Extremwert in 2 Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Sa 10.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | Auf einer Parabel [mm] y=x^2 [/mm] bestimme man den Punkt P so, dass er von einem Punkt Q auf der Geraden y=2x-4 den kleinsten Abstand besitzt. |
Hallo!
Mein Ansatz: Ich stelle mal eine Gleichung für den Abstand zweier Punkt auf (welcher letzendlich ein Minimum werden soll: [mm] r=\wurzel{(x_{1}-x_{0})^2+(y_{1}-y_{0})^2}.
[/mm]
Nun hätte ich allerdings noch 2 Nebenbedingungen, nämlich die beiden gegebenen Funktionen. Ich habe allerdings keine Idee, wie ich diese 2 Funktionne verwenden kann, da ja nicht einmal der Punkt Q gegeben ist!!
Bitte um eure Hilfe!
Danke, mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
bist du dir sicher, dass das so gelöst werden soll? Man könnte das viel einfacher machen, indem man die Tangente an die Parabel mit der Steigung m=2 betrachtet...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Sa 10.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Ich habe extra mit unserem Übungsleiter gesprochen und dieser hat gemeint, die Aufgabe fällt unter das Kapitel "Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen" - also meine folgerung, dass der Ansatz so, oder so ähnlich lauten sollte.....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Sa 10.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es kann eigentlich nicht sein, dass man auf der uni einen derart unsinnigen Umweg nehmen soll, wenn das Problem ist eine Tangente oder Normale zu finden. Ich würde mich beklagen! mathe ist nicht da um viel zu rechnen, sondern denken und dann wenig rechnen!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 10.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
kann man die Aufgabe mittels Extremwertberechnung dennoch lösen??
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> kann man die Aufgabe mittels Extremwertberechnung dennoch
> lösen??
>
Ja.
> Lg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Auf einer Parabel [mm]y=x^2[/mm] bestimme man den Punkt P so, dass
> er von einem Punkt Q auf der Geraden y=2x-4 den kleinsten
> Abstand besitzt.
> Hallo!
>
> Mein Ansatz: Ich stelle mal eine Gleichung für den Abstand
> zweier Punkt auf (welcher letzendlich ein Minimum werden
> soll: [mm]r=\wurzel{(x_{1}-x_{0})^2+(y_{1}-y_{0})^2}.[/mm]
>
> Nun hätte ich allerdings noch 2 Nebenbedingungen, nämlich
> die beiden gegebenen Funktionen. Ich habe allerdings keine
> Idee, wie ich diese 2 Funktionne verwenden kann, da ja
> nicht einmal der Punkt Q gegeben ist!!
>
> Bitte um eure Hilfe!
>
> Danke, mfg
Hallo mike1988,
nimm doch etwa die x-Koordinaten [mm] x_P [/mm] und [mm] x_Q [/mm] als
Hauptvariablen für die Aufgabe. Für die y-Koordinaten
hast du dann die Gleichungen
[mm] $y_P\ [/mm] =\ [mm] {x_P}^2$
[/mm]
[mm] $y_Q\ [/mm] =\ [mm] 2\,x_Q-4$
[/mm]
Dann würde ich vorschlagen, als Zielgröße nicht den
Abstand zwischen P und Q, sondern dessen Quadrat zu
nehmen, also:
$\ [mm] F(x_P,x_Q)\ [/mm] =\ [mm] (x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2$ [/mm]
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Sa 10.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Besten Dank für den Tipp!
Verstehe auch, warum du die "Distanz zum Quadrat" nimmst! Wenn der Abstand ein Minimum sein soll, ist auch das Quadrat des Abstandes ein Minimum, und die Ableitung (ohne der Wurzel) ist um einiges leichter!
Habe nun die Funktion
[mm] F(x_P,x_Q) [/mm] = [mm] (x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2
[/mm]
In der Schule haben wir gelernt, einfach eine Variablen der Nebenbedingung durch die andere ausdrücken und in die Funktionsgleichung einsetzen!
Nun (auf der Uni) sollen wir dies allerdings über die "Multiplikatormethode nach LAGRANGE" machen"
Meine Frage: Wie kann ich nun die Funktion [mm] {g(x_{p}, x_{Q})} [/mm] formulieren??
Danke für die Bemühungen und sorry, stehe glaube gerade ziemlich auf der Leitung!!! :-(
Lg
|
|
|
| |
|
> Habe nun die Funktion
> [mm]F(x_P,x_Q)[/mm] = [mm](x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2[/mm]
>
> In der Schule haben wir gelernt, einfach eine Variablen der
> Nebenbedingung durch die andere ausdrücken und in die
> Funktionsgleichung einsetzen!
>
> Nun (auf der Uni) sollen wir dies allerdings über die
> "Multiplikatormethode nach LAGRANGE" machen"
>
> Meine Frage: Wie kann ich nun die Funktion [mm]{g(x_{p}, x_{Q})}[/mm]
> formulieren??
Naja, ich hätte da jetzt nicht Lagrange genommen,
sondern zunächst die y durch die Ausdrücke mit [mm] x_P [/mm] und [mm] x_Q
[/mm]
ersetzt und dann die beiden partiellen Ableitungen der
Funktion [mm] F(x_P,x_Q) [/mm] berechnet und gleich null gesetzt.
Leider fehlt mir gerade die Zeit, auch auf die Lagrange-
Methode für dieses Beispiel einzugehen - aber das wird
bestimmt jemand anderes gerne übernehmen ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 10.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Alles klar! Besten Dank!
Habe die Werte von [mm] y_{P} [/mm] & [mm] y_{Q} [/mm] in die Funktionsgleichung eingesetzt, die partiellen Ableitungen nach [mm] x_{P} [/mm] & [mm] x_{Q} [/mm] gebildet, diese gleich Null gesetzt und als Ergebniss folgende Punkte erhalten:
[mm] P_{1}=(1,1), Q_{1}=(-\bruch{3}{2},-7),
[/mm]
[mm] P_{2}=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{4}), Q_{2}=(-\bruch{29}{16},-\bruch{61}{8}),
[/mm]
[mm] P_{3}=(0,0), Q_{3}=(-2,-8).
[/mm]
Hoffe diese Punkte sind richtig!
Wie kann ich nun bestimmen, welche Punkte wirklich den minimalsten Abstand voneinander haben??
Habe die Punkte nochmals ind ie Distanzfunktion eingesetzt und als Ergebnis folgende Werte bekommen:
Distanz [mm] P_{1} [/mm] zu [mm] Q_{1} \approx [/mm] 8,3815
Distanz [mm] P_{2} [/mm] zu [mm] Q_{2} \approx [/mm] 8,2075
Distanz [mm] P_{3} [/mm] zu [mm] Q_{3} \not\in \IR
[/mm]
Das würde ja heißen, dass die Punkte Distanz [mm] P_{2} [/mm] & [mm] Q_{2} [/mm] den minimalsten Abstand zu einander haben!!
Ist dies richtig, bzw. wie kann ich dies erkennen, ohne wiederum in die Abstandsgleichung einzusetzen??
Und vielleicht hätte noch jemand einen Hinweis bezüglich der Vorgehensweise mittels der "Multiplikatormethode nach LAGRANGE"
Vielen, vielen Dank!
Lg
|
|
|
| |
|
> Habe die Werte von [mm]y_{P}[/mm] & [mm]y_{Q}[/mm] in die Funktionsgleichung
> eingesetzt, die partiellen Ableitungen nach [mm]x_{P}[/mm] & [mm]x_{Q}[/mm]
> gebildet, diese gleich Null gesetzt und als Ergebniss
> folgende Punkte erhalten:
>
> [mm]P_{1}=(1,1), Q_{1}=(-\bruch{3}{2},-7),[/mm]
>
> [mm]P_{2}=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{4}), Q_{2}=(-\bruch{29}{16},-\bruch{61}{8}),[/mm]
>
> [mm]P_{3}=(0,0), Q_{3}=(-2,-8).[/mm]
>
> Hoffe diese Punkte sind richtig!
Leider nein !
Es gibt nur eine einzige Lösung mit P=(1,1) und Q=(2.2,0.4) .
> Wie kann ich nun bestimmen, welche Punkte wirklich den
> minimalsten Abstand voneinander haben??
"minimalst" gibt es nicht, denn "minimal" ist schon der
Superlativ.
"minimalster Abstand" wäre gleichbedeutend mit "kleinstester Abstand",
und in der Bibel würde dann vielleicht stehen: "liebe deinen Nächstesten
wie dich selbst" ...
> Habe die Punkte nochmals ind ie Distanzfunktion eingesetzt
> und als Ergebnis folgende Werte bekommen:
>
> Distanz [mm]P_{1}[/mm] zu [mm]Q_{1} \approx[/mm] 8,3815
> Distanz [mm]P_{2}[/mm] zu [mm]Q_{2} \approx[/mm] 8,2075
> Distanz [mm]P_{3}[/mm] zu [mm]Q_{3} \not\in \IR[/mm]
>
> Das würde ja heißen, dass die Punkte Distanz [mm]P_{2}[/mm] &
> [mm]Q_{2}[/mm] den minimalsten Abstand zu einander haben!!
>
> Ist dies richtig, bzw. wie kann ich dies erkennen, ohne
> wiederum in die Abstandsgleichung einzusetzen??
>
> Und vielleicht hätte noch jemand einen Hinweis bezüglich
> der Vorgehensweise mittels der "Multiplikatormethode nach
> LAGRANGE"
Man kann die Aufgabe natürlich auch mittels Lagrange
(und damit eindeutig komplizierter als nötig) lösen.
Dies könnte etwa so gehen:
Setzen wir, um etwas einfachere Bezeichnungen zu haben
[mm] x:=x_P
[/mm]
[mm] y:=y_P={x_P}^2=x^2
[/mm]
[mm] u:=x_Q
[/mm]
[mm] v:=y_Q=2\,x_Q-4=2\,u-4
[/mm]
Dann ist die Zielfunktion [mm] F(x,y,u,v)=(x-u)^2+(y-v)^2
[/mm]
und die zugehörige Lagrangefunktion mit zwei Parametern
[mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] wird:
$\ [mm] L(x,y,u,v,\lambda,\mu)\ [/mm] =\ [mm] (x-u)^2+(y-v)^2+\lambda*(y-x^2)+\mu*(v-(2\,u-4))$
[/mm]
Nun bilde man alle 6 partiellen Ableitungen von L nach
den 6 Variablen und setze diese alle gleich 0. So kommt
man auf ein Gleichungssystem mit 6 Unbekannten.
Dieses liefert zwar nichts wesentlich Anderes als die
Lösung ohne Lagrange, aber vielleicht doch gewisse
neue Gesichtspunkte zur Betrachtung eines Extremal-
problems mit mehreren Unbekannten ...
LG Al-Chw.
|
|
|
|
