Extremwerte/Wendepunkte < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 16.02.2009 | | Autor: | pawlow |
| Aufgabe | Gesucht sind die ersten 3 Ableitungen von
$f(x) := [mm] \cos(\ln [/mm] x)$
Geben Sie an, ob die Funktion bei $x=1$ steigend oder fallend ist, ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum hat. |
Hallo,
hier mal soweit mein Ergebnis, bitte um Korrektur sofern nötig:
$f'(x) = [mm] -\frac{\sin(\ln x)}{x}$
[/mm]
$f''(x) = [mm] \frac{\sin(\ln x)-\cos(\ln x)}{x^2}$
[/mm]
Und ab hier mal in Schritten:
[mm] $f''(x)*x^2 [/mm] = [mm] \sin(\ln [/mm] x) - [mm] \cos(\ln [/mm] x)$
[mm] $f'''(x)*x^2 [/mm] + f''(x)*2x = [mm] \frac{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)}{x} [/mm] $
[mm] $f'''(x)*x^2 [/mm] = [mm] \frac{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)}{x} [/mm] - [mm] \frac{\sin(\ln x)-\cos(\ln x)}{x^2}*2x$
[/mm]
$f'''(x) = [mm] \frac{3\cos(\ln x) - \sin(\ln x)}{x^3}$
[/mm]
Einsetzten:
$f'(1) = 0$
$f''(1) = -1$
$f'''(1) = 3$
So, ist für den Versierten sicherlich glatter Hohn, aber von nun an wird es dünne bei mir, alles schon arg lang her. Und das Tafelwerk spricht nicht deutsch ;)
Also, $f$ hat Maximum, da [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] und $f''(x)< 0$
Und warum habe ich jetzt die dritte Ableitung gemacht? Normalerweise zielen solche Aufgaben doch immer auf irgendwas ab. Und kennt jemand vieleicht ein "kurzgeniale" Übersicht zum Thema Extremwerte/Sattelpunkte/Wendepunkte?
Wenn ich nachsehe, dann stoße ich immer auf folgende Formulierungen:
Sei [mm] $f:D\to\IR$ [/mm] differenzierbar. Die Funktion $f$ hat bei [mm] $x_0\in [/mm] D$ einen Wendepunkt, falls $f'$ bei [mm] $x_0$ [/mm] ein lokales Extremum besitzt. Die obigen Überlegungen gelten alle analog für $f'(x)$, wobei ein Maximum von $f'$ einer 'Links-Rechts'-Kurve und ein Minimum einer 'Rechts-Links'-Kurve des Graphen von $f$ entspricht.
Bedeutet dies also das die erste Ableitung von $ f'(x) $, also $ f''(x) $ null sein muss und die 2. Ableitung von $ f'(x) $, also $ f'''(x) $ wird dann auf $> 0 [mm] ~\hat= [/mm] $ Minimum usw. untersucht? Und wenn ja, wann ist es dann ein Sattelpunkt?
So viele Fragen! Sorry!
Liebe Grüße
~ pawlow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mo 16.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Gesucht sind die ersten 3 Ableitungen von
> [mm]f(x) := \cos(\ln x)[/mm]
>
> Geben Sie an, ob die Funktion bei [mm]x=1[/mm] steigend oder fallend
> ist, ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum hat.
> Hallo,
>
> hier mal soweit mein Ergebnis, bitte um Korrektur sofern
> nötig:
>
> [mm]f'(x) = -\frac{\sin(\ln x)}{x}[/mm]
> [mm]f''(x) = \frac{\sin(\ln x)-\cos(\ln x)}{x^2}[/mm]
Die zweite Ableitung stimmt.
Für die dritte Ableitung braucht man wiederum die Quotientenregel.
[mm] f'''(x)=\bruch{(\bruch{\cos(\ln x)}{x}+\bruch{\sin(\ln x)}{x})\cdot x^2-(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))\cdot 2x}{x^4}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{\cos(\ln x)+\sin(\ln x) -2(\sin(\ln x) -\cos(\ln x))}{x^3}
[/mm]
Deine dritte Ableitung stimmt also auch.
>
> Und ab hier mal in Schritten:
> [mm]f''(x)*x^2 = \sin(\ln x) - \cos(\ln x)[/mm]
> [mm]f'''(x)*x^2 + f''(x)*2x = \frac{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)}{x}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)*x^2 = \frac{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)}{x} - \frac{\sin(\ln x)-\cos(\ln x)}{x^2}*2x[/mm]
>
> [mm]f'''(x) = \frac{3\cos(\ln x) - \sin(\ln x)}{x^3}[/mm]
>
> Einsetzten:
> [mm]f'(1) = 0[/mm]
Bedeutet: die Funktion hat an der Stelle x=1 eine Tangente mit dem Anstieg 0.
Das KANN eine Maximum-oder Minimumstelle sein, aber auch eine Horizontalwendestelle (wie z.B. bei [mm] y=x^3 [/mm] im Koordinatenursprung)
Hier kommt die zweite Ableitung ins Spiel. Wenn die größer als Null ist, liegt ein Minimum vor, ist sie kleiner als Null, hat man ein Maximum. (Wenn sie wiederum Null ist, ist die Sache so nicht entscheidbar. Dann müsstest du testen, ob bei x=1 die erste Ableitung von positiven zu negativen Werten wechselt (links von x=1 steigend, rechts von x=1 fallend, also Hochpunkt) oder ob sie von negativen zu positiven Werten wechselt (Tiefpunkt).
Hier allerdings ist die zweite Ableitung an der Stelle 1 negativ, also liegt ein Hochpunkt vor.
Gruß Abakus
> [mm]f''(1) = -1[/mm]
> [mm]f'''(1) = 3[/mm]
>
> So, ist für den Versierten sicherlich glatter Hohn, aber
> von nun an wird es dünne bei mir, alles schon arg lang her.
> Und das Tafelwerk spricht nicht deutsch ;)
>
> Also, [mm]f[/mm] hat Maximum, da [mm]f'(x_0)=0[/mm] und [mm]f''(x)< 0[/mm]
>
> Und warum habe ich jetzt die dritte Ableitung gemacht?
> Normalerweise zielen solche Aufgaben doch immer auf
> irgendwas ab. Und kennt jemand vieleicht ein "kurzgeniale"
> Übersicht zum Thema Extremwerte/Sattelpunkte/Wendepunkte?
> Wenn ich nachsehe, dann stoße ich immer auf folgende
> Formulierungen:
>
> Sei [mm]f:D\to\IR[/mm] differenzierbar. Die Funktion [mm]f[/mm] hat bei
> [mm]x_0\in D[/mm] einen Wendepunkt, falls [mm]f'[/mm] bei [mm]x_0[/mm] ein lokales
> Extremum besitzt. Die obigen Überlegungen gelten alle
> analog für [mm]f'(x)[/mm], wobei ein Maximum von [mm]f'[/mm] einer
> 'Links-Rechts'-Kurve und ein Minimum einer
> 'Rechts-Links'-Kurve des Graphen von [mm]f[/mm] entspricht.
>
> Bedeutet dies also das die erste Ableitung von [mm]f'(x) [/mm], also
> [mm]f''(x)[/mm] null sein muss und die 2. Ableitung von [mm]f'(x) [/mm], also
> [mm]f'''(x)[/mm] wird dann auf [mm]> 0 ~\hat=[/mm] Minimum usw. untersucht?
> Und wenn ja, wann ist es dann ein Sattelpunkt?
>
> So viele Fragen! Sorry!
> Liebe Grüße
> ~ pawlow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Mo 16.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Auch dir recht herzlichen Dank, abakus!!!
Was mich aber wirklich noch brennend interessieren würde ist die Richtigkeit oder eben die Nichtigkeit(?) meiner Interpretation:
> Sei $ [mm] f:D\to\IR [/mm] $ differenzierbar. Die Funktion f hat bei
> $ [mm] x_0\in [/mm] D $ einen Wendepunkt, falls $ f' $ bei $ [mm] x_0 [/mm] $ ein lokales
> Extremum besitzt. Die obigen Überlegungen gelten alle
> analog für $ f'(x) $, wobei ein Maximum von $ f' $ einer
> 'Links-Rechts'-Kurve und ein Minimum einer
> 'Rechts-Links'-Kurve des Graphen von f entspricht.
>
> Bedeutet dies also das die erste Ableitung von $ f'(x) $, also
> $ f''(x) $ null sein muss und die 2. Ableitung von $ f'(x) $, also
> $ f'''(x) $ wird dann auf $ > 0 [mm] ~\hat= [/mm] $ Minimum usw. untersucht?
> Und wenn ja, wann ist es dann ein Sattelpunkt?
Noch nen lieben Gruß!
~ pawlow
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mo 16.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Hallo Loddar,
> Diese ist für den Nachweis an der Stelle [mm]x_0 \ = \ 1[/mm] nun
> nicht mehr relevant. Es sei denn, wir hätten hier eine
> mögliche Wendestelle gehabt.
Ok, aber was wäre denn WENN. Ist denn meine Interpretation des grünkursiv geschriebenen richtig?
Danke und lieben Gruß
~ pawlow
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 17.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das gruene ist perfekt und richtig. Fuer die Aufgabe braucht man f''' nicht, erst wenns um Wendepunkte geht, oder bei f'=0 auch f''=0 ist.
Gruss leduart
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