Extremwertaufgabe < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Kurvenschar [mm] f(x)=t*(e^{-x}-e)
[/mm]
Der Punkt [mm] P[u|t*(e^{-u}-e)] [/mm] sei ein beliebiger Punkt auf jeder Kurve der Schar im 4. Quadranten.
Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch P bilden mit der y-Achse und der zugehörigen Asymptotenfunktion [mm]a(x)=-t*e[/mm] ein Rechteck.
Bestimme die Maßzahl des maximalen Flächeninhaltes des Rechtecks.
Bestimme die Punkte Pmax für den maximalen Flächeninhalt.
|
Hallo, ich möchte mein Ergebnis vorstellen:
Meine Flächenmaßfunktion lautet:
[mm] A_t(u)=u*(t*e [/mm] + [mm] f_t(u))=t*u*e^{-u}
[/mm]
[mm] A_t'(u)=t*e^{-u}(1-u)
[/mm]
[mm] A_t''(u)=t*e^{-u}(u-2)
[/mm]
[mm] A_t'(u)=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] u=1
hier bin ich davon ausgegangen, dass t und u [mm] \in [/mm] R plus sind, da das ganze ja im 4 Quadranten ablaufen soll.
[mm] A_t''(1) [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt
[mm] A_t(1)=\bruch{t}{e}
[/mm]
Für u=1 wird das Flächenstück maximal und beträgt [mm] \bruch{t}{e} [/mm] FE.
Pmax=[1 | [mm] t(\bruch{1}{e}-e)]
[/mm]
mfg blacky
|
|
| |
|
Hi, Blacky,
hab's mir mal angeschaut und kann keinen Fehler finden!
Vielleicht solltest Du noch begründen, dass es sich um ein ABSOLUTES Maximum handelt, denn mit A''(1) < 0 beweist Du streng genommen nur: RELATIVES Maximum.
Sonst OK!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Ja das stimmt, das habe ich schon in der Klausur einfach vergessen gehabt, danke!
Da [mm] \limes_{u\rightarrow\infty} A_t(u)= \limes_{u\rightarrow0} A_t(u)=0 [/mm] < [mm] A_t(1) [/mm] ist, ist [mm]P=(1 | \bruch{t}{e})[/mm] absoluter Hochpunkt des Graphen von A.
Kann man konstante Faktoren, wie hier das t, eigentlich vor den limes ziehen? ja oder?
mfg blacky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Blacky,
klar kann man!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Di 18.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
habe deine Aufgabe jetzt auch mal nachgerechnet und bin auf die selben Ergebnisse gekommen!!!
Jedoch habe ich noch 2 Fragen:
1. Bei deinem Rechteck handelt es sich ja eigentlich um eine Differenz von der Asymptote und der y-Koordinate. Muss ich dann in der ersten Gleichung nicht noch die "Betragsstriche" setzen, da eine Fläche nicht negativ werden kann?
Ich kann ja vorher eigentlich nicht genau sagen welcher Wert größer ist!
2. Warum muss ich nachweisen, ob es ein "absoluter Hochpunkt" ist?
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Im Voraus vielen Dank
MFG Krisu112
|
|
|
| |
|
Hi, kirsu,
> Jedoch habe ich noch 2 Fragen:
>
> 1. Bei deinem Rechteck handelt es sich ja eigentlich um
> eine Differenz von der Asymptote und der y-Koordinate. Muss
> ich dann in der ersten Gleichung nicht noch die
> "Betragsstriche" setzen, da eine Fläche nicht negativ
> werden kann?
> Ich kann ja vorher eigentlich nicht genau sagen welcher
> Wert größer ist!
Dazu musst Du Dir klar machen, das der Punkt P nur dann im 4. Quadranten liegt, wenn seine x-Koordinate positiv ist (u>0) und seine y-Koordinate negativ; letzteres ist nur dann der Fall, wenn t > 0 ist.
Weiter erkennst Du aus einer Skizze, dass der Graph der Funktion immer oberhalb der Asymptote liegt. Somit ist es, wenn man geschickt vorgeht, unnötig mit Betragstrichen zu arbeiten!
> 2. Warum muss ich nachweisen, ob es ein "absoluter
> Hochpunkt" ist?
Bei Aufgaben dieser Art ist immer ein ABSOLUTES Extremum gefragt. Was würde es auch helfen, zu wissen, dass ein relatives Maximum vorliegt, es in Wirklichkeit aber viel größere Rechtecke gibt?!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
