Extremwertproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung [mm] y=2-0,5x^2 [/mm] ; [mm] 0\lex\le2
[/mm]
a) Wie groß ist der kleinste Abstand den ein Punkt P des Parabelbogens vom Ursprung haben kann?
b) Ein zwischen Parabel und Achsen einbeschriebenes Rechteck rotiere um die x-Achse. Für welchen x-Wert von Punkt Q wird das Volumen des Kreiszylinders maximal? (Q liegt auf dem Parabelbogen und ist ein Eckpunkt des Rechtecks) |
Hallo MatheForum!
Hier wieder eine Extremwertproblem-Aufgabe, mit der ich nicht zurecht komme.
Zunächst zu Teilaufgabe b):
Q [mm] (x|2-0,5x^2) [/mm] da auf Parabelbogen
[mm] V=\pi*r^2*h=\pi*x^2*h
[/mm]
[mm] h=2-a,5x^2
[/mm]
Dann wäre die Zielfunktion also: [mm] V(x)=\pi*x^2*(2-0,5x^2) [/mm] = [mm] \pi*(2x^2-a,5x^4)
[/mm]
Ein Maximum liegt dann vor, wenn V'(x)=0 sowie V''(x)<0
[mm] V'(x)=4x-2x^3
[/mm]
[mm] (\pi [/mm] lass ich weg, da mich ja nur x interessiert)
[mm] V''(x)=-6x^2+4
[/mm]
V'(x)=0
4 [mm] x-2x^3=0
[/mm]
[mm] 2x(2-x^2)=0 x_1=0
[/mm]
[mm] x^2= [/mm] 2 [mm] x_2=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] V''(x_1)>0
[/mm]
[mm] V''(x_2)=-8<0
[/mm]
Antwort: Für den x-Wert [mm] \wurzel{2} [/mm] wird das Zylindervolumen maximal.
Auf dem Lösungsblatt steht aber etwas anderes. Da ist [mm] x\approx [/mm] 0,894
Wo liegt also mein Fehler?
Jetzt zu Teilaufgabe a)
Auch hier unterscheidet sich meine Lösung von der "richtigen".
Meine Überlegungen:
Ursprung U (0|0)
Punkt P [mm] (x|0,5x^2)
[/mm]
[mm] \overline{UP}^2=x^2*(2-0,5x^2)= 4x^2-2x^4+0,25x^6
[/mm]
[mm] \overline{UP}=\wurzel{4x^2-2x^4+0,25x^6}
[/mm]
[mm] f(x)=4x^2-2x^4+0,25x^6
[/mm]
[mm] f'(x)=1,5x^5-8x^3+8x
[/mm]
[mm] f''(x)=7,5x^4-24x^2+8
[/mm]
f'(x)=0
Nullstellen_Ermittlung mit Taschenrechner:
[mm] x_1=-2, x_2=2, x_3\approx-1,15, x_4\approx1,15 [/mm] und [mm] x_5=0
[/mm]
Da [mm] D=0\lex\le2 [/mm] kommen 2, 1,15 und 0 in Frage.
f''(2)>0 und f''(0)>0, dagegen f''(1,15)<0
Problem: f(2)=f(0)=0
Daher kann meine Rechnung nicht stimmen.
Lösungsblatt: [mm] x=\wurzel{2}
[/mm]
Weiß jedoch nicht, wie ich da drauf kommen soll.
Kann mir jemand helfen?
LG Eli
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a)
P(x|2-0,5x²) sollte das sein, oder?
Außerdem hast du U(0|0).
Und den Abstand zwischen 2 Punkten kannst du ja mit dem Pythagoras so berechnen:
[mm] d(U,P)=\wurzel{(x-0)²+(2-0,5x²-0)²}=...
[/mm]
b)
Hier hast du r und h vertauscht! :)
r=2-0,5x²
h=x
Versuch es damit nochmal!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für deine Hilfe!
Bei a) habe ich, wie's mir jetzt auffällt, beim Phytagoras nicht addiert, sondern multipliziert. Daher wahrscheinlich der Fehler!
Ich glaube aber nicht, dass ich bei b) r und h verwechselt habe. Ich habe nämlich eine Skizze vorliegen und hier entspricht r garantiert x. 
Wenn ich die Skizze um 90° drehe, hast du aber recht.
Vielleicht hat sich der Lehrer ja vertan!
LG Eli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Sa 07.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Elisabeth17,
> Ich glaube aber nicht, dass ich bei b) r und h verwechselt
> habe. Ich habe nämlich eine Skizze vorliegen und hier
> entspricht r garantiert x.
Das Rechteck soll ja um die x-Achse rotieren. Man erhält also einen liegenden Zylinder und dessen Höhe ist dann x (und sein Radius f(x)).
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
| |
|
Okay. Ich nehme alles zurück.
Ich kann nicht mehr richtig lesen.
danke!
LG Eli
|
|
|
|
