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Hallo,
ich bin neu hier und hab das irgendwie noch nicht ausfedeln können wie ich meine aufgabe reinstellen kann,ich hofffe das auch hier jmd mein Hilfeschrei mitbekommt, denn ich hab auch Probleme mit einer Aufgabe und die sieht wie folgt aus:
| Aufgabe | Ein Körper is zusammengesetzt aus einem nach oben offenen Zylinder und einer Halbkugel. Die gesamte Oberfläche des Körpers hat die Konstante Größe: 20 (mal) [mm] \pi [/mm] (einheit cm).
Berechnen Sie den Radius und die Höhe des Körpers mit maximalen Volumen. |
Bitte helf mir, vielen dank.
lg,
Jasmine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 18.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jasmine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Leider schreibst Du nicht, welche Probleme Du mit dieser Aufgabe hast bzw. wieweit Du es alleine geschafft hast.
Typisch für derartige Aufgaben ist es, die Gleichungen für die sogenannte "Hauptbedingung" und die "Nebenbedingung" aufzustellen.
Da hier nach dem maximalen Volumen gesucht ist, ist die Volumenformel dieses Körpers die Hauptbedingung:
$V(r,h) \ = \ [mm] V_{\text{Körper}} [/mm] \ = \ [mm] V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Halbkugel}} [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*h [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{4}{3}*\pi*r^3 [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*\left(h+\bruch{2}{3}*r\right)$
[/mm]
Die Nebenbedingung wird hier durch den Wert der Oberfläche vorgegeben (dabei interpretiere ich das so, dass hier sowohl die Innen- als auch die Außenfläche gemeint ist):
[mm] $\blue{O_{\text{Körper}}} [/mm] \ = \ [mm] 2*M_{\text{Zylinder}}+2*O_{\text{Halbkugel}} [/mm] \ = \ [mm] 2*M_{\text{Zylinder}}+O_{\text{Kugel}} [/mm] \ = \ [mm] 2*2*\pi*r*h+4*\pi*r^2 [/mm] \ = \ [mm] 4*\pi*r*(h+r) [/mm] \ = \ [mm] \blue{20*\pi}$
[/mm]
Stelle diese Gleichung nun nach $h \ = \ ...$ um und setze dies in die Hauptbedingung ein.
Damit hast Du dann Deine sogenannte "Zielfunktion" $V \ = \ V(r)$ , die nur noch von der Variablen $r_$ abhängig ist. Für dies Funktion ist nunmehr eine Extremwertberechnung durchzuführen (Nullstellen der 1. Ableitung $V'(r)_$ etc.).
Gruß
Loddar
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