Extremwerte bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Berechnen sie Maximum M und Minimum N der Funktion
[mm] f:\IR^{2}\to\IR,
[/mm]
[mm] f(x,y)=5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11
[/mm]
unter der Nebenbedingung
[mm] 4x^{2}+3xy+4y^{2}=11.
[/mm]
In welchen mit der Nebenbedingung verträglichen Punkten werden M und N angenommen. Verwenden sie die Methode der Langrange-Multiplikatoren. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Einige Fragen vorweg.
Ist die Funktion f(x,y) eine implizite Funktion ?
Eigentlich ja nicht, weil x,y beides übergebene Variablen sind. Bzw es ja nur ein Vektor ist, und somit y nicht von x abhängt, oder?
Mein Vorgehen zum bestimmen der Extremwerte:
1. Ableitung bestimmen.
-> Kritischen Punkte
Einen Vorzeichengraph erstellen durch einsetzen in der 1. Ableitung.
Aber was ist mit der Nebenbedinung?
Wie leite ich die Funktion ab, ich habe es implizit Versucht, sieht aber etwas komsich aus. :/
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> Berechnen sie Maximum M und Minimum N der Funktion
> [mm]f:\IR^{2}\to\IR,[/mm]
> [mm]f(x,y)=5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11[/mm]
>
> unter der Nebenbedingung
> [mm]4x^{2}+3xy+4y^{2}=11.[/mm]
>
> In welchen mit der Nebenbedingung verträglichen Punkten
> werden M und N angenommen. Verwenden sie die Methode der
> Langrange-Multiplikatoren.
>
> Einige Fragen vorweg.
>
> Ist die Funktion f(x,y) eine implizite Funktion ?
> Eigentlich ja nicht, weil x,y beides übergebene Variablen
> sind. Bzw es ja nur ein Vektor ist, und somit y nicht von x
> abhängt, oder?
Hallo,
nein, das ist eine ganz normale, explizit gegebene Funktion.
Sie geht halt vom [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR, [/mm] das ist der Unterschied zu dem, was man aus der Schule kennt.
Bei Deinem f wird jedem Vektor eine Zahl zugeordnet nach der angegebenene Vorschrift.
Die Nebenbedingung liefert Dir [mm] g(x,y):=4x^{2}+3xy+4y^{2}=11.
[/mm]
Wie Du das lösen sollst, ist ja schon angegeben; mit der Lagrange-Funktion.
Hierzu betrachtest Du die Funktion h(x,y, [mm] \lambda):= [/mm] f(x,y)+ [mm] \lambda [/mm] (11-g(x,y)).
Dies ist jetzt eine Funktion, welche von drei Variablen abhängt.
Bilde den Gradienten, setze ihn =0, und berechne hieraus die möglichen (x,y).
Hieraus erhältst Du die kritischen Punkte.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
ich bekomme das mit dem Gradienten nicht hin.
Ich habe jetzt alle meine Bücher dazu durchgesehen und 2 stunden gegoogelt. Aus wikipedia werde ich einfach nicht schlau.
Ich habe die Funktion die Du mir in verkürzter Form gegeben hast mal ganz ausgeschrieben:
[mm] h(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+\lambda\*(11-(4x^{2}+3xy+4y^{2}))
[/mm]
Das ist jetzt eine Funktion mit 3. Unbekannten [mm] (x,y,\lambda).
[/mm]
Wie bestimme ich jetzt den Gradienten?
Was ich jetzt soweit vom Gradienten verstanden habe:
Zitat Wikipedia: "Der Gradient eines Skalarfeldes [mm] \varphi\left(\vec r\right) [/mm] ist definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen. Er existiert daher nur an den Stellen, an denen [mm] \varphi [/mm] bezüglich aller Koordinaten partiell differenzierbar ist."
->Das sagt mir also nicht wo die Funktion Löcher hat oder Spitzen hat?
-> Ein Vektor der "senkrecht" auf der Ableitung der Funktion steht.
Bildlich stell ich mir dazu einen Ableitungsgraph vor, auf dem ein Pfeil senkrecht steht. - *Kopfkratz* War da nicht was mit Skalar-Produkt.
Ich werde weiterhin versuchen diese Aufgabe zu bewältigen, und mir erstmal partielle Differentation anschauen. Danach das mit dem Gradienten etc.
Trotzdem würde ich mich über jede Form von Hilfe freuen. :)
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> [mm]h(x,y,\lambda)[/mm] =
> [mm]x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+\lambda\*(11-(4x^{2}+3xy+4y^{2}))[/mm]
>
> Das ist jetzt eine Funktion mit 3. Unbekannten
> [mm](x,y,\lambda).[/mm]
> Wie bestimme ich jetzt den Gradienten?
Hallo,
das Kochrezept für den Gradienten:
Der Gradient ist ein Vektor, und er hat soviele Komponenten, wie die Funktion Variable hat, hier also drei.
1.Komponente: part. Ableitung nach der ersten Variablen
2.Komponente: part. Ableitung nach der zweiten Variablen
3.Komponente: part. Ableitung nach der dritten Variablen
Also grad [mm] h=\vektor{h_x\\ h_y\\ h_{\lambda}}.
[/mm]
(Ich gehe bis auf weiteres davon aus, daß Du partiell differenzieren kannst.)
Wenn Du das hast, setzt Du [mm] \vektor{h_x\\ h_y\\ h_{\lambda}}=\vektor{0\\ 0\\ 0}.
[/mm]
Das liefert Dir ein (oftmals nichtlineares) GS welches zu lösen ist.
Das [mm] \lambda [/mm] ist hierbei ein Hilfsvariable, interessieren tun die (x,y), welche man berechnet.
Dies sind dann die Stellen, an denen Extrema vorliegen können.
Gruß v. Angela
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Ohje..
Je weiter Du mir das erklärst, umso mehr fällt mir auf, was ich nicht kann.
Partielle Ableitung.
-> Wenn ich f(x,y) nach x ableite, betrachte ich y als Konstante, und leite dann genau so ab wie sonst auch.
-> Wenn ich [mm] f(x,y,\lambda) [/mm] nach x ableite, dann betrachte ich y, und [mm] \lambda [/mm] auch als Konstante?
(Wenn ich die definition mit [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] verstanden habe, dann sollte wenn man nach [mm] x_i [/mm] ableitet, [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_i-1 [/mm] und [mm] x_i+1 [/mm] bis n als konstante betrachtet werden.)
Nagut probieren wir mal:
[mm] h(x,y,\lambda)=x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+\lambda*(11-(4x^{2}+3xy+4y^{2}))
[/mm]
Dann ist:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}h(x,y,\lambda)
[/mm]
[mm] =(x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+\lambda)'\*(11-(4x^{2}+3xy+4y^{2}))+(x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+\lambda)\*(11-(4x^{2}+3xy+4y^{2}))' [/mm] (Produktregel)
[mm] =(2x-6)\*(11-(4x^{2}+3xy+4y^{2}))+(x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+\lambda)\*(-8x-3y) [/mm]
Das habe ich dann hoffentlich richtig ausmultipliziert zu
[mm] =22x-8x^{3}-6x^{2}y-8xy^{2}-66+24x^{2}+18xy+24y^{2}-8x^{3}+48x^{2}-40xy^{2}+48xy+88x-8x\lambda-3x^{2}y+18xy-15y^{3}+18y^{2}+33y-3y\lambda
[/mm]
und zusammengefasst zu
[mm] =-16x^{3}-15y{3}-9x^{2}y-48xy{2}+72x^{2}+44y^{2}+84xy-8x\lambda-3y\lambda+100x+33y-66
[/mm]
(ohne Vorzeichenfehler?)
Puh, das war ne ganze menge Rechen und Sortierarbeit. Gibs da vielleicht irgendwie nen Trick vorweg? Oder befinde ich mich gar auf dem Holzpfad?
Wenn nicht würde ich noch nach y ableiten.
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Hallo AFL,
die Produktregel brauchst du doch gar nicht, es reicht doch die Summenregel aus:
[mm] $h(x,y,\lambda)=x^2-6x+5y^2-6y-11+\lambda(11-(4x^2+3xy+4y^2))$
[/mm]
[mm] $=x^2-6x+5y^2-6y-11+11\lambda-4\lambda x^2-3\lambda xy-4\lambda y^2$
[/mm]
Nun sind alle Terme, die kein x enthalten Konstante bzgl. x und werden bei der Ableitung nach x zu 0
Also [mm] $\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,\lambda)=2x-6+0-0-0+0-8\lambda x-3\lambda y-0=2x-6-\lambda(8x+3y)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Danke für die Hilfe, jetzt ist das natürlich viel leichter! :D
Mathe kann auch Spass machen, hm ?
für die Ableitung nach y habe ich:
[mm] 10y-6-\lambda(3x+8y) [/mm]
rausbekommen. Ich hoffe mal, das stimmt.
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Hallöchen,
> Mathe kann auch Spass machen, hm ?
jo, gelegentlich 
>
> für die Ableitung nach y habe ich:
>
> [mm]10y-6-\lambda(3x+8y)[/mm] ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
>
> rausbekommen. Ich hoffe mal, das stimmt.
>
Ja, das sieht sehr gut aus...
LG
schachuzipus
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Hallo, bist du sicher, dass ich als 3. Komponente ebenfalls die Ableitung nach y nehmen sollte?
Weil die definition ja bei Wikipedia so steht:
[mm] \operatorname{grad}\,\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \partial\varphi / \partial x \\ \partial\varphi / \partial y \\ \partial\varphi / \partial z \end{pmatrix}
[/mm]
Das wuerde ja bedeuten, dass ich eigentlich nach [mm] \lambda [/mm] ableiten muesste für die 3. Komponente. (Eventuell hast du Copy&Paste gemacht und bei der 3. Komponentendefinition am Ende Vergessen nach der dritten zu schreiben?)
Hmm. Aber die Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] wäre dann ja
= [mm] -4x^{2}-3xy-4y^{2}
[/mm]
zumindest habe ich jetzt:
[mm] \operatorname{grad}h=\vektor{h_x \\ h_y \\ h_z}=\vektor{2x-6-\lambda(8x+3y)\\10y-6-\lambda(3x+8y)\\10y-6-\lambda(3x+8y)}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Nur weis ich leider auch nicht wie ich das jetzt wieder ausrechnen soll.
So langsam glaube ich, bin ich ein hoffnungsloser Fall... :(
Würde mich über die Hilfe trotzdem freuen, weil wenn ich diese Aufgabe irgendwann mal geschafft habe, habe ich sie auch auf jeden falls verstanden und kann dann die 2. Aufgabe (die so ähnlich ist) hier mal mit meiner Lösung präsentieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Hallo, bist du sicher, dass ich als 3. Komponente ebenfalls
> die Ableitung nach y nehmen sollte?
Nein, die nach [mm]\lambda[/mm], da hat Angela sich verschrieben:
die 3. Komponente ist die Ableitung nach der dritten Variablen
Übrigens ist das gerade die Nebenbedingung. Wenn du [mm]h(x,y,\lambda)[/mm] nach [mm]\lambda[/mm] ableitest, musst du ja so tun, als ob x und y konstant wären und bekommst
[mm]\bruch{\partial h}{\partial \lambda} = g(x,y)[/mm]
Die dritte Gleichung ist also gerade [mm]g(x,y)=0[/mm], und das ist deine Nebenbedingung.
Viele Grüße
Rainer
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Cool, ich habe mal meine 2. Aufgabe gerechnet und genau die Nebenbedingung wieder herausbekommen als ich nach [mm] \lambda [/mm] abgeleitet habe.
Aber meine größtes Problem ist es jetzt noch, diesen Gradienten zu lösen.
(Den Gradient = 0 und dann lösen).
Nehme ich da den Gauss-Algorithmus oder wie?
Das macht man doch, um dann die Kritischen Punkte, M N zu finden oder?
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Ja, jetzt ist das Gleichungssystem zu lösen.
> Nehme ich da den Gauss-Algorithmus oder wie?
Der Gauß-Algorithmus ist ja für lineare Gleichungssysteme.
Solch eins hast Du hier nicht vorliegen, denn es werden ja Variable miteinander multipliziert.
Ich habe Deine Aufgabe nicht durchgerechnet, aber bei diesen Aufgaben kommt man oft ganz gut durch, wenn man erst eine Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] auflöst, dieses [mm] \lambda [/mm] dann in die beiden verbleibenden Gleichungen einsetzt.
Nun hast Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x, y.
Stellst in einer Gleichung z.B. y frei, setzt in die andere ein.
Diese hängt nur noch von x ab. Du mußt sie nun lösen, um mögliche Werte von x zu erhalten.
Durch Einsetzen erhältst Du dann die passenden y.
Fass' das als groben Fahrplan auf. Ich kann natürlich nicht in aller Allgemeinheit auf alles eingehen, was vorkommen könnte.
Das muß man dann im Einzelfall anschauen.
Gruß v. Angela
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[mm] \lambda [/mm] habe ich berechnet bekommen.
[mm] \lambda=\bruch{10x-6}{8x+3y} [/mm] (Mit Ableitung nach x)
[mm] \lambda=\bruch{10y-6}{8y+3x} [/mm] (Mit Ableitung nach y)
Wenn ich jetzt [mm] \lambda [/mm] in eine der beiden Ableitungen nach x oder y einsetzen, bekomme ich 0=0 oder x=x etc.
Ich bekomme das einfach nicht gelöst.
Bitte helft mir.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> [mm]\lambda[/mm] habe ich berechnet bekommen.
>
> [mm]\lambda=\bruch{10x-6}{8x+3y}[/mm] (Mit Ableitung nach x)
> [mm]\lambda=\bruch{10y-6}{8y+3x}[/mm] (Mit Ableitung nach y)
>
> Wenn ich jetzt [mm]\lambda[/mm] in eine der beiden Ableitungen nach
> x oder y einsetzen, bekomme ich 0=0 oder x=x etc.
Ja, denn du hast das aus diesen Gleichungen hergeleitet. Wenn du es zurück einsetzt, bekommst du 0=0 raus.
Aber: du hast jetzt zwei unterschiedliche Gleichungen für [mm]\lambda[/mm], die kannst du einfach gleichsetzen:
[quote]
[mm]\bruch{10x-6}{8x+3y} = \bruch{10y-6}{8y+3x} \Rightarrow x=y[/mm].
(Genaugenommen musst du hier aufpassen, dass [mm]8y+3x[/mm] bzw. [mm]8x+3y[/mm] nicht 0 werden, sonst darfst du nicht dadurch teilen. Das spielt hier aber keine Rolle, weil du zum selben Ergebnis kommst wenn du das [mm]\lambda[/mm] ohne Division eliminierst.)
Wenn du ausmultiplizierst, bekommst du eine quadratische Gleichung, die du nach x auflösen kannst. Die beiden Lösungen setzt du der Reihe nach in die Nebenbedingung ein und überprüfst, ob du eine Lösung findest. Danach Alles rückwärts einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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[mm] \bruch{10x-6}{8x+3y} [/mm] = [mm] \bruch{10y-6}{8y+3x} \Rightarrow [/mm] x=y
Wenn ich diese Gleichung ausrechne, gehe ich wie folgt vor:
[mm] =\bruch{(10x-6)\*(8y+3x)}{(8x+3y)\*(10y-6)}
[/mm]
[mm] =\bruch{80xy+30x^{2}-48y-18x}{80xy+30y^{2}-48x-18y}
[/mm]
[mm] 80xy+30x^{2}-48y-18x=80xy+30y^{2}-48x-18y
[/mm]
[mm] 30x^{2}-30y^{2}+30x-30y=0
[/mm]
Diese stelle hatte ich schon so oft. :(
am Ende steht dann sowas wie [mm] x^{2}+x=y^{2}+y
[/mm]
Zum heulen..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\bruch{10x-6}{8x+3y}[/mm] = [mm]\bruch{10y-6}{8y+3x} \Rightarrow[/mm]
> x=y
OOPS sorry, das x=y ist nur eine der möglichen Lösungen, das sollte da gar nicht hin.
> Wenn ich diese Gleichung ausrechne, gehe ich wie folgt
> vor:
>
>
> [mm]=\bruch{(10x-6)\*(8y+3x)}{(8x+3y)\*(10y-6)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{80xy+30x^{2}-48y-18x}{80xy+30y^{2}-48x-18y}[/mm]
>
> [mm]80xy+30x^{2}-48y-18x=80xy+30y^{2}-48x-18y[/mm]
>
> [mm]30x^{2}-30y^{2}+30x-30y=0[/mm]
>
> Diese stelle hatte ich schon so oft. :(
>
> am Ende steht dann sowas wie [mm]x^{2}+x=y^{2}+y[/mm]
Das ist doch wunderbar: das ist eine quadratische Gleichung [mm]x^2+px+q=0[/mm] mit [mm]p=1[/mm] und [mm]q=-y^2-y[/mm].
Es geht sogar etwas einfacher, wenn man direkt eine quadratische Ergänzung macht:
[mm]x^{2}+x=y^{2}+y \Leftrightarrow x^{2}+x+\bruch{1}{4} = y^{2}+y+\bruch{1}{4}\Leftrightarrow \left(x+\bruch{1}{2}\right)^2 = \left(y+\bruch{1}{2}\right)^2[/mm]
Die beiden Klammern (ohne die Quadrate) sind also entweder gleich oder entgegengesetzt gleich.
Das ergibt die zwei Möglichkeiten [mm]x=y[/mm] und [mm]x=-y-1[/mm].
Jetzt du wieder
Viele Grüße
Rainer
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Boah ich bin so doof.
Ich habs jetzt.. X=Y das weis ich schon so lange.
Nur auf die Idee zukommen, dass ich dann überal wo x ist auch x hinschreibe in die g-funktion einsetze.. naja..
Ich hab jetzt als Lösung x=1 , da x=y folgt y=1 und
[mm] \lambda=\bruch{4}{11} [/mm] ? oder minus [mm] \bruch{4}{11}?
[/mm]
ich rechne jetzt nochmal von vorne ;) Danke soweit
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Also dank Eurer Hilfe habe ich die Aufgabe fasst gelöst.
Mich würde allerdings interessieren, ob ich den Lösungsweg noch irgendwie "optimieren" kann, was Geschwindigkeit angeht. Weil ich mir sicher bin, dass diese Art von Aufgabe in meiner Analysis-Klausur vorkommen wird.
Hier nochmal Mein Lösungsweg:
Berechnen sie Maximum M und Minimum N der Funktion
[mm] f:\IR^{2}\to\IR,
[/mm]
[mm] f(x,y)=5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11
[/mm]
unter der Nebenbedingung
[mm] 4x^{2}+3xy+4y^{2}=11.
[/mm]
Lagrange-Hilfsformel
[mm] h(x,y,z)=f(x,y)+\lambda\*g(x,y)=0
[/mm]
[mm] =5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+\lambda\*(11-(4x^{2}+3xy+4y^{2}))=0
[/mm]
[mm] =5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+11\lambda-4\lambdax^{2}-3\lambdaxy-4\lambday^{2}
[/mm]
Jetzt die Ableitungen nach x und y, nach [mm] \lambda [/mm] brauche ich ja nicht mehr ableiten, da die Ableitung ja bereits mit g(x,y) (also die Nebenbedingung) gegeben ist.
[mm] \frac{\partial h}{\partial x}(x,y,\lambda)=10x-6-8\lambdax-3\lambday=10x-6-\lambda(8x+3y)
[/mm]
[mm] \frac{\partial h}{\partial y}(x,y,\lambda)=10y-6-8\lambday-3\lambdax=10y-6-\lambda(8y+3x)
[/mm]
[mm] \frac{\partial h}{\partial \lambda}(x,y,\lambda)=g(x,y)=4x^{2}+3xy+4y^{2}=11
[/mm]
Jetzt sollte ich ja den Gradient aufstellen und gleich null setzen. Wozu? Beschleunigt das etwa meinen Rechenweg? Ich zeige euch mal, wie ich jetzt weiter vorgegangen bin.
Ich habe jetz [mm] \frac{\partial h}{\partial x}(x,y,\lambda) [/mm] nach [mm] \lambda [/mm] umgestellt und [mm] \frac{\partial h}{\partial y}(x,y,\lambda) [/mm] ebenfalls:
[mm] \lambda=\bruch{10x-6}{8x+3y} [/mm] (Mit Ableitung nach x)
[mm] \lambda=\bruch{10y-6}{8y+3x} [/mm] (Mit Ableitung nach y)
Und dann [mm] \lambda_x=\lambda_y [/mm] gesetzt.
[mm] \bruch{10x-6}{8x+3y}=\bruch{10y-6}{8y+3x} [/mm]
[mm] (10x-6)\*(8y+3x)=(10y-6)\*(8x+3y)
[/mm]
[mm] 80xy+30x^{2}-48y-18x=80xy+30y^{2}-48x-18y
[/mm]
[mm] 30x^{2}+30x=30y^{2}+30y
[/mm]
[mm] x^{2}+x=y^{2}+y \Rightarrow [/mm] x=y
Diese Schlussfolgerung habe ich im Nachhinein auch schon beim betrachten der Ausgangsfunktion gesehen: [mm] 5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11. [/mm] Selbiges gilt für die 2. Übungsaufgabe. Wenn ich also dieses Merkmal (x=y) bereits schon am Anfang der Aufgabe feststelle, kann ich dann z.b. gleich schreiben:
[mm] \Rightarrow [/mm] x=y?
Gut jetzt habe ich für jedes y in g(x,y) ein x geschrieben:
[mm] 4x^{2}+3x^{2}+4x^{2}=11
[/mm]
[mm] 11x^{2}=11 [/mm] (durch 11)
x{2}=1
[mm] x=\wurzel{1}=\pm1
[/mm]
Habe also 2 Lösungen.
Da x=y gilt, sind also 2 Punkte interessant:
(1,1) und (-1,-1)
Jetzt kann ich auch noch [mm] \lambda [/mm] ausrechnen:
[mm] \lambda=\bruch{10x-6}{8x+3y}
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{10(-1)-6}{8(-1)+3(-1)} [/mm]
[mm] \lambda=\bruch{-16}{-11}
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{16}{11}
[/mm]
und
[mm] \lambda=\bruch{10x-6}{8x+3y}
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{10-6}{8+3} [/mm]
[mm] \lambda=\bruch{4}{11}
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{4}{11} [/mm] oder [mm] \lambda=\bruch{16}{11}
[/mm]
[mm] P_1=(1,1) [/mm] und [mm] P_2=(-1,-1)
[/mm]
Wie bestimme ich jetzt die Extrempunkte M und N?
Aus meinem Analysis Buch weis ich, dass wenn man die Ableitung einer Funktion betrachtet, man die Steigung als y der Funktion hat.
D.h. also wenn ich bei f(x,y)' die Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] einsetze, und dan 0 herauskommt, ist dort ein Lokales Minimum oder Maximum.
Bei der 2 Ableitung könnte ich am Vorzeichen erkennen ob es nach oben oder unten konkav ist und somit bestimmen ob Minimum oder Maximum..
Aber wie mache ich das jetzt genau.
Wie immer wäre ich Euch für Eure tollen Ratschläge, Hilfestellungen und Tipps sehr dankbar!
Grüße,
Flo
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> Also dank Eurer Hilfe habe ich die Aufgabe fasst gelöst.
> Mich würde allerdings interessieren, ob ich den Lösungsweg
> noch irgendwie "optimieren" kann, was Geschwindigkeit
> angeht. Weil ich mir sicher bin, dass diese Art von Aufgabe
> in meiner Analysis-Klausur vorkommen wird.
>
> Hier nochmal Mein Lösungsweg:
>
>
> Berechnen sie Maximum M und Minimum N der Funktion
> [mm]f:\IR^{2}\to\IR,[/mm]
> [mm]f(x,y)=5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11[/mm]
>
> unter der Nebenbedingung
> [mm]4x^{2}+3xy+4y^{2}=11.[/mm]
>
>
> Lagrange-Hilfsformel
>
> [mm]h(x,y,z)=f(x,y)+\lambda\*g(x,y)=0[/mm]
>
> [mm]=5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+\lambda\*(11-(4x^{2}+3xy+4y^{2}))=0[/mm]
>
> [mm]=5x^{2}-6x+5y^{2}-6y-11+11\lambda-4\lambdax^{2}-3\lambdaxy-4\lambday^{2}[/mm]
>
> Jetzt die Ableitungen nach x und y, nach [mm]\lambda[/mm] brauche
> ich ja nicht mehr ableiten, da die Ableitung ja bereits mit
> g(x,y) (also die Nebenbedingung) gegeben ist.
>
> [mm]\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,\lambda)=10x-6-8\lambdax-3\lambday=10x-6-\lambda(8x+3y)[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial h}{\partial y}(x,y,\lambda)=10y-6-8\lambday-3\lambdax=10y-6-\lambda(8y+3x)[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial h}{\partial \lambda}(x,y,\lambda)=g(x,y)=4x^{2}+3xy+4y^{2}=11[/mm]
Hallo,
ich habe nicht alls einzeln nachgerechnet, beim Überfliegen des Threads meine ich gesehen zu haben, daß das schon jemand getan hat.
>
> Jetzt sollte ich ja den Gradient aufstellen und gleich null
> setzen. Wozu? Beschleunigt das etwa meinen Rechenweg?
Das beschleunigt nicht den Rechenweg, das IST der Rechenweg.
Du hast dieses =0-Setzen wohl fürs weitere Vorgehen im Geiste vorgenommen. Getan hast Du es, ob bewußt oder unbewußt...
(Prinzipiell halte ich es für sehr nützlich, die Gleichungen mit den =0 aufzuschreiben.
In der Klausur z.B. will der Korrektor auf einen Blick sehen, was Du getan hast. Natürlich kann man auch schreiben: "ich setze den Gradienten =0 und löse das GS." Davor, völlig kommentarlos weiterzurechnen, warne ich, nicht zuletzt deshalb, weil es für das Wissen, daß man den Gradienten =0 setzen muß auch meist Punkte gibt - wichtig, wenn man sich beim Lösen des GS verzettelt und nicht bis zum Ende kommt.)
> Ich
> zeige euch mal, wie ich jetzt weiter vorgegangen bin.
>
> Ich habe jetz [mm]\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,\lambda)[/mm]
> nach [mm]\lambda[/mm] umgestellt und [mm]\frac{\partial h}{\partial y}(x,y,\lambda)[/mm]
> ebenfalls:
>
> [mm]\lambda=\bruch{10x-6}{8x+3y}[/mm] (Mit Ableitung nach x)
> [mm]\lambda=\bruch{10y-6}{8y+3x}[/mm] (Mit Ableitung nach y)
>
> Und dann [mm]\lambda_x=\lambda_y[/mm] gesetzt.
>
> [mm]\bruch{10x-6}{8x+3y}=\bruch{10y-6}{8y+3x}[/mm]
> [mm](10x-6)\*(8y+3x)=(10y-6)\*(8x+3y)[/mm]
> [mm]80xy+30x^{2}-48y-18x=80xy+30y^{2}-48x-18y[/mm]
> [mm]30x^{2}+30x=30y^{2}+30y[/mm]
> [mm]x^{2}+x=y^{2}+y \Rightarrow[/mm] x=y
Diese Folgerung ist nur die halbe Wahrheit. An dieser Stelle verlierst Du einen Teil dr möglichen Lösungen:
[mm] x^{2}+x=y^{2}+y
[/mm]
<==> [mm] x^2-y^2= [/mm] y-x
<==> (x-y)(x+y)=-(x-y)
==> x=y oder x+y=-1
Diese 2. Lösung mußt Du auch bearbeiten, sonst verlierst Du möglicherweise Punkte, die Dich interessieren sollten.
> Jetzt kann ich auch noch [mm]\lambda[/mm] ausrechnen:
Das brauchst Du nicht mehr, denn dieses [mm] \lambda [/mm] interessiert nicht die Bohne. Es ist eine reine Hilfsvariable.
Ich möchte mich jetzt nicht mit den Details Deiner weiteren Rechnung beschäftigen, sondern auf die wichtige Frage eingehen, was Du mit den am Ende errechneten Punkten tun sollst.
Es ist ja die Frage, wo das Minumum und das Maximum der Funktion unter der vorgegebenen Randbedingung liegt.
Berechne die Funktionswerte an diesen Stellen und guck, welcher der Punkte das Minimum ist und welcher das Maximum.
(Wenn Deine Randbedingung in Form einer Gleichung gegeben ist, und wenn x und y aus ganz [mm] \IR [/mm] gewählt werden dürfen, klappt das. Ich wiil auf die Mathematik hierzu nicht genauer eingehen.)
Gruß v. Angela
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Ich habe jetzt die Aufgabe soweit gelöst:
Weil x=y und x+y=(-1) ist, ergibt es die Punkte
P1(1,1)=-13, und P2(-1,-1)=11
Somit ist M=11 am Punkt P2 (Maximum) und N=-13 am Punkt P1 (Minimum).
Ist diese Schreibweise am Ende dann richtig, oder muss ich das anders Machen? Z.B. M(-1,-1)=11 ? Hilfe.
Aus x+y=-1 ergeben sich auch noch 2 Punkte denn:
y=(-x-1) und x=(-y-1)
Eingesetzt habe ich da [mm] -\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{33}{20}} [/mm] mit der PQ-Formel herausbekommen.
Das kann ich niemals in einer Klausurprüfung ausrechen!
Brauche ich diesen Fall überhaupt betrachten?
Weil die beiden Kantenpunkte in einem eingegrenzten Bereich ja nicht für Minimum und Maximum interessant sind.
Bitte nochmal die Aufgabenstellung genau ansehen, ob wirklich das gelöst ist was gewollt ist.
VIELEN DANK FÜR DIE HILFE..
PS: Ich gerate langsam wirklich in Prüfungspanik....
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> Ich habe jetzt die Aufgabe soweit gelöst:
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> Weil x=y und x+y=(-1) ist, ergibt es die Punkte
>
> P1(1,1)=-13, und P2(-1,-1)=11
>
> Somit ist M=11 am Punkt P2 (Maximum) und N=-13 am Punkt P1
> (Minimum).
> Ist diese Schreibweise am Ende dann richtig, oder muss ich
> das anders Machen? Z.B. M(-1,-1)=11 ? Hilfe.
Hallo,
mach es so:
An der Stelle (1,1) hat die Funktion f unter der Nebenbedingung ... ein Maximum, an der Stelle (_1,-1) ein Minimum.
Die Funktionswerte sind hier f(1,1)=11 und f(-1,-1)=-11.
>
> Aus x+y=-1 ergeben sich auch noch 2 Punkte denn:
>
> y=(-x-1) und x=(-y-1)
>
> Eingesetzt habe ich da
> [mm]-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{33}{20}}[/mm] mit der PQ-Formel
> herausbekommen.
> Das kann ich niemals in einer Klausurprüfung ausrechen!
Aber im Prinzip ist's doch kein echtes Problem.
Wenn Du hast [mm] x=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{33}{20}}, [/mm] dann ist das passende Y jeweils [mm] y=-x-1=\bruch{1}{2}\mp\wurzel{\bruch{33}{20}}-1=-\bruch{1}{2}\mp\wurzel{\bruch{33}{20}},
[/mm]
die Punkte sind somit [mm] P_3=(-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{33}{20}},-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{33}{20}}) [/mm] und [mm] P_4=(-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{33}{20}},-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{33}{20}})
[/mm]
>
> Brauche ich diesen Fall überhaupt betrachten?
> Weil die beiden Kantenpunkte in einem eingegrenzten
> Bereich ja nicht für Minimum und Maximum interessant sind.
Du hast hier keine Kantenpunkte. Wenn ich mich nicht täusche, beschreibt die Nebenbedingung eine Ellipse.
Warum sollten außerdem Kantenpunkte nicht interessant sein?
Gruß v. Angela
>
> PS: Ich gerate langsam wirklich in Prüfungspanik....
Tief durchatmen. Klausuraufgaben sind meist recht rechenfreundlich gestellt. Wichtig ist, daß Du weißt, was Du beim Langrageansatz zu tun hast, und daß Du das oft genug geübt hast.
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Vielen Dank für deine schnelle Reaktion.
Der Text gefällt mir sehr gut, ich werde es genau so schreiben.
Was ist aber mit den anderen beiden Punkten.
Muss ich diese mit angeben von der Aufgabenstellung her, oder nicht?
Ist mir jetzt nicht ganz klar geworden. Ich würde tippen auf "Nein".
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> Was ist aber mit den anderen beiden Punkten.
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> Muss ich diese mit angeben von der Aufgabenstellung her,
> oder nicht?
> Ist mir jetzt nicht ganz klar geworden. Ich würde tippen
> auf "Nein".
Hallo,
es ist mir immer noch nicht klar, warum Du diese beiden Punkte ohne weitere Untersuchungen über Bord werfen möchtest.
Was unterscheidet sie Deiner Meinung nach von den anderen beiden Punkten, die Du ermittelt hast - abgesehen davon, daß sie lästig zu rechnen sind?
Möglicherweise beginne ich zu ahnen, worauf Du hinauswillst: falls in der Aufgabe jeweils die globalen Extrema gesucht sind, benötigst Du jeweils das "größte" Maximum und das "kleinste" Minimum.
Aber um das herauszufinden, mußt Du auf jeden Fall ja auch die Funktionswerte der häßlichen Punkte berechnen. (Dank binomischer Formeln geht es eigentlich ganz gut. Falls ich mich nicht verrechnet habe: ich habe beim ersten der beiden Punkte 14 heraus - ohne Gewähr.)
Wenn das getan ist, suchst Du Dir die passenden heraus.
Und etwas anderes beginne ich zu verstehen: in der Tat gibt es bei dieser Aufgabe keine weiteren Randpunkte zu untersuchen, denn die Nebenbedingung beschreibt ja, wenn ich nicht völlig schief liege, eine Ellipse. Die hat keinen Angang und kein Ende und auch keine Ecken.
Gruß v. Angela
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