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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Sa 23.04.2022 | | Autor: | Delia00 |
| Aufgabe | Gegeben ist f(x) mit [mm] f(x)=-x^2-6x+8
[/mm]
Ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt in die Parabel einschreiben.
A (u | f(u)) liegt auf dem Graphen, B(u | 0) |
Hallo zusammen,
eigentlich habe ich die Aufgabe schon gelöst.
Bin mir nur an einer Stelle etwas unsicher.
Ich hab folgende Punkte heraus:
A (-1,27 | 14) und B (-1,27 | 0) (sind die Werte richtig?)
Wenn ich nun den Flächeninhalt berechnen will, muss ich doch -1,27 in Betrag setzen, so dass ich dann Folgendes rechne:
A = (6 +2 * 1,27) * 14
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Sa 23.04.2022 | | Autor: | chrisno |
Ich bekomme andere Werte heraus. Leider zeigst Du deine Rechnung nicht.
Zum Vorgehen:
Zuerst habe ich den Scheitelpunkt der Parabel bestimmt. Das Rechteck liegt dann symmetrisch zur Gerade mit x = 3.
Den Flächeninhalt habe ich so angesetzt:
$F = [mm] 2*(3+x)(-x^2-6x+8)$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 23.04.2022 | | Autor: | Delia00 |
Hier sind meine Rechenwege
[mm] f(x)=-(x+3)^2+17
[/mm]
Nebenbedingung:
a= 2 * (3+u) = 6+2u
b = f(u)
Zielfunktion
Z(u)=a*b
[mm] Z(u)=-2u^3-18u^2-20u+48
[/mm]
[mm] Z‘(u)=-6u^2-36u-20
[/mm]
als Extrema hab ich dann erhalten:
-5,38 und -0,62
-0,62 wäre das Maximum
(In meiner vorherigen Rechnung hatte ich eine falsche Zielfunktion.)
Muss ich nun bei der Berechnung von A es so schreiben:
A=2 *(3+0,62)*11,34 ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 23.04.2022 | | Autor: | chrisno |
Ich muss gerade etwas anderes tun. Prüfe Deine Zielfunktion. Ich habe als Extremstelle -0,62.
Da bekomme ich einen größeren Flächeinhalt als mit deinem Wert. Allerdings müsste ich nun noch mal in Ruhe rechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 23.04.2022 | | Autor: | chrisno |
> Hier sind meine Rechenwege
>
> [mm]f(x)=-(x+3)^2+17[/mm]
>
> Nebenbedingung:
>
> a= 2 * (3+u) = 6+2u
>
> b = f(u)
>
> Zielfunktion
> Z(u)=a*b
> [mm]Z(u)=-2u^3-18u^2-20u+48[/mm]
>
> [mm]Z‘(u)=-6u^2-36u-20[/mm]
>
> als Extrema hab ich dann erhalten:
> -5,38 und -0,62
>
> -0,62 wäre das Maximum
die Extremstelle
>
> (In meiner vorherigen Rechnung hatte ich eine falsche
> Zielfunktion.)
Nun stimmen wir überein.
>
>
> Muss ich nun bei der Berechnung von A es so schreiben:
>
> A=2 *(3+0,62)*11,34 ???
nein, (3+u) = (3-0,62)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Sa 23.04.2022 | | Autor: | Delia00 |
Und somit hätte man A=53,98 FE?
Danke für deine Mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Sa 23.04.2022 | | Autor: | chrisno |
Ich habe mit einer Stelle weniger gerechnet. Es passt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Sa 23.04.2022 | | Autor: | Delia00 |
Ich hätte da noch eine allgemeine Frage.
Nehmen wir mal an, ich hätte folgende Scheitelpunktform:
[mm] f(x)=-(x-7)^2+12
[/mm]
Müsste ich als Nebenbedingung schreiben:
a=2*(7+u), obwohl bei der Scheitelpunktform -7 in der Klammer steht, da es ja um den Abstand zur y-Achse geht. Wäre dies so richtig?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 23.04.2022 | | Autor: | chrisno |
Ja,
Du willst ja die halbe Breite des Rechtecks berechnen. Diese Breite ist die Differnz zweier x-Werte.
Nennen wir den Scheitelwert [mm] $x_S$. [/mm] u soll rechts von [mm] $x_S$ [/mm] sein, und die Breite positiv. Dann ergibt [mm] $x_S [/mm] - u$ den gesuhten Wert. In diesem Fall ist $u = -7$ und so verschwindet das Minuszeichen.
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Wenn du dir eine Skizze vom Sachverhalt machst, hast du weniger Schwierigkeiten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Parabel ist symmetrisch zur Achse x=-3. Ist der rechte gesuchte Eckpunkt B(u|0), so ist die untere halbe Rechteckseite a=u-(-3)=u+3 (Kontrolle durch Beispiel: ist - wie im Bild - u=-1/2, so ist a=-1/2+3=2+1/2 in Übereinstimmung mit dem Bild).
Somit ist die Unterseite des Rechtecks 2a=2u+6 und die Höhe [mm] f(u)=-u^2-6u+8.
[/mm]
Das Rechteck hat also den Inhalt [mm] A(u)=(2u+6)(-u^2-6u+8)=-2u^3-18u^2-20u+48.
[/mm]
[mm] A'(u)=-6u^2-36u-20=0 \Rightarrow
[/mm]
[mm] u=\wurzel{17/3}-3 [/mm] = [mm] \wurzel{51}/3-3 \approx [/mm] -0,6195 und damit
[mm] A=\bruch{68}{9}\wurzel{51}\approx [/mm] 53,957.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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