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Forum "Extremwertprobleme" - Extremwertaufgabe für A->max.
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Extremwertaufgabe für A->max.: Frage/Nachkontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Mi 10.11.2004
Autor: loona

Hallo!
Kniffle an einer Extremwertaufgabe, (bekomm immer von 1.Abl. y´=0) folgender weise:

Angabe:
Berechnen Sie jenen Basiswinkel  [mm] \alpha [/mm] , für den ein gleichschenkeliges Dreieck mit dem Schenkel S den größten Flächeninhalt erhält.

So, und hier mein Versuch:

Mein Gedankengang war, dass ich in die Variable c (basis des dreiecks) in einer Nebenbedingung (Phytag. vom rechtw. Dreieck) beschreibe  und dann in die Hauptbedingung (HB) einsetze. Danach die 1. Ableitung von der HB 0 setzten und das [mm] x_{m} [/mm] berechnen (=h).
Folgend die 2. Ableitung von HB bilden und überprüfen ob [mm] x_{m} [/mm] ein Maximum ist.
....

A->max.
Hauptbedingung (HB): A=hc/2

Nebenbedingung:
c/2= [mm] \wurzel{(s^{2}-h^{2})} [/mm]

HB: (* für multiplikation) A=h/2* [mm] \wurzel{(s^{2}-h^{2})} [/mm]
vereinfacht: A= [mm] h*2(s^{2}-h^{2})^{1/2} [/mm] /2

Quotientenregel: [mm] (u'v-uv')/v^{2} [/mm]

[mm] u=2h(s^{2}-h^{2})^{(1/2)} [/mm]
[mm] u'=2*(1/2)*-2h*(s^{2}-h^{2})^{(-1/2)} [/mm] =
[mm] =-2h*(s^{2}-h^{2})^{(-1/2)} [/mm]
v=2
v'=0

[mm] A'=(u'v-uv')/v^{2} [/mm]
[mm] A'=(-2h(s°{2}-h^{2})^{(-1/2)}*2)/4 [/mm]
gekürzt:
[mm] A'=-h(s^{2}-h^{2})^{(-1/2)} [/mm]

Wenn ich dies weiterrechne, komm ich leider nicht auf die gewünschte form h=(s....)
Ich hock jetzt schon ne zeitlang hinter dem beispiel und ich fürchte ich habe es schon viel weiter oben verbockt, guck jetzt aber immer drüber... :-/
Darum bitt ich, ob mir wer bitte meinen Fehler aufdeckt.

MFG!
l [mm] \infty [/mm] na





Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extremwertaufgabe für A->max.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Do 11.11.2004
Autor: Loddar

Guten Morgen Loona,

> Hallo!
>  Kniffle an einer Extremwertaufgabe, (bekomm immer von
> 1.Abl. y´=0) folgender weise:
>  
> Angabe:
> Berechnen Sie jenen Basiswinkel  [mm]\alpha[/mm] , für den ein
> gleichschenkeliges Dreieck mit dem Schenkel S den größten
> Flächeninhalt erhält.
>  
> So, und hier mein Versuch:
>  
> Mein Gedankengang war, dass ich in die Variable c (basis
> des dreiecks) in einer Nebenbedingung (Phytag. vom rechtw.
> Dreieck) beschreibe  und dann in die Hauptbedingung (HB)
> einsetze. Danach die 1. Ableitung von der HB 0 setzten und
> das [mm]x_{m}[/mm] berechnen (=h).
>  Folgend die 2. Ableitung von HB bilden und überprüfen ob
> [mm]x_{m}[/mm] ein Maximum ist.
>  ....
>  
> A->max.
>  Hauptbedingung (HB): A=hc/2
>  
> Nebenbedingung:
>  c/2= [mm]\wurzel{(s^{2}-h^{2})}[/mm]

Bis hierhin alles ok.

> HB: (* für multiplikation) A=h/2* [mm]\wurzel{(s^{2}-h^{2})}[/mm]
> vereinfacht: A= [mm]h*2(s^{2}-h^{2})^{1/2}[/mm] /2

Hier hat sich der 1. kleine Fehler eingeschlichen: die 2 kürzt sich raus.
Es verbleibt also:
A= h*[mm]\wurzel{(s^{2}-h^{2})}[/mm]

Da es sich hierbei aber nicht um eine Quotient handelt, sondern ein Produkt ("h × Wurzel"), musst Du hier die Produktregel anwenden:
(u·v)' = u'·v + u·v'



Ich hoffe, so kommst Du nun weiter ...

In meiner Vegleichsrechnung habe ich durch die Beziehung sin [mm] \alpha [/mm] = h/s eine etwas andere Funktionsvorschrift erhalten. Ich erhalte hierbei auch gleich die gesuchte Größe  [mm] \alpha. [/mm]
Aber auch Dein Weg führt zum Ziel, Du musst halt erst am Ende aus dem h in  [mm] \alpha [/mm] umrechnen.

Grüße Loddar


Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe für A->max.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:40 Do 11.11.2004
Autor: loona

Herzlichen Dank!
Argh, es ärgert mich zu sehen, bei was für´n kleinkram es hapert...
Ich hatte es auch zuvor über den tangens probiert

tan /alpha = [mm] h/\wurzel{(s^{2}-h^{2})} [/mm]

hab aber anschliessend probleme mit der ableitung gehabt (vielleicht wieder ein simples kürzungsproblem..).

Aber nochmals herzlichen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe für A->max.: Alternativ-Funktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Fr 12.11.2004
Autor: Loddar

Hallo Loona,

bei meinem o.g. Lösungsansatz komme ich auf folgende Funktionsvorschrift.

[mm] A(\alpha) [/mm] = [mm] s^{2} \times cos(\alpha) \times sin(\alpha) [/mm]

Ist nur als Idee/Anregung gedacht, um das eigene Ergebnis zu kontrollieren.
Welcher Weg letztendlich beschritten wird, bleibt jedem noch selbst überlassen ...

Grüße Loddar

Bezug
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