Extremwerte u. Hessematrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:35 Sa 17.04.2010 | | Autor: | mpps |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema der folgenden Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1
f(x,y) = [mm] 3xy^2 [/mm] - [mm] x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] |
Ich schreib erstmal die Aufgabe soweit auf, wie ich sie bisher gemacht habe:
Lagrange-Ansatz:
[mm] h(x,y)=3xy^2-x^3+4x^2+4y^2+t(x^2+y^2-1)
[/mm]
[mm] h_x=3y^2-3x^2+8x+2tx=0
[/mm]
[mm] h_y=6xy+8y+2ty=0
[/mm]
Daraus ergeben sich dann folgende Kandidaten für Extrema mit den "zugehörigen ts":
[mm] (-\bruch{1}{2};\bruch{\wurzel{3}}{2}) [/mm] und t=-2,5
[mm] (-\bruch{1}{2};-\bruch{\wurzel{3}}{2}) [/mm] und t=-2,5
[mm] (\bruch{1}{2};\bruch{\wurzel{3}}{2}) [/mm] und t=-5,5
[mm] (\bruch{1}{2};-\bruch{\wurzel{3}}{2}) [/mm] und t=-5,5
(-1;0) und t=-1
(1;0) und t=-7
Dann schau ich ja nach der Definitheit der Hessematrix:
[mm] h_{xx}=-6x+3
[/mm]
[mm] h_{xy}=6y
[/mm]
[mm] h_{yx}=6y
[/mm]
[mm] h_{yy}=6x+3
[/mm]
Für [mm] (-\bruch{1}{2};\bruch{\wurzel{3}}{2}) [/mm] und t=-2,5 ergibt sich dann die Matrix [mm] \pmat{ 6 & 3\wurzel{3} \\ 3\wurzel{3} & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] pos. definit und damit Minimum
Jetzt kommt der Punkt, an dem ich verwirrt bin:
Für [mm] (-\bruch{1}{2};-\bruch{\wurzel{3}}{2}) [/mm] und ebenfalls t=-2,5 erhalte ich eine indifinite Matrix, was ja heißt, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Die Musterlösung sagt aber, dass es sich in [mm] (-\bruch{1}{2}; -\bruch{\wurzel{3}}{2}) [/mm] auch um ein Minimum handelt. Habe schon versucht die Definitheit über die Eigenwerte auszurechnen, aber auch hier ist ein Eigenwert positiv, der andere negativ.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Vielen Dank für eine Antwort und Grüße, Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 17.04.2010 | | Autor: | mpps |
Habe gerade rausgefunden wo mein Fehler lagt und antworte mir mal selber, falls es noch jemand anderes interessiert.
Weil es sich um eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung handelt, muss man an der Stelle, wo die Hesse-Matrix indefinit ist mit der geränderten Matrix weiterrechen. Ist diese positv -> Maximum, ist sie negativ -> Minimum.
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