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Extremwertaufgabe Mauer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Do 08.03.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Ein Bauer hat 100 m Zaun und eine Mauer, die 40 m lang ist. Er möchte damit eine maximale rechteckige Fläche abgrenzen.

Moin  Moin, ich verstehe meine Lösung nicht. Kann jemand helfen?


Das Rechteck besteht aus den Seiten a und b.


Nebenbedingungen

a enthält die Mauer, also  a= 40 + x


U = 2a + 2b  

Da ich 100 m Zaun zur Verfügung habe plus eine Mauer(40 m)  ist U = 140 m.


Hauptbedingung

A = a*b

Nebenbedingungen in Hauptbedingung einsetzen...

U = 2*(40+x) +2*b

140 = 80 +2*x +2*b

60 = 2*x + 2*b

b = 30 - x


Zielfunktion

A = (40 + x)*(30 - x)

A = 1200 -10*x [mm] -x^2 [/mm]


A ' = -10 -2*x    0 = -10 -2*x   =>   x = -5   !??

A '' = - 2


Mithin würde ich daraus folgern, dass

a = 40 + (-5) = 35    d.h. die Mauer wird nicht voll genutzt...

b = 30 - (-5) = 35


Leider sind nun die drei Seiten, die vom Zaun abgegrenzt werden zusammen

105 m lang !  ??


Gibt es da einen Denkfehler?  


Danke für eure Hilfe!












        
Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Do 08.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mithin würde ich daraus folgern, dass
>
> a = 40 + (-5) = 35    d.h. die Mauer wird nicht voll
> genutzt...
>  
> b = 30 - (-5) = 35
>  
>
> Leider sind nun die drei Seiten, die vom Zaun abgegrenzt
> werden zusammen
>
> 105 m lang !  ??
>  
>
> Gibt es da einen Denkfehler?  

Rein mathematisch gesehen: Nein.
Wenn du deine Lösung akzeptierst, bekommst du auf der Mauerseite von der Mauer 5m Zaun "geschenkt" (du "verbaust" da schließlich "-5m") und hast damit 100 + 5 = 105m Zaun für den Rest zur Verfügung.

In der Realität ist die Mauer natürlich knauserig und rückt den Zaun nicht raus… und der fehlt dir dann später.

Konkret: Dir fehlt also schlichtweg die Bedingung, in welchem Bereich x liegen darf. In deinem Fall ist das [mm] $x\in [/mm] [0,30]$. Negativen Zaun verbauen kann man nicht, und wenn $x > 30$ wäre, würde die Seite b negativ werden… und wir müssten wieder negativen Zaun bauen. Aber das geht bekanntlich nicht…

D.h. deine Aufgabe ist: Maximiere deine Zielfunktion $A = 1200 -10*x [mm] -x^2 [/mm] $ auf $[0,30]$

Da keine Nullstelle vorliegt, wird das Maximum an einem Rand angenommen… bei $x=30$ ist der Flächeninhalt aber gerade Null und damit minimal… bleibt nur $x=0$.

Also die Lösung ist: Die Mauer bildet eine Seite, der Rest des Zauns den Rest des Rechtecks.

Gruß,
Gono

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Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 Fr 09.03.2018
Autor: mythos2288

Setze a = 40 - x, dann ist b = 30 + x/2
Die entsprechende Zielfunktion maximiert ergibt x = 10

Somit hat das Rechteck die Ausmaße 30*35, der verbaute Zaun die Länge 30 + 2*35 = 100

mY+

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Extremwertaufgabe Mauer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Fr 09.03.2018
Autor: hase-hh

Wie kommt man auf a = 40 - x ???


Kann mir das jemand ausführlich erklären?






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Extremwertaufgabe Mauer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Wie kommt man auf a = 40 - x ???

>
>

> Kann mir das jemand ausführlich erklären?

mythos2288 hat sich wohl folgendes gedacht:

Er nimmt an, dass ein Stück der Mauer überstehen wird. Dieses Stück benennt er mit x, also ist die Seite a des Rechtecks a=40-x.

Das bedeutet zunächst, dass eine Seite des Rechtecks von der Mauer begrenzt wird. Somit gilt für die drei restlichen Seiten, die durch den Zaun begrenzt werden, folgende Gleichung:

[mm]a+2b=100[/mm]

Wenn man in diese Gleichung mit a=40-x eingeht und nach b auflöst, bekommt man eben

[mm] b=30+\frac{x}{2} [/mm]

Und damit die erwähnte Zielfunktion.

Ich habe eine kleine Skizze mit einer schematischen Darstellung der Situation angefertigt:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Was allerdings im Beitrag von mythos2288 nicht stimmt, ist die Lösung x=10 für einen Extremwert. Sondern es läuft auch hier auf das hinaus, was Gonozal_IX geschrieben hat: ein Randmaximum bei x=0 mit [mm] A_{max}=1200m^2. [/mm] Auch wenn seine (ebenso wie deine) Zielfunktion falsch ist (dazu habe ich mittlerweile noch eine Korrekturmitteilung verfasst).


Gruß, Diophant

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Extremwertaufgabe Mauer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Fr 09.03.2018
Autor: hase-hh

Moin, ja ich kann nachvollziehen, dass bei a = 40 - x davon ausgeht, dass die Mauer nicht voll zur Abgrenzung genutzt wird.

Aber auf so eine Idee, eine allgemeine Lösung so zu finden, dass ich auf ein Teil der Mauer als Abggrenzung zu verzichten, würde ich nicht kommen!!

Das ist meine eigentliche Frage!

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Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Moin, ja ich kann nachvollziehen, dass bei a = 40 - x davon
> ausgeht, dass die Mauer nicht voll zur Abgrenzung genutzt
> wird.

>

> Aber auf so eine Idee, eine allgemeine Lösung so zu
> finden, dass ich auf ein Teil der Mauer als Abggrenzung zu
> verzichten, würde ich nicht kommen!!

>

> Das ist meine eigentliche Frage!

Nun, zunächst einmal sind ja beide Möglichkeiten gleichberechtigt: es kann sein, dass die Mauer ein Teil einer Seite a ist, oder eben andersherum: a ist kleiner als 40m und die Mauer steht ein Stück über.

Von daher war dein Ansatz ja nicht verkehrt (bis auf die Sache mit der Nebenbedingung für den Umfang).

Dass hier die optimale Lösung gerade mit a=40 und b=30 gegeben ist, da würde ich Absicht vermuten, falls dies eine Mathe-Aufgabe ist. Wäre es ein reales Problem, dann wäre das jedoch ein großer Zufall.

Stelle dir folgendes vor: der gegebene Zaun ist 100m lang.

Wäre jetzt ein Stück Mauer gegeben mit l=5m, würde doch jeder sofort vermuten, dass die Mauer ein Teilstück einer Seite a wird.

Wäre aber die Länge der Mauer sagen wir mit 80m vorgegeben, dann würde man doch (ganz ohne Mathematik) sofort vermuten, dass sie am Ende überstehen muss.

Und hier, wo die Seite a genau der Mauerlänge entspricht, ist es dann kein Wunder, dass unterschiedliche Bearbeiter hier zu unterschiedlichen Ansätzen greifen.

Die Aufgabe hat es ja auch in sich, die ist nicht so leicht, wie sie auf den ersten Blick aussieht. Mache dir nochmals klar, wie Gonozal_IX das begründet hat, dass deine bzw. seine Zielfunktion richtig ist.


Gruß, Diophant

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Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Fr 09.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Und hier, wo die Seite a genau der Mauerlänge entspricht,
> ist es dann kein Wunder, dass unterschiedliche Bearbeiter
> hier zu unterschiedlichen Ansätzen greifen.
>  
> Die Aufgabe hat es ja auch in sich, die ist nicht so
> leicht, wie sie auf den ersten Blick aussieht. Mache dir
> nochmals klar, wie Gonozal_IX das begründet hat, dass
> deine bzw. seine Zielfunktion richtig ist.

ich würde sogar weiter gehen und sagen, dass man beide Ansätze seperat betrachten muss, siehe meine letzte Antwort an hase-hh.

Der Ansatz: $a = 40 + x$ bzw $a = 40 - x$ führen nämlich zu unterschiedlichen Nebenbedingungen. Man muss also beide Wege berechnen und dann das Maximum von beiden vergleichen. (Sie fallen hier gerade nur zusammen).

Das entspricht dann etwa deiner Vorbetrachtung

> Wäre jetzt ein Stück Mauer gegeben mit l=5m, würde doch jeder sofort vermuten, dass die Mauer ein Teilstück einer Seite a wird.

> Wäre aber die Länge der Mauer sagen wir mit 80m vorgegeben, dann würde man doch (ganz ohne Mathematik) sofort vermuten, dass sie am Ende überstehen muss.

D.h. ohne Fallunterscheidung kommt man hier meiner Erachtens nicht aus.

Gruß,
Gono

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Extremwertaufgabe Mauer: Konklusion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo Gonozal_IX,

> ich würde sogar weiter gehen und sagen, dass man beide
> Ansätze seperat betrachten muss, siehe meine letzte
> Antwort an hase-hh.

Ja, so ist es. Und damit hat sich jetzt auch mein Denkfehler vollends aufgeklärt (er war der Grund für meine Korrekturmitteilungen).

Wie du an anderer Stelle geschrieben hast: schön, dass über eine solche Aufgabe einmal wieder richtig diskutiert wird! :-)


Gruß, Diophant

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Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 Sa 10.03.2018
Autor: hase-hh

  
> Von daher war dein Ansatz ja nicht verkehrt (bis auf die
> Sache mit der Nebenbedingung für den Umfang).

Nein die Nebenbedingung war von mir richtig aufgestellt.

Sonst müsstest du mir bitte konkret sagen, wo da der Denkfehler ist!

***
Gut, mein Ansatz ist eine Möglichkeit, selbstverständlich gibt es auch den Fall dass die Mauerlänge gerade einer Seitenlänge entspricht, und den Fall dass die Mauer nicht voll genutzt wird, also die Seite kleiner als die Mauer ist.

Nur darauf zu kommen, ist für mich kaum vorstellbar.   :-(  


Soweit ich es allerdings richtig verstanden habe, führen alle Ansätze zum Randextremum 40*30 !?

Bezug
                                                                
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Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:51 Sa 10.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nein die Nebenbedingung war von mir richtig aufgestellt.
>
> Sonst müsstest du mir bitte konkret sagen, wo da der
> Denkfehler ist!

Habe ich in der anderen Mitteilung gemacht…

> Gut, mein Ansatz ist eine Möglichkeit, selbstverständlich
> gibt es auch den Fall dass die Mauerlänge gerade einer
> Seitenlänge entspricht, und den Fall dass die Mauer nicht
> voll genutzt wird, also die Seite kleiner als die Mauer
> ist.
>
> Nur darauf zu kommen, ist für mich kaum vorstellbar.   :-(

Naja doch… irgendwann wäre dir aufgefallen, dass deine negativen Werte keinen Sinn machen, man den Fall aber irgendwie mit abdecken will.

>
> Soweit ich es allerdings richtig verstanden habe, führen
> alle Ansätze zum Randextremum 40*30 !?

Ja.

Gruß,
Gono

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Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Di 13.03.2018
Autor: Diophant

Hallo hase-hh,

ich hatte heute die Möglichkeit, nochmal über die Aufgabe und deinen Ansatz nachzudenken. Deine Nebenbedingung ist richtig bis auf die Tatsache, dass sie nicht für negative x und natürlich auch nicht für x>30 gilt. Dein Beharren war also berechtigt und ich möchte an dieser Stelle Abbitte leisten. :-)

Bitte entschuldige also den Irrtum, er geschah im Eifer des Gefechts, sozusagen.


Gruß, Diophant

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Extremwertaufgabe Mauer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Fr 09.03.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Korrekturanweisungen...

Korrekturanweisungen, in Korrekturanweisung 8 (hoffe ich habe richtig gezählt), wird gesagt, dass mein Ansatz falsch wäre.


Wo denn?


Nein, die Mauer habe ich nicht doppelt berücksichtigt.

Der Umfang ist U = 2a + 2b  = 100 + 40.    oder nicht?

und wenn ich davon ausgehe, dass ich im Prinzip die Mauer voll nutzen möchte, aber die Seite nicht genau 40 m lang ist (weiss ich von vornherein  ja nicht)... Komme ich zu  a = 40 +x...

???


Bezug
                                        
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Extremwertaufgabe Mauer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Fr 09.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hallo hase,

am Ende der Korrekturmitteilungen kommen die Beteiligten zum Ergebnis, dass der Ansatz funktioniert :-)
Also insofern funktioniert dein Ansatz, er ist aber unvollständig.

Korrekt müsste man zwei Fälle unterscheiden, die unterschiedlich zu betrachten sind:

1.) Die Mauer wird durch Zaun verlängert, dann erhält man $a = 40+x$ mit der Bedingung $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 30$

2.) Ein Teil der Mauer wird als (vollständige) Rechteckseite verwendet. Dann wählt man bspw $a = 40 - x$ und $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 40$.

Beide Fälle liefern aber das selbe Ergebnis: Das größtmögliche Rechteck erhält man, wenn man die Mauer vollständig verwendet und den Rest mit Zaun umrandet. In beiden Fällen wäre das $x=0, b=30$.

Gruß,
Gono

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Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 Sa 10.03.2018
Autor: hase-hh

Ich wehre mich nur gegen die Behauptung, dass mein Ansatz falsch sei.

Es ist schlicht Unsinn, dass ich die Mauer zwei Mal berücksichtigt habe.

Vielen Dank!!

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Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:46 Sa 10.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich wehre mich nur gegen die Behauptung, dass mein Ansatz falsch sei.

Er ist aber falsch, er führt nur zufällig zum korrekten Ergebnis

> Es ist schlicht Unsinn, dass ich die Mauer zwei Mal berücksichtigt habe.

Nein ist es nicht.
Dein Ansatz war:

$a = 40 + x$ oder detailreicher: a = 40 MAUERMETER + x ZAUNMETER

Dann setzt du:

U = 2*(40+x) +2*b

Oder in Worten:

U = 2*(40 MAUERMETER +x ZAUNMETER) +2*b ZAUNMETER

Was dasselbe ist wie:

U = 80 MAUERMETER +2*x ZAUNMETER +2*b ZAUNMETER

Im Umfang sind aber gar keine 80 MAUERMETER verbaut, sondern nur 40 Meter!

Das geht nur zufällig auf, weil in der Aufgabe 140 Meter Gesamtumfang und 100 Meter Zaunumfang vorgegeben sind und du die Unterscheidung vernachlässigst… so dass nachher zufällig genau 40 MAUERMETER übrig bleiben.

Wären die Zahlen anders, wäre dein Ansatz gescheitert.

Gruß,
Gono


Bezug
                                                                
Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 So 11.03.2018
Autor: hase-hh

Nein, das habe ich genau nicht gemacht. Wieso unterstellst du mir das immer noch?

Lies doch mal meinen Ansatz durch!

Ich habe die 40 Mauermeter nur einmal berücksichtigt.

1. Ich habe 100m Zaun zur Verfügung.  

2. Der Umfang des Rechtecks beträgt 2a + 2b.  

3.  Für die beiden Seiten a gilt:   2a = 2* (x+40), aber davon ist 40 m Mauer abgedeckt, also sind beide Seiten mit 2x + 40 zu umzäunen plus 2b.

Dafür stehen 100 m zur Verfügung. => Mein Ansatz  

2x + 40 + 2b = 100    bzw. b = 30 - x


Nichts anderes habe ich oben formuliert.

Das ist dasselbe, wie 80 m Mauer anzusetzen aber gleichzeitig 40 m zum mir zur Verfügung stehenden Umfang hinzuzurechnen... in beiden Fällen komme ich auf  2x + 80 + 2b = 140  bzw.  2x + 40 + 2b = 100.


Richtig ist, dass die Lösung x = -5 unsinnig ist, und man daher das Randextremum nimmt.


Und Entschuldigung, auf den Ansatz a = 40 - x würde ich im Leben nicht kommen, da ich nicht begreife warum man von vornherein nicht die ganze Mauer nutzen will.  Das am Rande.


LG





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Extremwertaufgabe Mauer: Achtung: Fehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:04 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Setze a = 40 - x, dann ist b = 30 + x/2

Bis hierher passt das.

> Die entsprechende Zielfunktion maximiert ergibt x = 10

Das allerdings stimmt nicht. Für diese Zielfunktion

[mm] A(x)=-\frac{1}{2}x^2-10x+1200 [/mm]

gilt

[mm] A'(x)=0\Rightarrow{x=-10} [/mm]

Das ist aber nicht möglich, weil das auf einen Umfang von 150m führen würde, wofür die Mauer 50m lang sein müsste. Also läuft es auf ein Randmaximum bei x=0 mit [mm] A=40*30=1200m^2 [/mm] hinaus, wie in der Antwort von GonozalIX erläutert.


Gruß, Diophant

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Extremwertaufgabe Mauer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Fr 09.03.2018
Autor: mythos2288

Ich möchte mich abschließend auch nochmals dazu äußern:
Das (mathematisch richtige) Ergebnis der ersten Annahme (x = -5) hat gezeigt, dass man x nicht zu 40 addieren kann, also muss es davon abgezogen werden.
Daher: a = 40 - x; mit der Nebenbedingung muss dann b = 30 + x/2 sein*
(ich sehe nicht, was daran falsch sein soll)
(*) 40 - x + 2b = 100

Es ist dann A(x) = (40 - x)(30 + x/2) und A'(x) = -10 + x

EDIT: Die Ableitung ist -10 - x, daher ist u.s. nicht richtig!

Bei A'(x) = 0 --> x = 10; A''(x) = 1 > 0  Max.
Das flächengrößte Rechteck hat dann die Ausmaße 30 * 35, der Umfang ohne  Mauer ist 30 + 2*35 = 100

mY+

Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Ableitung ist falsch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich möchte mich abschließend auch nochmals dazu
> äußern:
> Das (mathematisch richtige) Ergebnis der ersten Annahme (x
> = -5) hat gezeigt, dass man x nicht zu 40 addieren kann,
> also muss es davon abgezogen werden.

Das ist Quatsch, denn... Ja, genau (sorry für den Quatsch, der beruhte auf einem Denkfehler meinerseits) :-).

> Daher: a = 40 - x; mit der Nebenbedingung muss dann b = 30
> + x/2 sein*
> (ich sehe nicht, was daran falsch sein soll)
> (*) 40 - x + 2b = 100

>

> Es ist dann A(x) = (40 - x)(30 + x/2)

Bis hierher ist alles richtig.

> und A'(x) = -10 + x

Das aber ist falsch:

[mm]A(x)=(40-x)*\left(30+\frac{x}{2}\right)=1200-10x-\frac{1}{2}x^2[/mm]

Also haben wir

[mm]A'(x)=-10-x[/mm]

Da hast du beim Ableiten irgendwo einen Fehler gemacht.


Gruß, Diophant

Bezug
                                        
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Extremwertaufgabe Mauer: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 Fr 09.03.2018
Autor: mythos2288

Ja, leider, ich habe den Fehler erst jetzt bemerkt, sapperlot aber auch!
Danke für die Rückmeldungen!
So einfach diese Aufgabe auch erscheint, so vertrackt ist sie allemal!

Grüße mY+

Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:08 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo Gonozal_IX,

> D.h. deine Aufgabe ist: Maximiere deine Zielfunktion [mm]A = 1200 -10*x -x^2[/mm]
> auf [mm][0,30][/mm]

Du hast hier vom Themenstarter die falsche Zielfunktion übernommen. die richtige Zielfunktion lautet

[mm] A(x)=-\frac{1}{2}x^2-10x+1200 [/mm]

Die Lösung mit dem Randmaximum bei x=0 bleibt dennoch richtig.

EDIT: obwohl nicht ganz leicht nachzuvollziehen ist die obige Zielfunktion ebenfalls richtig (unter der Annahme, dass die Seite [mm] a\ge{40} [/mm] ist). Meine Korrektur war also somit falsch.


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:30 Fr 09.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hallo Diophant,

erstmal vorweg: Danke für Korrekturen.
Allerdings sehe ich noch nicht, wieso deins die Zielfunktion für die Fläche des Rechtecks sein sollte…

Es ist $A = ab$ mit $a = 40 + x$ und $b = 30 - x$

Einsetzen liefert: $A(x) = (40 + x)(30 - x) = [mm] -x^2 [/mm] -10x + 1200$  und das ist zu maximieren.
Nix von [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm]

edit: Das [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] wäre nur korrekt, falls $b = 30 - [mm] \frac{x}{2}$ [/mm] wäre, das ist aber nur in mythos Ansatz der Fall…

Dann lautet die Zielfunktion aber $A(x) = [mm] -\frac{1}{2}x^2 [/mm] + 10x + 1200$, d.h. vor der 10x steht ein + und kein -

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:33 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,

>

> erstmal vorweg: Danke für Korrekturen.
> Allerdings sehe ich noch nicht, wieso deins die
> Zielfunktion für die Fläche des Rechtecks sein sollte…

>

> Es ist [mm]A = ab[/mm] mit [mm]a = 40 + x[/mm] und [mm]b = 30 - x[/mm]

>

Dein b ist falsch*. Schaue dir meine Skizze an, es gilt

2b+a=100

und damit bekommt man eben (mit a=40-x)

b=30+x/2.

Ein Rechteck hat vier Seiten, soweit mir bekannt ist. :-)

*Der ganze Ansatz von hase_hh kann ja schon deshalb nicht funktionieren, weil er in seiner Darstellung des Umfangs die Mauer zweimal drinhat. Es ist viel sinnvoller, mit einem Stück x zu rechnen, um das die Mauer übersteht als andersherum, denn dann muss man bei der Darstellung des Umfangs irgendwie berücksichtigen, dass eine Seite a die mauer enthält, aber eben nur eine!


Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:38 Fr 09.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hey,

ich hab meine Mitteilung nochmal ein wenig erweitert… aber ich glaube das Problem ist der grundsätzliche Ansatz:

Ich hab meine 40m Mauer und ERWEITERE sie mit x Meter Zaun.
Dann ist der Gesamtumfang (Zaun und Mauer): $2*40 + 2x + 2b$

Davon entfallen auf den Zaun: $1*40 + 2x + 2b$.
Und ich habe 100m Zaun, d.h. es muss gelten: $100 = 1*40 + 2x + 2b [mm] \gdw [/mm] 30 = x + b$

Also ist $b = 30 - x$ nix mit [mm] $\frac{1}{2}$… [/mm] da hilft auch keine Skizze ;-)

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Extremwertaufgabe Mauer: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 12:42 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hey,

>

> ich hab meine Mitteilung nochmal ein wenig erweitert…
> aber ich glaube das Problem ist der grundsätzliche
> Ansatz:

>

> Ich hab meine 40m Mauer und ERWEITERE sie mit x Meter
> Zaun.
> Dann ist der Gesamtumfang (Zaun und Mauer): [mm]2*40 + 2x + 2b[/mm]

>

> Davon entfallen auf den Zaun: [mm]1*40 + 2x + 2b[/mm].
> Und ich habe
> 100m Zaun, d.h. es muss gelten: [mm]100 = 1*40 + 2x + 2b \gdw 30 = x + b[/mm]

>

> Also ist [mm]b = 30 - x[/mm] nix mit [mm]\frac{1}{2}[/mm]… da hilft auch
> keine Skizze ;-)

Dein Ansatz ist klar. Der Fehler, den ihr (du und der Themenstarter) begeht, liegt in der Darstellung des Umfangs und damit der Nebenbedingung.

Wenn man einfach

U=2a+2b=2(40+x)+2b=140

setzt, dann befinden sich da zwei parallele Mauern mit je 40m Länge, deren Abstand man praktischerweise verfahren kann (der Mathematik zuliebe). Nur so aber kommt man auf eure Darstellung für die Seite b!

EDIT: ok, das war ein Denkfehler meinerseits, euer Ansatz ist ebenfalls richtig.


Gruß, Diophant

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Extremwertaufgabe Mauer: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 12:50 Fr 09.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Dein Ansatz ist klar.

Anscheinend nicht *g*

> Der Fehler, den ihr (du und der Themenstarter) begeht, liegt in der Darstellung des Umfangs und damit der Nebenbedingung.
>  
> Wenn man einfach
>  
> U=2a+2b=2(40+x)+2b=140
>  
> setzt, dann befinden sich da zwei parallele Mauern mit je
> 40m Länge, deren Abstand man praktischerweise verfahren
> kann (der Mathematik zuliebe).

Korrekt, das ist mir beim Themenersteller auch aufgefallen und ich wollte das auch anmerken. Aber dann habe ich einen anderen Ansatz gewählt und musste feststellen, dass

>  Nur so aber kommt man auf
> eure Darstellung für die Seite b!

nicht stimmt, sondern man auch anders auf die Darstellung kommt!

Ich verwende nämlich gar nicht die Nebenbedingung des Umfangs! Sondern schlichtweg die Nebenbedingung, wie viel Zaun verfügbar ist!

D.h. nur die Bedingung, dass der Umfang ABZÜGLICH 40m Mauer 100 sein muss! Und da ist die fiktive zweite Mauer eben nicht vorhanden!

Und damit greift dein Einwand nicht mehr… soll ich auch ne Skizze machen?

edit: Wir können gerne mal die Probe aufs Exempel machen… und prüfen beide Ansätze für bspw. ne 5m Mauer.

edit2: Ok, nehmen wir mal eine 10m Mauer an, statt einer 40m Mauer.

Bei meinem Ansatz wäre dann a = 10 + x mit der Nebenbedingung: $100 = 10 + 2x + 2b [mm] \gdw [/mm] b = 45 - x$

Zu Maximieren wäre dann $A = ab = (10 + x)(45 - x) = [mm] -x^2 [/mm] +35x + 450$

Macht: $x = [mm] \frac{35}{2}$ [/mm]

Mit deiner Methode müsstest du ja eine andere Lösung bekommen, an der man konkret zeigen kann, welcher Ansatz den richtigen Wert liefert.

Gruß,
Gono

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Extremwertaufgabe Mauer: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 13:03 Fr 09.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,
>

> > Dein Ansatz ist klar.
> Anscheinend nicht *g*

>

> > Der Fehler, den ihr (du und der Themenstarter) begeht,
> liegt in der Darstellung des Umfangs und damit der
> Nebenbedingung.
> >
> > Wenn man einfach
> >
> > U=2a+2b=2(40+x)+2b=140
> >
> > setzt, dann befinden sich da zwei parallele Mauern mit je
> > 40m Länge, deren Abstand man praktischerweise verfahren
> > kann (der Mathematik zuliebe).

>

> Korrekt, das ist mir beim Themenersteller auch aufgefallen
> und ich wollte das auch anmerken. Aber dann habe ich einen
> anderen Ansatz gewählt und musste feststellen, dass

>

> > Nur so aber kommt man auf
> > eure Darstellung für die Seite b!

>

> nicht stimmt, sondern man auch anders auf die Darstellung
> kommt!

>

> Ich verwende nämlich gar nicht die Nebenbedingung des
> Umfangs! Sondern schlichtweg die Nebenbedingung, wie viel
> Zaun verfügbar ist!

>

> D.h. nur die Bedingung, dass der Umfang ABZÜGLICH 40m
> Mauer 100 sein muss! Und da ist die fiktive zweite Mauer
> eben nicht vorhanden!

>

> Und damit greift dein Einwand nicht mehr… soll ich auch
> ne Skizze machen?

Nein, ich habe es nachgerechnet und kann es jetzt nachvollziehen. Es wäre allerdings besser gewesen, wenn du in deiner Antwort daruaf näher eingegangen wärst.

Sei Z: Länge des verfügbaren Zauns. Nach deinem Ansatz haben wir

[mm]\begin{aligned} Z=(a-40)+a+2b&=100\ \gdw\\ a+b&=70\ \gdw\\ 40+x+b&=70\ \Rightarrow\\ b&=30-x \end{aligned}[/mm]

Ich passe meine Beiträge dementsprechend an.


Gruß, Diophant

 

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Extremwertaufgabe Mauer: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 13:07 Fr 09.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hey,

danke trotzdem für die Diskussion… ist schön mal etwas Feedback hier zu bekommen :-)
Und wie ich schon schrieb: Ich bin da beim Fragesteller auch drüber gestolpert… und hätte ich erwartet, dass die Frage so viel Aufmerksamkeit bekommt, hätte ich es anders ausgeführt.

Die Frage wirkte aber eher nach einem praktischen Problem, wo es mehr auf die Richtigkeit der Lösung, als auf den Weg dahin ankommt… darum wollte ich den Fragesteller mit dem Einwand "Du machst zwar einen Fehler, aber am Ende ist deine Bedingung trotzdem korrekt" nicht verwirren.

Gruß,
Gono

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