Extremwertberechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 17.08.2010 | | Autor: | kuchen85 |
| Aufgabe | Berechnen sie für:
f(x,y) = 2*x*y
unter der Nebenbedingung: x² + y² <= 1
alle Extremwerte |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich beginne mal gleich mit meinem Lösungsansatz:
Mit der Lagrange Funktion:
also ungleichung in eine gleichung umwandeln:
x² + y² <= 1 -> x² + y² + u² -1 = 1
jetzt die L Funktion aufstellen:
[mm] L(x,y,\lambda,u) [/mm] = 2*x*y + [mm] \lambda [/mm] * (x² + y² + u² -1)
so jetzt die partiellen ableitungen:
nach x: 2*y + [mm] 2*x*\lambda [/mm] = 0
nach y: 2*x + [mm] 2*y*\lambda [/mm] = 0
nach [mm] \lambda: [/mm] x² + y² + u² - 1 = 0
nach u: [mm] 2*u*\lambda
[/mm]
so jetzt kann ich die Ableitungen 0 setzen und so die ExtremPunkte herausbekommen.
[mm] \lambda [/mm] = 0 ("innen betrachtung")
I : 2*y = 0
II : 2*x = 0
P1(0;0)
bis hierhin ist alles ok.
jetzt kommt aber die randbetrachtung:
u = 0 ; [mm] \lambda [/mm] != 0
jetzt haben wir 3 Gleichungen:
I : 2*y + [mm] 2*x*\lambda [/mm] = 0
II : 2*x + [mm] 2*y*\lambda [/mm] = 0
III: x² + y² - 1 = 0
wenn ich jetzt I und II gleichsetze:
2*y + [mm] 2*x*\lambda [/mm] = 2*x + [mm] 2*y*\lambda [/mm] // :2
y + [mm] x*\lambda [/mm] = x + [mm] y*\lambda [/mm] // -x und - [mm] x*\lambda
[/mm]
y - x = [mm] y*\lambda [/mm] - [mm] x*\lambda
[/mm]
y - x = [mm] \lambda*(y [/mm] - x)
[mm] \lambda [/mm] = 1
ok [mm] \lambda [/mm] = 1 scheint zu stimmer...aber wenn ich [mm] \lambda [/mm] in I oder II einsetze:
2*y + 2*x = 0
y = -x
x = -y
kommt das raus.
und wenn ich das in III einsetze:
x² - x² - 1 = 0
kommt doch - 1 = 0 raus.
wo liegt der fehler und wie komme ich auf die richtigen punkte?
den punkt P1(0;0) hab eich schon mit der hesse matrix überprüft:
H = [mm] 2*\lambda [/mm] 2
2 [mm] 2*\lambda
[/mm]
und da [mm] \lambda [/mm] = 0 einsetzen da kommt det = -4 raus
also ist P1 nen Sattelpunkt ist (det ( H ) < 0)
gruß Johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Di 17.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie für:
> f(x,y) = 2*x*y
> unter der Nebenbedingung: x² + y² <= 1
> alle Extremwerte
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich beginne mal gleich mit meinem Lösungsansatz:
> Mit der Lagrange Funktion:
> also ungleichung in eine gleichung umwandeln:
>
> x² + y² <= 1 -> x² + y² + u² -1 = 1
Was machst Du da ??? Wenn z.B. u = 0 ist, dann ist [mm] x^2+y^2= [/mm] 2
Rätsel ........
Warum machst Du nicht Folgendes:
1. Extremwertuntersuchung von f auf [mm] $\{(x,y): x^2+y^2<1 \}$
[/mm]
2. Extremwertuntersuchung von f auf [mm] $\{(x,y): x^2+y^2=1 \}$
[/mm]
3. Zusammenführung der Ergebnisse aus 1. und 2.
FRED
>
> jetzt die L Funktion aufstellen:
>
> [mm]L(x,y,\lambda,u)[/mm] = 2*x*y + [mm]\lambda[/mm] * (x² + y² + u² -1)
>
> so jetzt die partiellen ableitungen:
>
> nach x: 2*y + [mm]2*x*\lambda[/mm] = 0
> nach y: 2*x + [mm]2*y*\lambda[/mm] = 0
> nach [mm]\lambda:[/mm] x² + y² + u² - 1 = 0
> nach u: [mm]2*u*\lambda[/mm]
>
> so jetzt kann ich die Ableitungen 0 setzen und so die
> ExtremPunkte herausbekommen.
>
> [mm]\lambda[/mm] = 0 ("innen betrachtung")
>
> I : 2*y = 0
> II : 2*x = 0
>
> P1(0;0)
>
> bis hierhin ist alles ok.
>
> jetzt kommt aber die randbetrachtung:
>
> u = 0 ; [mm]\lambda[/mm] != 0
>
> jetzt haben wir 3 Gleichungen:
>
> I : 2*y + [mm]2*x*\lambda[/mm] = 0
> II : 2*x + [mm]2*y*\lambda[/mm] = 0
> III: x² + y² - 1 = 0
>
> wenn ich jetzt I und II gleichsetze:
>
> 2*y + [mm]2*x*\lambda[/mm] = 2*x + [mm]2*y*\lambda[/mm] // :2
> y + [mm]x*\lambda[/mm] = x + [mm]y*\lambda[/mm] // -x
> und - [mm]x*\lambda[/mm]
> y - x = [mm]y*\lambda[/mm] - [mm]x*\lambda[/mm]
> y - x = [mm]\lambda*(y[/mm] - x)
> [mm]\lambda[/mm] = 1
>
> ok [mm]\lambda[/mm] = 1 scheint zu stimmer...aber wenn ich [mm]\lambda[/mm]
> in I oder II einsetze:
>
> 2*y + 2*x = 0
> y = -x
> x = -y
>
> kommt das raus.
> und wenn ich das in III einsetze:
>
> x² - x² - 1 = 0
>
> kommt doch - 1 = 0 raus.
> wo liegt der fehler und wie komme ich auf die richtigen
> punkte?
>
> den punkt P1(0;0) hab eich schon mit der hesse matrix
> überprüft:
>
> H = [mm]2*\lambda[/mm] 2
> 2 [mm]2*\lambda[/mm]
>
> und da [mm]\lambda[/mm] = 0 einsetzen da kommt det = -4 raus
> also ist P1 nen Sattelpunkt ist (det ( H ) < 0)
>
> gruß Johannes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 17.08.2010 | | Autor: | kuchen85 |
ja so wie es da steht hast du natürlich recht.
aber ich habe mich da verschrieben und es erst mitgegriegt als du schon geantwortet hast:
x² + y² <= 1 -> x² + y² + u² -1 = 1
muss eigentlich
x² + y² <= 1 -> x² + y² + u² -1 = 0
heissen.
und dann könnte man mit u = 0 den rand betrachten  deswegen auch diese schreibweise.
ich weiss nicht wie ich das editieren kann...da stand das diesen text schon jemand angesehen hat.
gruß Johannes
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> ja so wie es da steht hast du natürlich recht.
> aber ich habe mich da verschrieben und es erst mitgegriegt
> als du schon geantwortet hast:
>
> x² + y² <= 1 -> x² + y² + u² -1 = 1
> muss eigentlich
> x² + y² <= 1 -> x² + y² + u² -1 = 0
> heissen.
> und dann könnte man mit u = 0 den rand betrachten
> deswegen auch diese schreibweise.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht fehlen mir irgendwelche Kenntnisse - ich weiß jedenfalls nicht, was das u soll...
Fred hat Dir ja gesagt, wie man solche Aufgaben löst: man bestimmt die Extrema im Inneren des Kreises (ganz normale Extremwertberechnung und dann gucken, welche im Inneren liegen) und die auf dem Rand mit [mm] x^2+y^2=1 [/mm] (mit Lagrange) und führt dann die Ergebnisse zusammen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:05 Mi 18.08.2010 | | Autor: | kuchen85 |
ja ok ... unser dozent hat das mit dem u so gesagt.
aber an und für sich betrachte ich die fälle doch auch einzeln.
wenn ich [mm] \lambda [/mm] = 0 setze fällt die NB raus und ich untersuche für x²+ y² < 1
da habe ich den punkt P(0,0) rausbekommen.
wenn ich jetzt u = 0 setze (das u fällt eh in beiden fällen raus)
betrachte ich den fall das x² + y² = 1 ist.
Danke für den netten Empfang 
das problem lag darin, dass ich mit den abgeleiteten formeln nicht weiterkomme:
nach x: 2*y + [mm] 2*x*\lambda
[/mm]
nach y: 2*x + [mm] 2*y*\lambda
[/mm]
nach [mm] \lambda: [/mm] x² + y² - 1
gruß Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Mi 18.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> > Berechnen sie für:
> > f(x,y) = 2*x*y
> > unter der Nebenbedingung: x² + y² <= 1
> > alle Extremwerte
> > Hallo,
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Ich beginne mal gleich mit meinem Lösungsansatz:
> > Mit der Lagrange Funktion:
> > also ungleichung in eine gleichung umwandeln:
> >
> > x² + y² <= 1 -> x² + y² + u² -1 = 1
>
>
>
> Was machst Du da ??? Wenn z.B. u = 0 ist, dann ist [mm]x^2+y^2=[/mm]
> 2
er hat sich wohl vertippt und meint [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] u^2 [/mm] - 1 = 0$.
> Rätsel ........
>
> Warum machst Du nicht Folgendes:
>
> 1. Extremwertuntersuchung von f auf [mm]\{(x,y): x^2+y^2<1 \}[/mm]
>
> 2. Extremwertuntersuchung von f auf [mm]\{(x,y): x^2+y^2=1 \}[/mm]
>
> 3. Zusammenführung der Ergebnisse aus 1. und 2.
Genau das tut er auch. Nur etwas versteckt. :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mi 18.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Berechnen sie für:
> f(x,y) = 2*x*y
> unter der Nebenbedingung: x² + y² <= 1
> alle Extremwerte
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich beginne mal gleich mit meinem Lösungsansatz:
> Mit der Lagrange Funktion:
> also ungleichung in eine gleichung umwandeln:
>
> x² + y² <= 1 -> x² + y² + u² -1 = 1
Du meinst [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] u^2 [/mm] - 1 = 0$.
> jetzt die L Funktion aufstellen:
>
> [mm]L(x,y,\lambda,u)[/mm] = 2*x*y + [mm]\lambda[/mm] * (x² + y² + u² -1)
>
> so jetzt die partiellen ableitungen:
>
> nach x: 2*y + [mm]2*x*\lambda[/mm] = 0
> nach y: 2*x + [mm]2*y*\lambda[/mm] = 0
> nach [mm]\lambda:[/mm] x² + y² + u² - 1 = 0
> nach u: [mm]2*u*\lambda[/mm]
>
> so jetzt kann ich die Ableitungen 0 setzen und so die
> ExtremPunkte herausbekommen.
>
> [mm]\lambda[/mm] = 0 ("innen betrachtung")
>
> I : 2*y = 0
> II : 2*x = 0
>
> P1(0;0)
>
> bis hierhin ist alles ok.
>
> jetzt kommt aber die randbetrachtung:
>
> u = 0 ; [mm]\lambda[/mm] != 0
>
> jetzt haben wir 3 Gleichungen:
>
> I : 2*y + [mm]2*x*\lambda[/mm] = 0
> II : 2*x + [mm]2*y*\lambda[/mm] = 0
> III: x² + y² - 1 = 0
>
> wenn ich jetzt I und II gleichsetze:
>
> 2*y + [mm]2*x*\lambda[/mm] = 2*x + [mm]2*y*\lambda[/mm] // :2
> y + [mm]x*\lambda[/mm] = x + [mm]y*\lambda[/mm] // -x
> und - [mm]x*\lambda[/mm]
> y - x = [mm]y*\lambda[/mm] - [mm]x*\lambda[/mm]
> y - x = [mm]\lambda*(y[/mm] - x)
> [mm]\lambda[/mm] = 1
...oder $y - x = 0$. Den Fall hast du ignoriert.
> ok [mm]\lambda[/mm] = 1 scheint zu stimmer...aber wenn ich [mm]\lambda[/mm]
> in I oder II einsetze:
>
> 2*y + 2*x = 0
> y = -x
> x = -y
Ja.
> kommt das raus.
> und wenn ich das in III einsetze:
>
> x² - x² - 1 = 0
Das kommt da nicht raus. Es kommt $2 [mm] x^2 [/mm] - 1 = 0$ raus.
> den punkt P1(0;0) hab eich schon mit der hesse matrix
> überprüft:
>
> H = [mm]2*\lambda[/mm] 2
> 2 [mm]2*\lambda[/mm]
Hesse-Matrix von was? Wenn das eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix ist, musst du die Hesse-Matrix von $f$ ausgerechnet haben. Aber wo kommt dann das [mm] $\lambda$ [/mm] her?!?
> und da [mm]\lambda[/mm] = 0 einsetzen da kommt det = -4 raus
> also ist P1 nen Sattelpunkt ist (det ( H ) < 0)
Nun, es ist tatsaechlich $H f(0, 0) = -4$. Und es ist tatsaechlich ein Sattelpunkt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mi 18.08.2010 | | Autor: | kuchen85 |
danke für die antwort
ich habe jetzt mal mit 2x²+1 weitergerechnet:
da kommt dann x = +- sqr(1/2) raus
das in III eingesetzt ergibt wieder y = +- sqr(1/2)
also habe ich vier punkte gefunden?
P2(sqr(1/2);sqr(1/2))
P3(-sqr(1/2);sqr(1/2))
P4(sqr(1/2);-sqr(1/2))
P5(-sqr(1/2);-sqr(1/2))
kommen auf dem rand noch sattelpunkte zwischen den extremwerten?
und zu der hesse matrix
ich habe die so gebildet:
D²L/x² D²L/xy
D²L/yx D²L/y²
hab auch schon überlegt ob das nicht eine 3*3 matrix sein sollte.
aber ich wüsste auch nicht wie man die bildet.
Gruß Johannes
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> danke für die antwort
>
> ich habe jetzt mal mit 2x²+1 weitergerechnet:
Hallo,
wohl eher mit [mm] 2x^2-1=0.
[/mm]
>
> da kommt dann x = +- sqr(1/2) raus
> das in III eingesetzt ergibt wieder y = +- sqr(1/2)
> also habe ich vier punkte gefunden?
Ja.
> P2(sqr(1/2);sqr(1/2))
> P3(-sqr(1/2);sqr(1/2))
> P4(sqr(1/2);-sqr(1/2))
> P5(-sqr(1/2);-sqr(1/2))
Und weiter? Welches sind nun Minima und welches Maxima? (Wie lauten die zugehörigen Funktionswerte?)
>
> kommen auf dem rand noch sattelpunkte zwischen den
> extremwerten?
Nein.
>
> und zu der hesse matrix
> ich habe die so gebildet:
Ich weiß nicht, was bei Euch in der Vorlesung dran war.
Der Rand [mm] x^2+y^2=1 [/mm] ist ja kompakt. Du weißt, daß Minimum und Max. angenommen werden, und kannst allein anhand der Funktionswerte der krit. Punkte feststellen, was was ist.
Man braucht hier also nichts mit Hessematrix zu tun.
>
> D²L/x² D²L/xy
> D²L/yx D²L/y²
>
> hab auch schon überlegt ob das nicht eine 3*3 matrix sein
Falls das bei Euch besprochen wurde: man arbeitet hier, wenn man mit der Hessematrix arbeiten möchte, mit der geränderten Hessematrix (ggf. nachlesen).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 18.08.2010 | | Autor: | kuchen85 |
ok danke
dann kommen für die punkte 2-5 folgende wert:
f(P2) = 1 -> Max
f(P3) = -1 -> Min
f(P4) = -1 -> Min
f(P5) = 1 -> Max
und für den Punkt P1(0,0) ?
da habe ich eine 2*2 Hessematrix gebildet und bin zum Ergebnis gekommen, dass P1 ein Wendepunkt ist.
gruß Johannes
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> ok danke
> dann kommen für die punkte 2-5 folgende wert:
> f(P2) = 1 -> Max
> f(P3) = -1 -> Min
> f(P4) = -1 -> Min
> f(P5) = 1 -> Max
Hallo,
ja.
>
> und für den Punkt P1(0,0) ?
> da habe ich eine 2*2 Hessematrix gebildet und bin zum
> Ergebnis gekommen, dass P1 ein Wendepunkt ist.
Ja, das Ergebnis hatte Felix ja auch schon bestätigt - es ist also keine Extremstelle dort.
Gruß v. Angela
>
> gruß Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mi 18.08.2010 | | Autor: | kuchen85 |
ok dann danke für die hilfe.
wenn ich noch weitere aufgaben nicht hinbekomme (nachklausur vorbereitung) werd ich mich im forum einfach nochmal melden
gruß Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Mi 18.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > danke für die antwort
> >
> > ich habe jetzt mal mit 2x²+1 weitergerechnet:
>
> Hallo,
>
> wohl eher mit [mm]2x^2-1=0.[/mm]
>
> >
> > da kommt dann x = +- sqr(1/2) raus
> > das in III eingesetzt ergibt wieder y = +- sqr(1/2)
> > also habe ich vier punkte gefunden?
Vorsicht! Du hattest doch $2 [mm] x^2 [/mm] = 1$ und $x = -y$. Daraus kommen erstmal nur zwei Punkte!
Allerdings hast du dann noch den Fall $x = y$, woraus die anderen beiden Faelle kommen.
Du musst also schon genau aufpassen (und es auch schreiben!), woher du die vier Punkte hast!
LG Felix
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