Extremwertaufgabe Nebenbedingu < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mo 19.05.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | 1. Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Punktes
[mm] P(2,2\wurzel{2},\bruch{1}{2}) [/mm] von dem Rotationsparaboloid
[mm] z=x^2+y^2
[/mm]
2. Sei s>0 ein Parameter. Bestimmen Sie ein Dreieck mit den
Seitenlängen x,y,z > 0 und dem Umfang x+y+z=2s derart, dass der
Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird! |
Hallo,
wir fangen gerade erst mit Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen an.
Ich finde bei den beiden Aufgaben leider keinen Ansatz, dass sind meine ersten Anwendungsaufgaben zu dem Thema und mir fehlt völlig der Zugang. Kann mir vielleicht jemand mit einem Ansatz/Idee helfen? Oder gibt es vielleicht irgendwo mal ein Beispiel zum Thema Abstand Punkt und Rotationskörper?
Konkret scheitert es daran, dass ich bei beiden Aufgaben keine Zielfunktionen aufstellen kann, denn das was in der Aufgabenstellung steht ist ja jeweils die Nebenbedingung, oder?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mo 19.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Generell suchst du ja irgendeine Grösse, bei b) zum Beispiel die Fläche eines Dreieckes, von der du dann das Maximum bestimmen musst.
Die Fläche eines Dreieckes bestimmst du ja allgemein mit [mm] A=\bruch{1}{2}*g*h_{g}
[/mm]
Jetzt hast du hier als Seitenlänge x, y und z.
Nimm mal x als Grundseite, dann ergibt sich:
[mm] A=\bruch{1}{2}*x*h_{x}
[/mm]
Das Problem ist, dass du [mm] h_{x} [/mm] nicht kennst.
Die Höhe h teilt die Grundseite aber in zwei Teile, nennen wir sie p und q(=x-p), wobei p auf der Seite "unter"y liegen sol, und q auf der Seite unter z.
Also gilt:
[mm] h_{x}²=y²+p²
[/mm]
und auch [mm] h_{x}²=z²+(x-p)²
[/mm]
Ausserdem wissen wir, dass x+y+z=2s sein sollen.
Jetzt musst du daraus irgendwie eine Bedingung "zusammenbasteln", so dass nachher der Flächeninhalt nur noch von einer Seite (z.B.: x) und dem bekannten Parameter s abhängig ist.
Ich brauche also eine Funktion [mm] A_{s}(x)=...
[/mm]
Und hiervon suchst du dann das Maximum.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mo 19.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Hatte gerade noch eine andere Idee. Geht es vielleicht so:
Der Flächeninhalt vom Dreieck ist auch: [mm] f(x,y,z)=\bruch{xyz}{4r} [/mm] (wobei r der Umkreisradius ist). Dann nehme ich als Nebenbedingung
g(x,y,z)=x+y+z-2s.
[mm] g_{x}=g_{y}=g_{z}=1 [/mm] Daraus folgt rank(1,1,1)=(0,0,0), das ist eine falsche Aussage also bekomme ich über die Nebenbedingung schonmal keine kritischen Punkte.
Dann mache ich weiter mit den Lagrange-Multiplikatoren:
[mm] L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda*g(x,y,z)
[/mm]
[mm] L_{x}=\bruch{yz}{4r}+\lambda
[/mm]
[mm] L_{y}=\bruch{xz}{4r}+\lambda
[/mm]
[mm] L_{y}=\bruch{xy}{4r}+\lambda
[/mm]
[mm] L_{\lambda}=x+y+z-2s
[/mm]
Jetzt müssen alle 4 1. Ableitungen gleichzeitig null sein.
Aus den ersten drei folgt nach umstellen x=y=z
und aus der 4. dann [mm] x=y=z=\bruch{2}{3}s
[/mm]
Kann ich das so machen?
Hat jemand eine Idee zu Aufgabe 1.?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 19.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
für 2 ist dein Vorgehen 100% richtig und gut!
Revision: weduwe hat unseren Fehler bemerkt, Die Herleitung ist falsch!
zu 1: schreib doch den Abstand d (oder dessen Quadrat) von P zu einem Punkt (x,y,z) hin. Die Nebenbedingung ist dann dass (x,y,z) auf dem paraboloid liegt.
(da d>0 kann man min [mm] d^2 [/mm] statt min d suchen. das macht die Ableitungen einfacher)
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:17 Mo 19.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Danke für die schnelle Antwort! Ich hab es jetzt versucht und komme an einer Stelle nicht weiter:
[mm] d^2=f(x,y,z)=(2-x)^2+(2\wurzel{7}-y)^2+(\bruch{1}{2}-z)^2
[/mm]
und die Nebenbedingung [mm] g(x,y,z)=x^2+y^2-z
[/mm]
Als erstes wieder die Überprüfung der Rangbedingung, also:
[mm] g_{x}=2x
[/mm]
[mm] g_{y}=2y
[/mm]
[mm] g_{z}=-1
[/mm]
Daraus folgt [mm] g_{z}=-1=0 [/mm] ist ein Wiederspruch also bekomme ich aus dieser Bedingung keine kritischen Punkte.
Dann die Lagrange-Multiplikatoren:
[mm] L_{x}=-2(2-x)+2*\lambda*x=0
[/mm]
[mm] L_{y}=-2(2-y)+2*\lambda*y=0
[/mm]
[mm] L_{z}=-2(\bruch{1}{2}-z)-\lambda=0
[/mm]
[mm] L_{\lambda}=x^2+y^2-z=0
[/mm]
Normalerweise suche ich jetzt nach der "schwächsten" Gleichung, also irgendwas woraus ich ein Produkt oder so machen kann und dann per Fallunterscheidung x, y, z über die anderen Gleichungen hinbekomme.
Hier sehe ich es gerade leider nicht.
Ist bis hierhin erstmal alles richtig so? Kann mir jemand an der Stelle nochmal einen Anstoß geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 19.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich habe es hinbekommen. Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 19.05.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hatte gerade noch eine andere Idee. Geht es vielleicht so:
>
> Der Flächeninhalt vom Dreieck ist auch:
> [mm]f(x,y,z)=\bruch{xyz}{4r}[/mm] (wobei r der Umkreisradius ist).
> Dann nehme ich als Nebenbedingung
> g(x,y,z)=x+y+z-2s.
>
> [mm]g_{x}=g_{y}=g_{z}=1[/mm] Daraus folgt rank(1,1,1)=(0,0,0), das
> ist eine falsche Aussage also bekomme ich über die
> Nebenbedingung schonmal keine kritischen Punkte.
>
> Dann mache ich weiter mit den Lagrange-Multiplikatoren:
>
> [mm]L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda*g(x,y,z)[/mm]
>
> [mm]L_{x}=\bruch{yz}{4r}+\lambda[/mm]
> [mm]L_{y}=\bruch{xz}{4r}+\lambda[/mm]
> [mm]L_{y}=\bruch{xy}{4r}+\lambda[/mm]
> [mm]L_{\lambda}=x+y+z-2s[/mm]
>
> Jetzt müssen alle 4 1. Ableitungen gleichzeitig null sein.
> Aus den ersten drei folgt nach umstellen x=y=z
> und aus der 4. dann [mm]x=y=z=\bruch{2}{3}s[/mm]
>
> Kann ich das so machen?
ich bin zwar ziemlich ahnungslos, aber da hätte ich schon ziemliches bauchweh, auch wenn das ergebnis korrekt ist.
da implizierst du doch, das der umkreisradius konstant ist (bei konstantem umfang), und das ist - denke ich - falsch.
dazu ein bilderl mit [mm]x+y+z = 3+4+5 = 12[/mm] und [mm]x+y+z = 4+4+4 = 12[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
verwende doch die heronsche flächenformel
[mm] A^2=s(s-x)(s-y)(s-z)
[/mm]
[mm]g(x,y,z)=A^2+\lambda\cdot(x+y+z-2s)[/mm]
damit bekommst du (auch) problemlos
[mm]x=y=z=\frac{2s}{3}[/mm]
aber wie gesagt???
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Also bei der heronschen Flächenformel, da ist ja dieses s drin. Kann ich das denn als Konstante betrachten? ich habe mir die selbe Frage bezüglich des r auch gerade gestellt...
die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da s ist doch gerade der halbe Umfang! Also hat weduwe recht. sorry, dass ich dein erstes post als richtig abgehakt hatte!
(wiki Satz des Heron)
Gruss leduart
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Also ich habe es jetzt forgendermaßen formuliert:
Da der Umfang für Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt konstant ist, kann s in der Zielfunktion als Parameter betrachtet werden, also
F(x,y,z) und nicht F(x,y,z,s)
Habe ich das jetzt richtig verstanden?
Vielen Dank, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also ich habe es jetzt forgendermaßen formuliert:
>
> Da der Umfang für Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt
> konstant ist, kann s in der Zielfunktion als Parameter
> betrachtet werden, also
Das ist falsch, gleicher Umfang bedeutet nicht gleiche Fläche.
In der Aufgabe ist der Umfang mit x+y+z=U=2s als konstant vorrausgesetzt!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Danke, dass du mein fehlerhaftes "richtig" korrigiert hast! markier solche falschen Antworten einfach als Fehlerhaft! das ist auffälliger als ne Mitteilung.
Gruss leduart
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