Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 11.04.2004 | | Autor: | Sanne |
Hallo,
ich hab über die Ferien einen Aufgabenzettel mit 14 Aufgaben zur Extremwertbestimmung bekommen. Das Prinzip, wie die Aufgaben zu lösen sind, ist mir klar und 11 davon hab ich auch rausbekommen - allerdings bekomme ich bei einer Aufgaben nicht die gleiche Lösungen raus, wie sie vom Lehrer vorgegeben sind... Und bei zwei Aufgaben scheiter ich bereis am Aufstellen der Nebenbedingung.
Die erste Aufgabe lautet:
Ein Wasserstollen soll im Querschnitt die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis haben. Wie groß sind die Stollenwandhöhe h und der Durchmesser d zu wählen, damit der Stollen bei einer Querschnittsfläche von 5m² einen möglichst kleinen Umfang hat?
Als Hauptbedingung hab ich [mm]U=d+2h+\bruch{\pi}{2}d[/mm], als Nebenbedingung [mm]5=d*h+\bruch{\pi}{8}d²[/mm]
Stimmt das so? Dann wäre die vorgegebene Lösung falsch - denn auch mit Mathematica komm ich nicht aufs richtige Ergebnis...
Die zweite Aufgabe:
In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge l soll ein möglichst großes Rechteck einbeschrieben werden. Wie lang sind die Rechteckseiten a und b?
Die Hauptbedingung ist klar - A=a*b, aber wie lautet die Nebenbedingung? Ich weiß, dass ich hier mit Stahlensätzen arbeiten muss - aber irgendwie komm ich nicht auf das Ergebnis..... Habs folgendermaßen probiert:
[mm]h²+(\bruch{l}{2})²=l²
=> h=\wurzel(\bruch{3}{4})*l[/mm]
[mm]\bruch{h}{b}[/mm]=[mm]\bruch{\bruch{l}{2}}{\bruch{l-a}{2}}
[/mm]
Jetzt wollte ich die zweite NB nach h umstellen und in die erste NB einsetzen, die ich nach b umstelle. Kommt aber nur kaudawelsch raus (hab die Rechnung leider nicht mehr vorliegen). Ist das vom Prinzip richtig oder geht das vollkommen anders?
Ein ähnliches Problem bei der dritten Aufgabe
In ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe h und der Grundseite g soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Bestimmen Sie die Rechteckseiten a und b
Anmerkung: Hierbei ist die zu h parallele Seite die Rechteckseite b, die Seite a liegt an g an.
Hier hänge ich allerdings schon total bei der Nebenbedingung.
Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Danke euch schonmal im Voraus,
lg
Sanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 So 11.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sanne
ich versuch mal, ein paar Anmerkungen zu machen, damit du etwas weiter kommst.
> Hallo,
>
> ich hab über die Ferien einen Aufgabenzettel mit 14
> Aufgaben zur Extremwertbestimmung bekommen. Das Prinzip,
> wie die Aufgaben zu lösen sind, ist mir klar und 11 davon
> hab ich auch rausbekommen - allerdings bekomme ich bei
> einer Aufgaben nicht die gleiche Lösungen raus, wie sie vom
> Lehrer vorgegeben sind... Und bei zwei Aufgaben scheiter
> ich bereis am Aufstellen der Nebenbedingung.
>
> Die erste Aufgabe lautet:
>
> Ein Wasserstollen soll im Querschnitt die Form eines
> Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis haben. Wie groß sind
> die Stollenwandhöhe h und der Durchmesser d zu wählen,
> damit der Stollen bei einer Querschnittsfläche von 5m²
> einen möglichst kleinen Umfang hat?
>
Der Wasserstollen ist offenbar ein Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel.
> Als Hauptbedingung hab ich [mm]U=d+2h+\bruch{\pi}{2}d[/mm], als
> Nebenbedingung [mm]5=d*h+\bruch{\pi}{8}d²[/mm]
Die Nebenbedingung sehe ich auch so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für die Hauptbedingung scheinst du die Aufgabe falsch interpretiert zu haben: du berechnest den Umfang des Querschnittes, in der Aufgabenstellung steht aber der Umfang des Stollens - in seiner dreidimensionalen Form - zur Diskussion. 
Reicht dir dieser kleine Hinweis, um weiterzukommen?
>
> Stimmt das so? Dann wäre die vorgegebene Lösung falsch -
> denn auch mit Mathematica komm ich nicht aufs richtige
> Ergebnis...
>
> Die zweite Aufgabe:
> In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge l soll
> ein möglichst großes Rechteck einbeschrieben werden. Wie
> lang sind die Rechteckseiten a und b?
>
> Die Hauptbedingung ist klar - A=a*b, aber wie lautet die
> Nebenbedingung? Ich weiß, dass ich hier mit Stahlensätzen
> arbeiten muss - aber irgendwie komm ich nicht auf das
> Ergebnis..... Habs folgendermaßen probiert:
> [mm]h²+(\bruch{l}{2})²=l²
> => h=\wurzel(\bruch{3}{4})*l[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{h}{b}[/mm]=[mm]\bruch{\bruch{l}{2}}{\bruch{l-a}{2}}
> [/mm]
>
> Jetzt wollte ich die zweite NB nach h umstellen und in die erste NB einsetzen, die ich nach b umstelle. Kommt aber nur kaudawelsch raus (hab die Rechnung leider nicht mehr vorliegen). Ist das vom Prinzip richtig oder geht das vollkommen anders?
>
Nach meiner Meinung liegst du völlig richtig, nur das kaudawelsch verstehe ich nicht ganz. Auch wirds vermutlich ein wenig einfacher, wenn du deine 1. NB bei der 2. einsetzt. Das Resultat muss aber das Gleiche sein.
Ich rechne mal ein Bisschen vor, wenn du nichts dagegen hast:
[mm]\bruch{h}{b} = \bruch{\bruch{l}{2}}{\bruch{l-a}{2}} [/mm]
Den Bruch rechterhand mit 2 erweitert:
[mm]\bruch{h}{b} = \bruch{l}{l-a} [/mm]
[mm]h*l-a*h=b*l [/mm]
[mm]b=h*\bruch{l-a} {l} [/mm]
und jetzt noch h aus deiner ersten NB einsetzen: (l kürzt sich dann weg)
[mm]b=\bruch{\wurzel{3}}{2}*(l-a)[/mm]
Ich glaube, jetzt kommst du selber weiter. 
>
> Ein ähnliches Problem bei der dritten Aufgabe
>
> In ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe h und der Grundseite g soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Bestimmen Sie die Rechteckseiten a und b
Ist das Dreieck wirklich gleichseitig, nicht eher nur gleichschenklig??
Ich nehme mal an, es sei gleichschenklig.
Dann kannst du doch ganz genau wie in Aufgabe 2 weiterfahren, nur dass du hier [mm]h[/mm] gar nicht zu berechnen hast. Deine Nebenbedingung lautet doch dann einfach (einfach von Aufgabe 2 gespickt):
[mm]\bruch{h}{b}[/mm]=[mm]\bruch{\bruch{g}{2}}{\bruch{g-a}{2}}
[/mm]
Die Hauptbedingung ist, so denke ich, identisch wie jene aus Aufgabe 2.
> Anmerkung: Hierbei ist die zu h parallele Seite die Rechteckseite b, die Seite a liegt an g an.
>
> Hier hänge ich allerdings schon total bei der Nebenbedingung.
>
> Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
>
> Danke euch schonmal im Voraus,
>
> lg
> Sanne
>
>
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Ich hoffe, du kommst jetzt ans Ziel! Sonst meldest du dich halt einfach wieder!
Mit freundlichen Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 So 11.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paulus,
> Für die Hauptbedingung scheinst du die Aufgabe falsch
> interpretiert zu haben: du berechnest den Umfang des
> Querschnittes, in der Aufgabenstellung steht aber der
> Umfang des Stollens - in seiner dreidimensionalen Form -
> zur Diskussion.
Das sehe ich nicht so, ich denke, hier ist nur von einer zweidimensionalen Figur die Rede. Und ausserdem: Was ist denn der Umfang eines dreidimensionalen Stollens? Kommt da 2x die Länge des Stollens dazu (weil die einzigen Kanten ja die "Fußlinien" sind)?
Oder wie meinst du das?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 So 11.04.2004 | | Autor: | Sanne |
Super, ich danke dir!!!!!!
Werd das mit dem Stollen dann mal mit der dreidimensionalen *Art* versuchen - daran hab ich echt gar nicht gedacht....
Dann kann die nächste Klausur ja kommen!
Danke nochmal,
MFG
Sanne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sanne
Stop, stop, stop
ich glaube, ich habe mir den Stollen falsch vorgestellt. Deine Art der Interpretation war offenbar doch richtig, das nämlich sonst h gegen Unendlich steigen müsste, damit der Umfang minimal wird! (Kann man sich mit einer Skizze leicht überlegen) *schäm*
Ich habs mal mit deiner Interpretation durchgerechnet und bin auf folgendes Resultat gekommen:
[mm]h=\wurzel{\bruch{20}{4+\pi}}[/mm]
Hoffentlich habe ich mich nirgends verrechnet!
Was war denn die Musterlösung deines Lehrers?
Viele Grüsse und... nichts für Ungut!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Sanne |
Hallo Paulus,
danke dir erstmal für deine Mühe - laut meines Lehrers ist h=1,183 und d=2,367... Bei dir wäre h jetzt 1,6735, ich glaub, irgendwas in der Richtung hatte ich auch raus... Wäre allerdings nicht das erste mal, dass irgendwelceh falschen Ergebnisse auf den Zetteln stehen.
Wenn der Ansatz so richtig ist, dann reicht mir das eigentlich schonmal, kann meinen Mathelehrer auch nicht mehr fragen, da wir die Klausur gleich nach den Ferien in den ersten Stunden schreiben...
Aber wie gesagt - wenn der Ansatz stimmt, dann ist ja alles OK ,
danke euch allen nochmal,
Gruß
Sanne
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