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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Do 08.01.2009 | | Autor: | bennatas |
| Aufgabe | Führe die Extremwertbestimmungen durch!
z=x*y mit [mm] x^2+y^2=2 [/mm] |
Hallo,
kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
meine ersten Versuche:
[mm] x^2+y^2=2
[/mm]
[mm] x^2=2-y^2
[/mm]
[mm] x=\wurzel{2-y^2}
[/mm]
das nun in z einsetzen
[mm] z=\wurzel{2-y^2} [/mm] * y
und jetzt die erste und zweite Ableitung?? mit der Produktregel?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Do 08.01.2009 | | Autor: | bennatas |
Warum +- ?
ok:
z=y * [mm] \wurzel{2-y^2}
[/mm]
z'= [mm] \wurzel{2-y^2} [/mm] + y * [mm] \bruch{1}{2\wurzel{2-y^2}} [/mm] *(-2y)
z'= [mm] \wurzel{2-y^2} [/mm] + y * [mm] \bruch{-2y}{2\wurzel{2-y^2}}
[/mm]
z=y * [mm] -\wurzel{2-y^2}
[/mm]
z'=- [mm] \wurzel{2-y^2} [/mm] + y * [mm] \bruch{-1}{2\wurzel{2-y^2}} [/mm] *(-2y)
z'=- [mm] \wurzel{2-y^2} [/mm] + y * [mm] \bruch{2y}{2\wurzel{2-y^2}}
[/mm]
stimmt das so?? und wie gehts weiter?
ich komme nicht so richtig weiter...
--> hab das mit dem - überarbeitet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Do 08.01.2009 | | Autor: | bennatas |
weiß jemand einen rat?
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Hallo bennatas,
Es muss übrigenz heißen [mm] \pm, [/mm] denn [mm] a^2=x \gdw |a|=\wurzel{x}.
[/mm]
Bis auf ein Vergessenes "-" beim Ableiten von [mm] -y^2 [/mm] stimmt alles soweit.
Du musst doch jetzt nur noch z' Nullsetzten.
Du musst eben beide Fälle [mm] \pm \wurzel{2-y^2} [/mm] unterscheiden.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Do 08.01.2009 | | Autor: | bennatas |
also beide 0 setzen:
1.0= [mm] \wurzel{2-y^2} [/mm] + y * [mm] \bruch{-2y}{2\wurzel{2-y^2}}
[/mm]
2.0=- [mm] \wurzel{2-y^2} [/mm] + y * [mm] \bruch{2y}{2\wurzel{2-y^2}} [/mm]
und dann nach y auflösen?
1. -y * [mm] \bruch{-2y}{2\wurzel{2-y^2}}=\wurzel{2-y^2}
[/mm]
-y *-2y=2
[mm] 2y^2=2
[/mm]
[mm] y_1=1 [/mm] ; [mm] y_2=-1
[/mm]
2. [mm] \wurzel{2-y^2} [/mm] = y * [mm] \bruch{2y}{2\wurzel{2-y^2}} [/mm]
[mm] 2=2y^2
[/mm]
[mm] y_1=1 [/mm] ; [mm] y_2=-1
[/mm]
stimmt das so??
und jetzt die 2.Ableitung??
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> also beide 0 setzen:
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> 1.) 0=[mm]\wurzel{2-y^2}[/mm]+y*[mm]\bruch{-2y}{2\wurzel{2-y^2}}[/mm]
>
> 2.) 0=(-1)*[mm]\wurzel{2-y^2}[/mm]+y*[mm]\bruch{2y}{2\wurzel{2-y^2}}[/mm]
>
> und dann nach y auflösen?
[mm] (-y)*\bruch{-2y}{2\wurzel{2-y^2}}=\wurzel{2-y^2} \gdw (-y)*(-2y)=2*\wurzel{2-y^2}*\wurzel{2-y^2} \gdw 2y^2=2*(2-y^2)
[/mm]
Jop, ich komme auch auf die Werte. Jetz musste du noch die hinreichende Bedingung überprüfen [mm] (f''(x_0)\not=0).
[/mm]
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 08.01.2009 | | Autor: | bennatas |
komme mit der 2 ableitung nicht so ganz klar. einfach nach einander ableiten? und dann kettenregel oder wie genau?!
vielen dank, für deine Hilfe
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Na dann mal ans Werk:
[mm] z'(x)=y\cdot{}\bruch{-2y}{2\wurzel{2-y^2}}+\wurzel{2-y^2}=\wurzel{2-y^2}-\bruch{y^2}{\wurzel{2-y^2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z''(x)=\bruch{1}{2\wurzel{2-y^2}}*(-2y)-\red{[}(2y)*\bruch{1}{\wurzel{2-y^2}}+(y^2)*(-\bruch{1}{2})*\bruch{1}{\wurzel{(2-y^2)^3}}*(-2y)\red{]}=\bruch{1}{\wurzel{2-y^2}}*\red{[}(-y)-2y-(y^2)*(-\bruch{1}{2})*\bruch{1}{2-y^2}*(-2y)\red{]}=\bruch{1}{\wurzel{2-y^2}}*\red{[}(-3y)+(y^3)*\bruch{1}{2-y^2}\red{]}
[/mm]
Ob alles richtig umgestellt ist, kann ich nicht garantieren, aber auf diesem Weg kommst du zum Ziel. Ich habs mit der Produktregel gemacht und extra nicht mit der Quotientenregel, weil die nur noch mehr Chaos schafft.
lg Kai
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Produktregel