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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwerte x y Veränderliche
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Extremwerte x y Veränderliche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mi 14.02.2007
Autor: pisty

Aufgabe
Bestimmen Sie Art und Lage der relativen Extremwerte der Funktion.

f(x,y) = [mm] 2x^3-3xy+2y^3+1 [/mm]

f(x,y) = [mm] 2x^3-3xy+2y^3+1 [/mm]

hier sind die Ableitungen.

fx = [mm] 6x^2-3y [/mm]
fy = [mm] -3x+6y^2 [/mm]
fxx = 12x
fyy = 12y
fxy = -3
fyx = -3

0 = [mm] 6x^2-3y [/mm]
[mm] 0=-3x+6y^2 [/mm]

aus diesen beiden sind nun die Nullstellen bzw. die Extremwertverdächtigen Punte herauszubekommen.

Ich finde leider keinen Ansatz um y=... oder x=... zu bekommen, sodass ich ich die Extremwertverdächtigen Punte herauszubekomme.




kann mir bitte jemand helfen ...

vielen Dank

pisty

        
Bezug
Extremwerte x y Veränderliche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mi 14.02.2007
Autor: Volker2

Hallo,

versuch es einfach nochmal. Du kannst tatsächlich x und y bestimmen. Ich komme auf [mm] x=y=\frac{1}{2} [/mm] und finde dort ein (nur) lokales Minimum.Volker

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Bezug
Extremwerte x y Veränderliche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Fr 16.02.2007
Autor: pisty

Hallo Volker,

ich komme leider immer noch nicht drauf.

Mit umstellen oder Gleichungssystem - nichts funktioniert?


kannst du bitte einmal deinen Weg erklären?

pisty

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Bezug
Extremwerte x y Veränderliche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Fr 16.02.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du mußt nun doch zunächst die Punkte bestimmen, an welchen [mm] f_x=0 [/mm] und gleichzeitig [mm] f_y=0. [/mm]

Damit kannst Du ja zumindest man anfangen, und wenn's das Aufschreiben der Gleichungen ist...

Dann kannst Du z.B. die eine Gleichung nach y auflösen, das in die andere einsetzen, hieraus x ermitteln und daraus wieder y.

Fang an, und zeig ggf., wo Du hängst.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Extremwerte x y Veränderliche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Mo 19.02.2007
Autor: pisty

also ich stelle die gleichug(en) mal um:

I: [mm] 0=6x^2-3y [/mm] -> [mm] 0=3x^2-y [/mm] -> [mm] y=3x^2 [/mm]
II: [mm] 0=-3x+6y^2 [/mm]

I setze ich in II ein:

[mm] 0=-3x+6*(3x^2) [/mm] -> [mm] 0=-3x+54x^4 [/mm]

so ... daraus folgt: [mm] 0=x*(-3+54x^3) [/mm]

1. Nullstelle: x1=0
1. Nullstelle: x1=0,381.....


ich komme leider nicht auf x=y=0,5. Aber warum?



pisty



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Bezug
Extremwerte x y Veränderliche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:05 Mo 19.02.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> also ich stelle die gleichug(en) mal um:
>  
> I: [mm]0=6x^2-3y[/mm] -> [mm]0=3x^2-y[/mm] -> [mm]y=3x^2[/mm]

Hmm. Ich glaube mal, du hast dich hier schlicht und einfach verrechnet.
0=6x²-3y
[mm] \gdw [/mm] 3y=6x²
[mm] \gdw y=\red{2}x² [/mm]

>  II: [mm]0=-3x+6y^2[/mm]
>  
> I setze ich in II ein:
>  
> [mm]0=-3x+6*(3x^2)[/mm] -> [mm]0=-3x+54x^4[/mm]
>  

Also ergibt sich:

0=-3x+6y²
[mm] \gdw [/mm] 0=3x+6(2x)²
[mm] \gdw 0=3x+24x^{4} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0=3x(1-8x³)
[mm] \gdw [/mm] 0=x(1-8x³)
Also x=0 oder [mm] 8x³=1\Rightarrow\bruch{1}{8}=x³\Rightarrow\wurzel[3]{\bruch{1}{8}}=x\Rightarrow\bruch{1}{\wurzel[3]{8}}=x [/mm]


> so ... daraus folgt: [mm]0=x*(-3+54x^3)[/mm]
>  
> 1. Nullstelle: x1=0
>  1. Nullstelle: x1=0,381.....
>  
>
> ich komme leider nicht auf x=y=0,5. Aber warum?
>  

Jetzt solltest du das Problem erkennen.

>
>
> pisty
>  
>  

Marius

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