Extremwertaufgabe Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 So 15.03.2009 | | Autor: | ginfizz |
| Aufgabe | | Einem Kreis mit Radius r soll ein gleichschenkliges Dreieck umschrieben werden. Der Umfang des Dreieckes soll minimal werden. |
Ich komme einfach nicht drauf.
also die HB lautet wohl : U = 2*a + c
eine der NB lautet (strahlensatz) a : (c/2) = (h-r) : r
daraus folgt: 2*a*r = h*c - c*r
wie mach ich da jetzt weiter??
mit dem Pythagoras könnte ich z.b [mm] a^{2} [/mm] = [mm] \bruch{c^{2}}{4} [/mm] + [mm] h^{2} [/mm] ansschreiben.
aber das mit dem ersetzen bekomm ich nicht hin.
irgendwie sollte ich ja in der HB a oder c so ersetzen dass die Fkt nur mehr von einer variablen und der Konstanten r abhängig ist!
Das bekomme ich aber leider nicht hin.
vielen dank für die Hilfe
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 So 15.03.2009 | | Autor: | weduwe |
du kannst
a) mit dem strahlensatz, ähnlichen dreiecken und pythagoras weiterkommen:
[mm]x:r=2h:c[/mm]
was im endeffekt auf
[mm]\frac{c^2}{4}=a^2-\frac{4r^2c^4}{(c^2-4r^2)^2}[/mm]
führt, woraus du c und [mm]U=U(a)[/mm] berechnen kannst
b) den winkel [mm] \alpha [/mm] einführen
[mm] c=\frac{2r}{tan\frac{\alpha}{2}}
[/mm]
eine ähnliche beziehung gilt für a
und damit [mm]U = U(\alpha)[/mm]
möglicherweise geht es auch viel einfacher 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 15.03.2009 | | Autor: | ginfizz |
Vielen Dank mal soweit,
nur verstehe ich nicht wie ich auf $ [mm] \frac{c^2}{4}=a^2-\frac{4r^2c^4}{(c^2-4r^2)^2} [/mm] $ komme. Dann müßte der letzte Ausdruck [mm] \frac{4r^2c^4}{(c^2-4r^2)^2} [/mm] ja gleich h sein?
und wo ist das x hin?
Danke nochmals
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 15.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> Vielen Dank mal soweit,
>
> nur verstehe ich nicht wie ich auf
> [mm]\frac{c^2}{4}=a^2-\frac{4r^2c^4}{(c^2-4r^2)^2}[/mm] komme. Dann
> müßte der letzte Ausdruck [mm]\frac{4r^2c^4}{(c^2-4r^2)^2}[/mm] ja
> gleich h sein?
h²
> und wo ist das x hin?
>
> Danke nochmals
das solltest ja du rauskriegen
du hast 3 gleichungen.
1) x : r = 2h : c
2) [mm] a^2=\frac{c^2}{4}+h^2
[/mm]
3) [mm] (h-r)^2=r^2+x^2
[/mm]
daraus mußt du nun x und h eliminieren und bekommst c = c(a)
ich glaube, dass der trigonometrische weg einfacher ist.
da bekommt man relativ schnell und einfach [mm] \alpha=60°[/mm]
|
|
|
|
