Extremwerte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Fr 06.05.2005 | | Autor: | MadGirl |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://winf.at/forum/read.php?f=13&i=7741&t=7741
Hallo!
Ich muss relative und absolute Extremwerte ausrechnen. Ich weiß theoretisch wie ich das mach, aber leider hab ich mit dem Gleichungssystem ein Problem:
Angabe: [mm] f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y
[/mm]
1.Ableitung:
[mm] fx=3x^2+3y^2-15
[/mm]
fy=6xy-12
so wenn ich das jetzt =0 setze:
[mm] x^2+y^2=5 [/mm] und x=2/y
wenn ich die rechte Gleichung nun in die linke einsetze ergibt das nach Berechnung der quadratischen Gleichung y1=4 und y2=1 und dann das in die andere eingesetzt ergibt x1=1/2 und x2=2.
Soweit so gut... aber in der Lösung steht mögliche Stellen für Extrema: (2,1) (-2,-1) (1,2) (-1,-2) ??? Wie komm ich da drauf?
--------------------------------------------------------------------
Noch ein Problem das ich hab ist, dass ich manches nicht lösen kann:
f(x,y)=3xy-x^2y-y2x
[mm] fx=3y-2xy-y^2
[/mm]
[mm] fy=3x-x^2-2yx
[/mm]
fx=0
[mm] 3y-2xy-y^2=0
[/mm]
y(3-2x-y)=0 -> daraus folgt jetzt y1=0
und jetzt die Klammer:
3-2x-y=0
y=3-2x
fy=0
[mm] 3x-x^2-2yx=0
[/mm]
x(3-x-2y)=0 -> daraus folgt x1=0
und da auch die Klammer:
3-x-2y=0
x=3-2y
einsetzen:
y=3-2(3-2y)
y2=1
x=3-2(3-2x)
x2=1
So und warum ist das jetzt noch nicht die Lösung sondern es fehlt noch:
y3=0 -> 3-2.0-x=0 ->x3=3
x4=0 -> 3-2.0-y=0 ->y4=3
---------------------
Ein anderes Beispiel:
[mm] f(x,y)=2x^2y-x^3y-x^2y^2
[/mm]
[mm] fx=4xy-3x^2y-2xy^2
[/mm]
[mm] fy=2x^2-x^3-2x^2y
[/mm]
fx=0 und fy=0
Wie lös ich das?
Kann mir das irgendwer logisch erklären? Das wär echt super :)
LG MadGirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MadGirl,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Angabe: [mm]f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y[/mm]
>
> 1.Ableitung:
>
> [mm]f_x=3x^2+3y^2-15[/mm]
> [mm]f_y=6xy-12[/mm]
>
> so wenn ich das jetzt =0 setze:
>
> [mm]x^2+y^2=5[/mm] und x=2/y
>
> wenn ich die rechte Gleichung nun in die linke einsetze
> ergibt das nach Berechnung der quadratischen Gleichung y1=4
> und y2=1 und dann das in die andere eingesetzt ergibt
> x1=1/2 und x2=2.
>
> Soweit so gut... aber in der Lösung steht mögliche Stellen
> für Extrema: (2,1) (-2,-1) (1,2) (-1,-2) ??? Wie komm ich
> da drauf?
Nach einigen Umformungen wirst Du ja sicher erhalten haben:
[mm] $y^4 [/mm] - [mm] 5y^2 [/mm] + 4 \ = \ 0$
Wenn Du nun mit der  p/q-Formel ausflöst, erhältst Du aber nicht die Werte für $y \ = \ [mm] y^{\red{1}}$ [/mm] sondern für [mm] $y^{\red{2}}$.
[/mm]
Du mußt bei Deinen beiden ermittelten Lösungen noch die Wurzel ziehen, und schon hast Du die vorgegebenen Werte.
Vielleicht machst Du Dir das klar über die Substitution $t \ := \ [mm] y^2$, [/mm] dann wird aus Deiner Gleichung:
[mm] $t^2 [/mm] - 5t + 4 \ = \ 0$ mit den beiden Lösungen [mm] $t_1 [/mm] \ = \ 1$ und [mm] $t_2 [/mm] \ = \ 4$ und anschließend den "y-Lösungen" [mm] $y_{1...4} [/mm] \ = \ [mm] \pm \wurzel{t_{1,2}}$.
[/mm]
Ist nun der Groschen gefallen?
Gruß aus der deutschen Hauptstadt in die österreichische ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Fr 06.05.2005 | | Autor: | MadGirl |
Danke, danke, danke! :)
Da bin ich ja ordentlich auf der Leitung gesessen.
Jetzt fehlt mir nur noch das mit den Gleichungssystemen.
LG MadGirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo MadGirl
ich versuche einmal, dein 1. Beispiel durchzurechnen.
Du hast also 2 Gleichungen der Art
$a*b=0$ und
$c*d=0$
Hier gibt es 4 Kombinationen, damit das erfüllt ist:
1) $a=0$ und $c=0$
2) $a=0$ und $d=0$
3) $b=0$ und $c=0$
4) $b=0$ und $d=0$
Auf dein Problem angewendet:
$y(3-2x-y)=0$
$x(3-x-2y)=0$
Gibt die vier Gleichungssysteme, deren Lösungmengen du einfach vereinigen darfst:
Erstens:
$y=0$
$x=0$
Mit der Lösungsmenge für (x,y): [mm] $\{(0,0)\}$
[/mm]
Zweitens:
$y=0$
$3-x-2y=0$
Mit der Lösungsmenge für (x,y): [mm] $\{(3,0)\}$
[/mm]
Drittens:
$3-2x-y=0$
$x=0$
Mit der Lösungsmenge für (x,y): [mm] $\{(0,3)\}$
[/mm]
Viertens:
$3-2x-y=0$
$3-x-2y=0$
Mit der Lösungsmenge für (x,y): [mm] $\{(1,1)\}$
[/mm]
damit ergibt sich die gesamte Lösungsmenge:
[mm] $\{(0,0),(3,0),(0,3),(1,1)\}$
[/mm]
Alles klar?
Dann kannst du vielleicht jetzt dein 2. Beispiel selber in Angriff nehmen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Fr 06.05.2005 | | Autor: | MadGirl |
Danke erstmal für deine schnelle Antwort und Hilfe :)
Ich hab mir das jetzt angesehen, aber ich hab beim zweiten keine Lösung und bin mir nicht ganz sicher ob ichs kapiert hab. Stimmt das so bzw. kann ich das so schreiben?
[mm] 4xy-3x^2y-2xy^2=0
[/mm]
xy(4-3x-2y)=0 -> y=0
[mm] 2x^2-x^3-2x^2y=0
[/mm]
[mm] x^2(2-x-2y)=0 [/mm] -> x=0
also (0,0)
dann:
4-3x-2y=0
y=2-1,5x
2-x-2y=0
x=2-2y
Einsetzen:
x=2-2(2-1,5x)
x=1
y=0,5
(1,0.5)
und dann noch:
x=0
4-2y=0
y=2
(0,2)
und
y=0
2-x=0
x=2
(2/0)
Stimmt es, dass wenn ich jeweils x und y aus den Gleichungen herausheben kann ich immer folgende Stellen kriege?
(0,0)
(0,y)
(x,0)
(x,y)
(x,y stehen hier für beliebige werte)
Kann auch der Fall eintreten, dass ich nur bei einer Gleichung was herausheben kann?
Und bei dem folgenden Beispiel fallen mir beim herausheben irgendwie die y komplett weg. Heißt das jetzt das y immer 0 ist oder muss ich das anders lösen?
f(x,y)= [mm] x^3y^2(a-x-y)
[/mm]
DANKE schon im Voraus :)
LG MadGirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Mo 09.05.2005 | | Autor: | MadGirl |
Gut ich hab mir das noch mal durch den Kopf gehen lassen und mit Hilfe von jemand anderem, glaub ich es jetzt verstanden zu haben. :) *freu*
Ich möchte das hier nochmal aufschreiben, damit mir vielleicht noch jemand die Korrektheit bestätigen kann und jemand der das gleiche Problem hat eine Lösung bekommt.
f(x,y)=x^2y(2-x-y) = [mm] 2x^2y-x^3y-x^2y^2
[/mm]
[mm] fx=4xy-3x^2y-2xy^2
[/mm]
fx=0 -> xy(4-3x-2y)=0
Das fasst man jetzt auf als:
x=0, y=0, 4-3x-2y=0 also 3 Gleichungen
[mm] fy=2x^2-x^3-2x^2y
[/mm]
fy=0 -> [mm] x^2(2-x-2y)=0
[/mm]
Das wäre nun
[mm] x^2=0 [/mm] -> x=0, 2-x-2y=0 also 2 Gleichungen
Ich hab also Gleichungen in der Art
a.b.c=0 und d.e=0
und jetzt muss ich die Kombinationen bilden, die in diesem Fall 6 wären:
a/d
a/e
b/d
b/e
c/d
c/e
für a/d geht nicht.(oder?)
a/e ist (0,1):
x1=0
2-0-2y=0
y1=1
b/d ist (0,0):
y2=0
x2=0
b/e ist (2,0)
y3=0
2-x-2.0=0
x3=2
c/d ist (0/2)
x4=0
4-3.0-2y=0
y4=2
c/e ist (1,0.5)
2-x-2y=0
x=2-2y
4-3x-2y=0
y=2-1,5x
x=2-2(2-1,5x)
x5=1
y=2-1,5.1
y5=0,5
Somit hab ich also 5 Punkte: (0,1) (0,0) (2,0) (0,2) (1,0.5)
Das müsste passen oder?
Bei dem anderen Beispiel meiner vorigen Frage müsste folgende Lösung stimmen:
[mm] f(x,y)=x^3y^2(a-x-y)
[/mm]
[mm] fx=3x^2y^2-2x^3y^2-3x^2y^3=0
[/mm]
[mm] x^2y^2(3a-4x-3y)=0
[/mm]
also hab ich hier 3 Gleichungen:
x=0
y=0
3a-4x-3y=0
[mm] fy=2x^3ya-2x^4y-3x^3y^2=0
[/mm]
x^3y(2a-2x-3y)=0
auch hier hab ich 3 Gleichungen
x=0
y=0
2a-2x-3y=0
dann bilde ich wieder die Kombinationen
x1=0
y1=0
(0,0)
x2=0
2a-2.0-3y=0
y2=(2/3)a
(0,(2/3)a)
y3=0
2a-2x-3.0=0
x3=a
(a,0)
x4=0
3a-4.0-3y=0
y4=a
(0/a)
y5=0
3a-4x-3.0=0
x5=(3/4)a
((3/4)a,0)
3a-4x-3y=0
y=a-(4/3)x
2a-2x-3y=0
x=a-1,5y
y=a-(4/3)(a-1,5y)
y6=(1/3)a
x6=(1/2)a
((1/2)a,(1/3)a)
Das wären dann die 6 Punkte:
(0,0) (0,(2/3)a) (a,0) (0,a) ((3/4)a,0) ((1/2)a,(1/3)a)
Passt das?
LG MadGirl
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Hallo,
> Somit hab ich also 5 Punkte: (0,1) (0,0) (2,0) (0,2)
> (1,0.5)
>
> Das müsste passen oder?
Ja, bis auf eine Kleinigkeit. Allgemein sind die Punkte (0,y) auch Extremas dieser Funktion.
> [mm]f(x,y)=x^3y^2(a-x-y)[/mm]
> Das wären dann die 6 Punkte:
> (0,0) (0,(2/3)a) (a,0) (0,a) ((3/4)a,0) ((1/2)a,(1/3)a)
>
> Passt das?
Auch hier sind die Punkte (x,0) und (0,y) Extremas der Funktion.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Mi 11.05.2005 | | Autor: | MadGirl |
Hallo!
Danke noch mal an alle für ihre Hilfe!
Das mit den Grenzen (x,0) und (0,y) weiß ich. Damit kann man dann auch überprüfen ob es sich um absolute Extremwerte handelt oder nur relative. Hatte nur Probleme mit dem Gleichungssystem und das ist mir jetzt klar.
LG MadGirl :)
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