Extremwertaufgabe mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:36 Do 01.05.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Finde die Extremwerte der folgenden Funktion:
f(x,y,z) = x² + y² + z² -->min!
NB: x + y + z = 1 |
Hallo!
Habe dieses Kapitel in der Vorlesung leider nur sehr wenig verstanden. Nun, was ich weiß, ist, dass man zur Lösungsfindung 2 Methoden anwenden kann: Substitutionsmethode oder die Lagrange-Funktion.
Glaube mich erinnern zu können, dass erwähnt wurde, dass die Substitutionsmethode hier nicht angewendet werden kann, da in der Funktion mehr als 2 Variablen vorkommen. Ist diese Behauptung richtig?
Die Vorgehensweise (mit der Lagrange-Funktion) sieht so aus:
1. Lagrange-Funktion aufstellen
2. Kritische Punkte davon finden (Gradient null setzen)
3. Kritische Punkte untersuchen
Also, los gehts:
f(x,y,z) = x² + y² + z² -->min! NB: x + y + z - 1 = 0
1. Lagrange-Funktion:
[mm] L(x,y,z,\lambda) [/mm] = x² + y² + z² - [mm] \lambda*(x [/mm] + y + z - 1)
2. kritischen Punkt finden:
grad L = [mm] \vektor{2x-\lambda \\ 2y-\lambda \\ 2z-\lambda \\ -(x + y + z - 1)} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
I) x = [mm] \bruch{\lambda}{2}
[/mm]
II) y = [mm] \bruch{\lambda}{2}
[/mm]
III) z = [mm] \bruch{\lambda}{2}
[/mm]
IV) x + y + z = 1
Ab jetzt weiß ich leider nicht mehr, wie es weitergeht. Könnte mir bitte jemand helfen? Bin für jede Anregung dankbar!
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Do 01.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Finde die Extremwerte der folgenden Funktion:
>
> f(x,y,z) = x² + y² + z² -->min!
>
> NB: x + y + z = 1
> Hallo!
>
> Habe dieses Kapitel in der Vorlesung leider nur sehr wenig
> verstanden. Nun, was ich weiß, ist, dass man zur
> Lösungsfindung 2 Methoden anwenden kann:
> Substitutionsmethode oder die Lagrange-Funktion.
> Glaube mich erinnern zu können, dass erwähnt wurde, dass
> die Substitutionsmethode hier nicht angewendet werden kann,
> da in der Funktion mehr als 2 Variablen vorkommen. Ist
> diese Behauptung richtig?
>
> Die Vorgehensweise (mit der Lagrange-Funktion) sieht so
> aus:
>
> 1. Lagrange-Funktion aufstellen
> 2. Kritische Punkte davon finden (Gradient null setzen)
> 3. Kritische Punkte untersuchen
>
>
> Also, los gehts:
>
> f(x,y,z) = x² + y² + z² -->min! NB: x + y + z - 1
> = 0
>
> 1. Lagrange-Funktion:
>
> [mm]L(x,y,z,\lambda)[/mm] = x² + y² + z² - [mm]\lambda*(x[/mm] + y + z - 1)
>
> 2. kritischen Punkt finden:
>
> grad L = [mm]\vektor{2x-\lambda \\ 2y-\lambda \\ 2z-\lambda \\ -(x + y + z - 1)}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> I) x = [mm]\bruch{\lambda}{2}[/mm]
>
> II) y = [mm]\bruch{\lambda}{2}[/mm]
>
> III) z = [mm]\bruch{\lambda}{2}[/mm]
>
> IV) x + y + z = 1
>
> Ab jetzt weiß ich leider nicht mehr, wie es weitergeht.
> Könnte mir bitte jemand helfen? Bin für jede Anregung
> dankbar!
>
> mfg
Hallo,
es wird dir vielleicht wenig helfen, aber die Lösung ist [mm] x=y=z=\bruch{1}{3}. [/mm] (Habe ich allerdings nur durch elementare Überlegungen gefunden, in Hochschulmathematik kann ich nicht mithalten.)
Viele Grüße
Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Do 01.05.2008 | | Autor: | medion |
Danke für Deine Hilfe!
Die Lösung für dieses Bsp hätte ich ja, aber der Lösungsweg fehlt mir. Übrigens, dieser Punkt P(1/3, 1/3, 1/3) ist laut Lösung ein lokaler Minimizer.
Habe - wie gesagt - leider keinen Plan wie ich auf diese Lösung komme und würde mich über weitere Anregungen und Hilfestellungen freuen!
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo medion!
Siehe unten!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo medion!
> I) x = [mm]\bruch{\lambda}{2}[/mm]
>
> II) y = [mm]\bruch{\lambda}{2}[/mm]
>
> III) z = [mm]\bruch{\lambda}{2}[/mm]
Setze diese 3 Gleichungen in Gl. IV ein und bestimme [mm] $\lambda$ [/mm] . Damit erhältst Du auch alle anderen Variablen im Anschluss.
> IV) x + y + z = 1
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 01.05.2008 | | Autor: | medion |
Danke für die Hilfe!
ok, dann bekomme ich für [mm] \lambda [/mm] = 2/3
und damit wären dann auch x=y=z=1/3
und wie kann ich jetzt diesen Punkt P(1/3,1/3,1/3) untersuchen? Hesse-Matrix?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:59 Do 01.05.2008 | | Autor: | medion |
Hesse Matrix:
H L [mm] (x,y,z,\lambda) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0}
[/mm]
Nachdem der erste Eintrag in der Matrix [mm] (a_{11}) [/mm] =2 und somit >0 ist, kann die Matrix schonmal nicht neg. definit sein.
Die Determinante ist -12 --> demnach wäre die Matrix indefinit; das kann aber nicht sein, da der kritische Punkt laut Lösung ein Minimizer ist...dh die Matrix müsste pos. definit sein.
hmmmm, weiß jemand wo der Fehler liegt?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Fr 02.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
