 04.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Schnabelfreak
In der Aufgabe fehlt , was A ist. Falls A unterhalb der x-Achse liegt hat man ein 5-Eck, allerdings kein konvexes, sondern eines mit einspringender Ecke, in Wirklichkeit also 2 zusammenhängende Dreiecke.OPQ Und OAN
Ich hab geschlossen, dass N die Nullstelle bei [mm] x=k^{2}ist?
[/mm]
Gruss leduart
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Vielen Dank erstmal für die Antwort...
Ja... entschuldige... Hab ich völlig übersehen...
Also A liegt über dem Graphen, da A der Schnittpunkt der beiden tangenten ist, die ich oben schonmal angegeben habe. Somit ist A= [mm] \bruch{k^{2}}{3},\bruch{k^{3}}{3}
[/mm]
Und die Nullstelle ist bei 0 und [mm] k^{2}. [/mm] hast du völlig richtig gelesen :)
Ich bin mit meinem Latein echt am Ende... Ich finde nichtmal ne Formel für den Inhalt eines Fünfecks... Es kann doch nur eine Art Viereck sein, aber warumd ann Fünfeck? Hätte man sich den Punkt P doch sparen können!
Wäre ech nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 05.04.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
> (A ist der Schnittpunkt der beiden Tangenten an Gk im
> Ursprung 0 und im Schnittpkt. N von Gk mit der positiven
> Schnittachse)
äh was? bitte erklär mir des mal, damit komm ich nicht klar.
Auch wenn A mir nicht klar ist, wär meine Ansatz, dass ich das
Fünfeck 0PQNA als zwei Dreiecke besteht in dem ein drittes
Dreieck ist, was man von den beiden abziehen muss, also so:
!!Richtig hier sind mir Fehler untelaufen:!!
Anstatt
[mm]\triangle 0QP+ \triangle QNA -\triangle 0PQ [/mm]
muss es richtig heißen: [mm]\triangle 0A_pA+ \triangle A_pNA -\triangle 0PQ [/mm]
wobei [mm]A_p[/mm] die Projektion von A auf die X-Achse ist.
Danke für die Korrektur!!
da alle Dreicke rechtwinklig sind, kann man ganz leicht die Fläche
ausrechnen :
Damit ergibt sich
[mm]\triangle 0A_pA = \frac{1}{2}*(a_1*a_2)[/mm]
[mm]\triangle A_pNA = \frac{1}{2}*(a_2*k^2) [/mm]
[mm]\triangle 0PQ = \frac{1}{2}*(r*s) = \frac{1}{2}*(r*f_k(r)) [/mm]
Also hast eine Funktion nur nach r, die man ableiten muss etc.
[mm]A(r)=\frac{1}{2}*(a_1*a_2+a_2*k^2-r*f_k(r))[/mm]
[mm] a_1 [/mm] ist die x-Koordinate von A und
[mm] a_2 [/mm] ist die y-Koordinate von A.
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ich wollte nur damit sagen, dass die Tangenten, dessen gleichung ich oben angegeben hatte, den Schnittpunkt A bilden... und diese Tangenten liegen einmal an 0 und einmal an N...
Aber mal ne Frage: ich hab soweit durchgesehen, aber wie zieh ich bei $ [mm] \triangle [/mm] 0QP+ [mm] \triangle [/mm] QNA [mm] -\triangle [/mm] 0PQ $ 0PQ ab... is das nicht das gleiche wie 0QP???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mi 05.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo metzga
Die Dreiecksbezeichnungen und die Flächen , die du angibst passen nicht zusammen . Nur OPQ passt. was du für
> Fünfeck 0PQNA als zwei Dreiecke besteht in dem ein drittes
> Dreieck ist, was man von den beiden abziehen muss, also
> so:
> [mm]\triangle 0QP+ \triangle QNA -\triangle 0PQ[/mm]
> da alle
> Dreicke rechtwinklig sind, kann man ganz leicht die Fläche
> ausrechnen :
> [mm]\triangle 0QP = \frac{1}{2}*(a_1*a_2)[/mm]
Das ist [mm] \triangle OAA_{p} A_{p}: [/mm] A auf Achse projiziert
> [mm]\triangle QNA = \frac{1}{2}*(a_2*k^2)[/mm]
Das ist [mm] \triangle [/mm] ONA
>
> [mm]\triangle 0PQ = \frac{1}{2}*(r*s) = \frac{1}{2}*(r*f_k(r))[/mm]
das ist richtig
> Also hast eine Funktion nur nach r, die man ableiten muss
> etc.
> [mm]A(r)=\frac{1}{2}*(a_1*a_2+a_2*k^2-r*f_k(r))[/mm]
> [mm]a_1[/mm] ist die x-Koordinate von A und
> [mm]a_2[/mm] ist die y-Koordinate von A.
Kannst du bitte korrigieren? Ich weiss nicht genau, was du meinst.
Gruss leduart
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Also... Vielleicht um das mal etwas zu ordnen:
Also dies sind die 5 Punkte die mir gegeben sind, bzw. die ich meine, ausgerechnet zu haben:
0(0;0)
Q(r;0)
[mm] N(k^{2};0)
[/mm]
P(r;s)
[mm] A(\bruch{4k^{2}}{9};\bruch{4k^{3}}{27})
[/mm]
Der Punkt Q ist die senkrechte Projektion des Punktes P, auf die x-Achse... Somit r;0
Der Punkt A war der Schnittpunkt zweier Tangenten, die oben irgendwo angegeben sind...
Die Ausgangsglg: [mm] fk(x)=x*(k-\wurzel{x})
[/mm]
ich soll nun den Punkt P bei festem k so ermitteln, dass das Fünfeck einen extremalen Inhalt hat.
Ausserdem, ob der Inhalt des Fünfecks bei festem r und veränderlichem k ein relatives Extremum hat...
Ich knobel jetzt schon seit 2 Stunden, und komm einfach nicht drauf, wie ich das machen soll...
Ich würd ja nicht gerne sagen, ich habs eilig, aber ich muss die Aufgabe morgen vorstellen, und dies ist die letzte von 7, und die krieg ich einfach nicht gebacken... und das kurz vorm Abi...
Wär nett, wenn mir jemand schnell helfen könnte... Würd ich demjenigen auch nie vergessen :)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mi 05.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo SF
Dein Punkt A liegt auf der Kurve, kann also nicht Schnittpunkt 2er Tangenten sein!
Aber warum zeichnest du nicht die Kurve und dann den Streckenzug, am End zurück zum Anfangspunkt. das gibt im allgemeinen ein gebilde mit 5 Ecken, (davon können welche nach innen gehen)
Dann zerlegst du es in geschickte 3-Ecke und rechnest die aus und zusammen. Sonst gib den richtigen Punkt A an.
Bist du sicher, dass die Punkte in der gegebenen Reihenfolge angegeben sind?
Gib den genauen Wortlaut der Aufgabe wieder!
Gruss leduart
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Hi...
Oh sorry.. ich sehe grade, dass ich bei meiner Zusammenfassung den Hochpunkt für A angegeben hatte...
also A ist eigtl [mm] A(\bruch{k^{2}}{3},\bruch{k^{3}}{3})
[/mm]
Somit liegt er ja dann ausserhalb des Graphen...
Also ich dachte mir jetzt das ich die Fläche zusammensetze aus den Dreiecken
[mm] \triangle [/mm] OPQ + [mm] \triangle [/mm] PQA + [mm] \triangle [/mm] QAN
kriege aber keine zusammenhängende Formel zusammen, die ich dann ableiten kann...
Vielleicht kannste mir jetzt, durch das richtige A helfen... Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mi 05.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Ihrs,
also...
[Dateianhang nicht öffentlich]
A liegt deutlich oberhalb des Graphen. (in der Zeichnung mit k=1 bzw. k=2 markiert)
Dieser liegt im interessierenden Intervall seinerseits oberhalb der x-Achse.
Also entsteht das Fünfeck 0PQNA dadurch, dass aus dem Dreieck 0AN das kleine Dreieck 0PQ herausgeschnitten wird.
Beide Flächeninhalte lassen sich leicht berechnen (insbesondere ist die Höhe des kleinen Dreiecks gleich f(r) )
Ich denke, jetzt ist alles klar, oder?
Schöne Grüße,
ardik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mi 05.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo SF
Ich hab hier mal ein Bild mit k=3 reingestellt, rechts richtig, links gespiegelt mit 2 verschiedenen P (bzw C) Lagen
Darin sieht man das Dreieck OPQNA mit der einspringenden Ecke bei P.
Das gefärbte große Dreieck Also ONA davon geht ab das innere Dreieck OPQ
Von beiden kennst du Grundlinie und Höhe, also die Fläche.
Allerdings sieht man direkt, dass der Flächeninhalt am größten wird, wenn das Kleine Dreieck am kleinsten ist, das Fünfeck entartet und P=(0,0) ist.
Was anderes kriegt man nur, wenn man ein Minimum sucht, also das innere Dreieck möglichst groß macht. Das würde wieder Sinn machen. Also kontrollier noch mal genau die Aufgabenstellung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mi 05.04.2006 | | Autor: | ardik |
In der ersten Aufgabenstellung wird ja auch nur von extremal gesprochen. Also entspricht die Suche nun nach dem Minimum durchaus der Aufgabenstellung.
btw: Danke, leduart, für diese Zeichnung, die ist ja nun wirklich aussagekräftig 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Do 06.04.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
ich habe jetzt mal die Fläche als Funktion aufgestellt:
[mm]\triangle 0NA = \frac{1}{2}*\frac{k^3}{3}*k^2=\frac{k^5}{6}[/mm]
[mm]\triangle 0QP = \frac{1}{2}*r*f_k(r)=r*(r*k-r^{\frac{3}{2}})=r^2*k-r^{\frac{5}{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow A(r)= \triangle 0NA - \triangle 0QP = \frac{k^5}{6}- r^2*k+r^{\frac{5}{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow A'(r)= -2*r*k+\frac{5}{2}*r^{\frac{3}{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow A''(r)= -2*k+\frac{15}{4}*\sqrt{r}[/mm]
[mm]A'(r)= 0 \Leftrightarrow -2*r*k+\frac{5}{2}*r^{\frac{3}{2}}=0 \Leftrightarrow r=0 \lor r=\frac{16}{25}*k^2[/mm]
[mm]A''(0)=-2*k<0 \Rightarrow Maximum\ bei \ x=0 [/mm]
[mm]A''\Left ( \frac{16}{25}*k^2 \Right ) = k > 0 \Rightarrow Minimum\ bei \ x=[/mm]
Ich hoffe diesmal ohne Fehler
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Ich möchte euch allen, die mir geholfen haben danken... Hab heute für alles auch 13 Punkte bekommen...
Also nochmal vielen Dank für die schnelle Hilfe... ich hoffe, ich kann auch mal helfen ^^
So bei Addition oder so :)
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