Extremwertaufgabe mit Integral < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 02.12.2007 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Eine achsensymmetrische Parabel 2.Ordnung, die nach unten geöffnet ist und durch A(1/1) geht. Sie schließt eine extremale Fläche mit der x-Achse ein. Welche dieser besonderen Parabeln macht das? |
Hi!
Also ich habe mit eine Zeichnung gemacht. Ich weiß also wie die Aufgabe gemeint ist.
Dann habe ich f(x) gebildet
[mm] f(x)=-ax^2 [/mm] +c
f'(x)=-2ax
und f''(x)=-2a
Ich habe auch die Schnittpunkte berechnet (weiß aber nicht ob ich ich die brauche
x1/2=+- [mm] \wurzel{ \bruch{a+1}{a} }
[/mm]
Und jetzt hakt es.
Ich weiß nicht so ganz weiter...
Könnte mir bitte jemand helfen?
LG
KErstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Küken!
Das sieht alles sehr gut aus bisher. Berechne nun die Fläche zwischen Kurve und x-Achse (in Abhängigkeit von $a_$):
$$A(a) \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-\wurzel{\bruch{a+1}{a}}}^{+\wurzel{\bruch{a+1}{a}}}{-a*x^2+a+1 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral_{0}^{+\wurzel{\bruch{a+1}{a}}}{-a*x^2+a+1 \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Für diese Funktion $A(a)_$ nun eine Extremwertberechnung für $a_$ durchführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 02.12.2007 | | Autor: | Kueken |
Ist bis hierhin schonmal mein A(a) richtig?
A(a)= 2* [mm] \wurzel{ \bruch{a+1}{a} } [/mm] *(2/3 a +1)
Und das dann wieder ableiten ja?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Küken!
> Ist bis hierhin schonmal mein A(a) richtig?
> A(a)= 2* [mm]\wurzel{ \bruch{a+1}{a} }[/mm] *(2/3 a +1)
Fast. Ich habe erhalten:
$$A(a) \ = \ [mm] 2*\wurzel{ \bruch{a+1}{a} } *\left(\bruch{2}{3}* a + \ \red{\bruch{2}{3}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}*\wurzel{ \bruch{a+1}{a} } [/mm] *(a +1)$$
> Und das dann wieder ableiten ja?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 02.12.2007 | | Autor: | Kueken |
hab jetzt nochmal gerechnet... Wie bist du auf die roten 2/3 gekommen?
Die Stammfunktion hei0t doch [mm] 2*[-1/3*a*x^3 [/mm] + ax +x oder? Wenn ich für das letzte x die Grenze einsetze komm ich nicht auf die 2/3 von dir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Küken!
Die Stammfunktion lautet ja:
[mm] $$-\bruch{a}{3}*x^3+(a+1)*x [/mm] \ = \ [mm] x*\left[-\bruch{a}{3}*x^2+(a+1)\right]$$
[/mm]
Nun werden die Grenzen eingesetzt:
$$A(a) \ = \ [mm] 2*\wurzel{\bruch{a+1}{a}}*\left[-\bruch{a}{3}*\bruch{a+1}{a}+(a+1)\right]$$
[/mm]
$$A(a) \ = \ [mm] 2*\wurzel{\bruch{a+1}{a}}*\left[-\bruch{1}{3}*(a+1)+(a+1)\right]$$
[/mm]
$$A(a) \ = \ [mm] 2*\wurzel{\bruch{a+1}{a}}*\left[\bruch{2}{3}*(a+1)\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 So 02.12.2007 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Konnte meinen Fehler nicht finden... aber hab jetzt mit der Anleitung a=0,25 raus :)
Vielen dank für die Hilfe!!!
Liebe Grüße
Kerstin
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