Extremwertberechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Soldi01 |
| Aufgabe | [mm]f(x)=\bruch{(x^2-2x+1)(x+3)}{x^2-4}[/mm]
Weisen Sie nach, das x=1 ein lokales Maximum der Funktion ist. |
In der Musterlösung erhält der Prof.
[mm]f'(x)=(x-1)\bruch{x^3+x^2-6x-20}{(x^2-4)^2}[/mm] soweit bin ich auch gekommen... doch der nächste Schritt ist mir nicht so ganz verständlich:
"Offenbar ist [mm]f'(1)=0[/mm]. Da mit [mm]g(x)=\bruch{x^3+x^2-6x-20}{(x^2-4)^2}[/mm] gilt: [mm]g(1)=\bruch{-24}{9}<0 [/mm] ist [mm]g(x)<0[/mm] in einer Umgebung von 1 (Stetigkeit, zwischenwertsatz). Deshalb wechselt [mm]f'(x)=(x-1)g(x)[/mm] bei [mm]x=1[/mm] das Vorzeichen von + nach - [mm] \to[/mm] [mm]x=1[/mm] ist lokales Maximum von [mm]f[/mm]"
So ich verstehe das der Punkt ein Maximum ist wenn die Ableitung der Funktion in der Umgebung von 1 von + nach - wechselt. Was ich aber nicht verstehe, wieso kann er einfach g(x) abspalten da 1 einsetzen und das negative Ergebnis gibt mir dann sofort an das sich das
Vorzeichen ändert.....
Es wäre klasse wenn mir jemand das erklären könnte...
Bis denne dann
|
|
| |
|
Hi soldi,
was dein prof da macht, ist gar nicht so schwer... 
> [mm]f(x)=\bruch{(x^2-2x+1)(x+3)}{x^2-4}[/mm]
> Weisen Sie nach, das x=1 ein lokales Maximum der Funktion
> ist.
> In der Musterlösung erhält der Prof.
> [mm]f'(x)=(x-1)\bruch{x^3+x^2-6x-20}{(x^2-4)^2}[/mm] soweit bin ich
> auch gekommen...
gut.
>doch der nächste Schritt ist mir nicht so
> ganz verständlich:
> "Offenbar ist [mm]f'(1)=0[/mm]. Da mit
> [mm]g(x)=\bruch{x^3+x^2-6x-20}{(x^2-4)^2}[/mm] gilt:
> [mm]g(1)=\bruch{-24}{9}<0[/mm] ist [mm]g(x)<0[/mm] in einer Umgebung von 1
> (Stetigkeit, zwischenwertsatz). Deshalb wechselt
> [mm]f'(x)=(x-1)g(x)[/mm] bei [mm]x=1[/mm] das Vorzeichen von + nach - [mm]\to[/mm]
> [mm]x=1[/mm] ist lokales Maximum von [mm]f[/mm]"
> So ich verstehe das der Punkt ein Maximum ist wenn die
> Ableitung der Funktion in der Umgebung von 1 von + nach -
> wechselt. Was ich aber nicht verstehe, wieso kann er
> einfach g(x) abspalten
wie er g(x) abspaltet hattest du doch eigentlich verstanden, oder? (s.o.)
> da 1 einsetzen und das negative
> Ergebnis gibt mir dann sofort an das sich das
> Vorzeichen ändert.....
> Es wäre klasse wenn mir jemand das erklären könnte...
Also:
[mm] $f'(x)=(x-1)\cdot [/mm] g(x)$.
Schauen wir uns jetzt eine (hinreichend kleine) umgebung von 1 an: wie dein prof richtig begruendet hat, ist g dort negativ. Und was ist mit dem anderen Faktor, naemlich $(x-1)$? der wechselt das vorzeichen von - nach +! Zusammen also + nach - ....
Klar?
Gruss
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Soldi01 |
Ah danke ja jetzt ist es mir klar.... Manchmal sieht man den Baum vor lauter Wald nicht danke...
|
|
|
|
