Extremwerte unter Nebenbeding. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle relativen Extremwerte der Abbildung f: R³-> R, f(x,y,z) := x² +y² + z², auf der Menge {x,y,z) R³: x² + 2y² -z² - 3 = 0} |
Hi! Obige Aufgabe liegt mir vor und ich hab zwei Fragen dazu.
Erstens ist mir die Rangbedingung nicht ganz klar, stimmt es, dass diese besagt, dass der Rang Jakobimatrix = Anzahl der Nebenbedingungen sein muss, damit Extrema überhaupt vorliegen?
Zweitens, hab ich als Extrempunkte: (x,0,0), (0,y,0) und (0,0,z) errechnet, was mir aber sehr komisch erscheint oder sind diese Extremwerte richtig?
Viele Grüße und Danke! :)
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Noch eine kurze Anmerkung - ich habe für die Extremwerte raus: ( [mm] \wurzel [/mm] 3,0,0) Maximum, (0, 1, 0) Minimum, (0,0,- [mm] \wurzel [/mm] 3) Kann das stimmen bzw. stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mi 08.10.2008 | | Autor: | zahllos |
Die Funktion f gibt das Quadrat des Abstands eines Punktes im Raum vom Ursprung an. Versuche dir vorzustellen, wie die durch die Nebenbedingung beschriebene Fläche im Raum ausssieht.
Wo gibt es dort Punkte mit minimalem, bzw maximalem Abstand?
Überlege die, welche x und y Werte bei konstatem z die Nebenbedingung erfüllen.
In einem Extremum muss der Gradient der Zielfunktion linear abhängig von Gradienten der Restriktion sein, wo ist das der Fall?
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Das versteh ich nicht :(.. Ich kann mir die Figur irgendwie überhaupt nicht im Raum vorstellen.. Also ist mein Ergebnis falsch? Und was ist das für eine Nebenbedingung, die du da unten hingestellt hast!? Soll das die Randbedingung sein? %-(..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Do 09.10.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
die Zielfunktion, von der du ein Extremum berechnen sollst, ist:
f(x,y,z) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm]
die Nebenbedingung ist :
g(x,y,z) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2y^2 -z^2 [/mm] -3 = 0
Im Extremum muss der Gradient der Zielfunktion linear abhängig vom Gradienten der Nebenbedingung sein, d.h.:
2x = [mm] \lambda [/mm] 2x
2y = [mm] \lambda [/mm] 4y
2z = [mm] -\lambda [/mm] 2z
(Der Rang der Jacobi-Matrix ist hier gleich 1, deshalb hast du auch nur eine Nebenbedingung. Die Jacobi-Matrix ist gleich dem Gradienten)
Aus der ersten Gleichung folgt: x = 0 oder [mm] \lambda [/mm] = 1
aus der zweiten: y = 0 oder [mm] \lambda [/mm] = 0,5
aus der dritten: z = 0 oder [mm] \lambda [/mm] = -1
Jetzt kannst du verschiedene zwei Fälle betrachten:
1. Falls x = 0 folgt aus der zweiten Gleichung [mm] \lambda [/mm] = 0,5
( denn mit x = y = 0 ist die Nebenbedingung nicht zu erfüllen)
und damit aus der dritten z = 0 und aus der Nebenbedingung y = [mm] \pm\sqrt{1,5}
[/mm]
2. Falls x [mm] \not= [/mm] 0 folgt [mm] \lambda [/mm] = 1 und damit aus Gleichung zwei und drei
y = z = 0 und aus der Nebenbedingung x = [mm] \pm\sqrt{3}
[/mm]
Somit hast du als Extremwerte die Punkte:
A= [mm] (\sqrt{3},0,0) [/mm]
[mm] B=(-\sqrt{3},0,0) [/mm]
[mm] C=(\sqrt{1,5},0,0) [/mm]
[mm] D=(-\sqrt{1,5},0,0)
[/mm]
Für die Ziefunktion erhälst du f(A) = f(B) = 3 und f(C) = f(D) = 1,5
Du kannst dir das auch geometrisch veranschaulichen:
Für z = 0 beschreibt die Nebenbedingung eine Ellipse mit den Scheitelpunkten A,B,C und D, für jedes z [mm] \not= [/mm] 0 erhälst du zwei zu dieser Ellipse parallele Ellipsen mit größeren Achsen. Da der Gradient der Zielfunktion genau in A,B,C und D linear abhängig vom Gradienten der Zielfunktion ist, sind das die einzigen Extrempunkte.
Alles klar?
Ich logge mich morgen Abend nochmal ein.
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Ah, also die Bedingung versteh ich, das ist nicht die Rangbedingung... Kannst du mir die evtl. nochmal formulieren? Und dies ist bei mir der fall für [mm] \lambda [/mm] = 1, [mm] \lamda [/mm] = 1/2 , [mm] \lambda [/mm] = -1. Hier erhalte ich dann die drei Extremwerte, die ich am Anfang schon genannt hab.
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