Extremwertproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Zylinder mit möglichst großem Rauminhalt entsteht (Fig.5). Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen.
|
Hallo zusammen,
ich vermute ich scheitere an dieser Aufgabe,weil man den Strahlensatz anwenden muss- und ich darin eine totale Niete bin....
Gegeben hab ich ja nur den Radius der Kugel, ich sag mal [mm] r_{k}. [/mm] Also kann ich die Aufgabe ja nur berechnen wenn ich den Radius des Zylinders in irgendein Verhältnis zu [mm] r_{k} [/mm] setze und die "Höhe" der Kugel, welche ja [mm] r_{5} [/mm] entpricht , zur Höhe des Zylinders?! Nur bekomme ich das leider nicht hin.... :(
Ich würde behaupten: [mm] \bruch{r_{k}}{r_{k}} [/mm] = [mm] \bruch{r_{z}}{0,5*h_{z}}
[/mm]
Aber da bin ich mir total unsicher....
Ich hoff ihr könnt mir da helfen!
Liebe Grüße,
Kati
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Sa 19.04.2008 | | Autor: | MacMath |
[mm] \bruch{r_k}{r_k}=1 [/mm] aber ich vermute da soll was anderes hin oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Ich sag ja ich bin ne absolute Niete wenns um den Strahlensatz geht..... ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Sa 19.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Kati,
die Aufgabe ist nicht schwer und du brauchst keinen Strahlensatz.
Schneide die Kugel mitsamt dem Zylinder mal längs nach oben in der Mitte durch und mache dir eine Skizze der Schnittfläche.
Du siehst einen Kreis mit einbeschriebenem Rechteck. Daraus gewinnst du mit dem Satz des Pythagoras die Nebenbedingung.
LG
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kati93 |
erstmal vielen lieben Dank für die schnelle Antwort!!! Im ersten Moment hab ich mich total gefreut, weil ich so erleichtert bin,dass ich keinen Strahlensatz brauche :)
Eine Frage hab ich allerdings noch: Wenn ich mir die Schnittfläche zeichne und den Pythagoras anwende, bekomme ich: [mm] r_{k}²=h² [/mm] + [mm] r_{z}². [/mm] Jetzt kann ich ja nach einem der unbekannten auflösen, hab dann aber in meiner Formel immer noch eine Unbekannte übrig.... Weisst du was ich meine?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Du hast doch in dem rechtwinkligen Dreiecke, welches Du mit Pythagoras "bearbeitest", nur [mm] $\bruch{h}{2}$ [/mm] als senkrechte Kathete.
Forme die Gleichung, welche Du aus dem Satz des Pythagoras erhältst, nach [mm] $r_z^2 [/mm] \ = \ ...$ um und setze in die Volumensformel das Zylinders [mm] $V_{\text{Zyl.}} [/mm] \ = \ [mm] \pi*r_z^2*h$ [/mm] ein.
Damit hast Du eine Zielfunktion mit nur noch einer Unbekannten $h_$ . Für diese Funktion $V(h)_$ nun die Extremwertberechnung (Nullstelle der 1. Ableitung etc.) durchführen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Hallo Loddar,
wie ich dann weitermachen muss ist mir klar,meine Frage ist nur, ob das so geht. Weil wenn ich eine Zielfunktion mit der Unbekannten h habe, beantwortet,dass ja eigentlich nicht die Frage wie die Höhe zu wählen ist,oder? Weisst du was mein Problem ist? Ich hab halt gedacht,dass ich eine Zielfunktion brauche, in der nur der gegebene Radius der Kugel vorkommt.
PS: Mit dem h/2 hast du natürlich recht, so stehts auch bei mir aufm Papier bzw anders, denn ich habe das Rechteck komplett einbezogen, dh meine Hypothenuse ist [mm] 2*r_{k}. [/mm] Aber das geht doch auch,oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Ah, hat sich glaub ich erledigt :)
wenn ich den Extremwert suche, bekomme ich ja automatisch einen Wert für h in Abhängigkeit von r. Und den kann ich dann ja in das [mm] r_{z}²=.... [/mm] einsetzen und dann bekomm ich auch den in Abhängigkeit von r.
Hoff das stimmt so..... :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kati!
Mit der oben erwähnten Extremwertberechnung ermittelst Du ja gerade dieses $h_$ . Der Kugelradius [mm] $r_K$ [/mm] ist als bekannt und konstant anzunehmen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kati93 |
super, dann bekommi ich die Aufgaben mit dem Prisma jetzt bestimmt auch alleine hin!
Eine Frage hätte ich allerdings noch kurz: In dem Buch gibts noch so ne Extremwertaufgabe, die ich dann auch ähnlich lösen kann, nur hab ich da ne Verständnisfrage. Die Aufgabe: " Die Tragfähigkeit von Holzbalken ist proportional zur Balkenbreite und zum Quadrat der Balkenhöhe h. Aus einem zylindrischen Baumstamm mit dem Radius r soll ein Balken maximaler Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Wie sind Breite und Höhe zu wählen.
Im Prinzip ist das ja ähnlich. Nur hab ich dieses Mal, wenn ich das richtig verstanden habe, nicht die Volumenfunktion als Zielfunktion, sondern die der Tragfähigkeit. Nun weiss ich aber nicht, ob ich die richtig deute. Ist die dann T= b+h² oder T= b*h²? Mir ist das nicht so ganz klar, weil ich nicht weiss wie ich die Propotionalität in dem Funktionsterm ausdrücken soll....
Nochmal aber vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe und entschuldigung für meine vielen Fragen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Es gilt: $T(b,h) \ = \ [mm] c*b*h^2$ [/mm] , mit $c_$ als Konstante (wenn es Dich interessiert: dieser Wert beträgt $c \ = \ [mm] \bruch{1}{6}$ [/mm] ).
Für Deine Aufgabe kannst Du aber auch einfach mit $f(b,h) \ = \ [mm] b*h^2$ [/mm] rechnen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Super, vielen lieben Dank! Dann mach ich mich jetzt mal ans Rechnen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Sa 19.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Loddar,
nur mal so aus Interesse:
Welche Bedeutung und welche Einheit hat dort c bzw. die Tragfähigkeit T?
Die Belastbarkeit eines horizontal aufgehängten Balkens dürfte ja wahrscheinlich noch von seiner Länge und dem Abstand des Belastungsgewichtes von den Stützpositionen abhängen?!
LG
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Mo 21.04.2008 | | Autor: | koepper |
.
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Biegemoment