Extremwertberechnung < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 07.05.2008 | | Autor: | paulek |
| Aufgabe | | f(x)= - [mm] \bruch{1}{4}x^4-\bruch{5}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+x+2 [/mm] |
1te Ableitung:
f'(x) = -x^³ - [mm] \bruch{15}{4}x^² [/mm] - 3x + 1
soweit bin ich nun, bekannt ist mir die Polynomdivision, kumpel jedoch meinte ich sollte HornerSchema nutzen, welches ich jedoch nicht kenne!
kann mir jemand helfen was ich weiter tun muss um die Extremwerte zu berechnen?
danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x)= -
> [mm]\bruch{1}{4}x^4-\bruch{5}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+x+2[/mm]
> 1te Ableitung:
>
> f'(x) = -x^³ - [mm]\bruch{15}{4}x^²[/mm] - 3x + 1
>
> soweit bin ich nun, bekannt ist mir die Polynomdivision,
> kumpel jedoch meinte ich sollte HornerSchema nutzen,
> welches ich jedoch nicht kenne!
>
> kann mir jemand helfen was ich weiter tun muss um die
> Extremwerte zu berechnen?
Du brauchst die Nullstellen der ersten Ableitung, und da wird dir nicht viel übrig bleiben, als die Polynomdivision.
Die erste Nullstelle [mm] x_{1} [/mm] musst du "erraten", und dann mit [mm] x-x_{1} [/mm] die Polynomd. durchführen.
Also:
[mm] \red{-x^{3}-\bruch{15}{4}x^{2}-3x+1}=0
[/mm]
[mm] \gdw -4x^{3}-15x^{2}-12x+4=0
[/mm]
Jetzt kannst du die Nullstellen leichter erraten. Da die ganzzahlige Nullstelle - wenn es denn eine gibt, wovon ich ausgehe, sonst kannst du sie nicht erraten, die 4 teilen muss, bleiben als ganzzahlige Kandidaten für [mm] x_{1} [/mm] nur die Teiler von 4.
Also bleiben: [mm] \pm1, \pm2 [/mm] und [mm] \pm4 [/mm] als Kandidaten.
Die Polynomdivision mit [mm] (x-x_{1}) [/mm] musst du aber mit dem farbigen Teil durchführen.
Dann bekommst du einen Restterm, bei dem du die beiden weitern Nullstellen [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] mit der p-q-Formel bekommen kannst
Hast du dann die Extremstellen (Du solltest drei bekommen, [mm] x_{1} x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}), [/mm] musst du mit der 2. Ableitung prüfen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Ist [mm] f''(x_{1})>0, [/mm] dann ist [mm] E_{1}(x_{1}/f(x_{1})) [/mm] ein Tiefpunkt,
ist dagegen [mm] f''(x_{1})<0, [/mm] dann ist [mm] E_{1}(x_{1}/f(x_{1})) [/mm] ein Hochpunkt.
Dieselben Überlegungen machst du dann mit den restlichen Kandidaten [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}
[/mm]
Marius
|
|
|
|
