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| Aufgabe | Die affine Ebene [mm] $\{(x,y,z) \in \IR^3: 2y + 4z=6 \}$ [/mm] schneidet den Kegel [mm] $\{(x,y,z) \in \IR^3: z^2 = 2x^2 + y^2 \}$ [/mm] längs einer Kurve $K$. Welcher Punkt auf $K$ hat den geringsten Abstand zum Nullpunkt und welcher den größten? Verwenden Sie zur Berechnung der Extremwerte die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.
(Hinweis zur Reduzierung des Rechenaufwandes: Der Abstand eines Punktes $(x, y, z)$ zum Ursprung wird genau dann minimal/maximal, wenn die Funktion $f(x, y, z) = [mm] x^2 +y^2 +z^2$ [/mm] minimal/maximal wird.) |
Gegeben ist die zu minimierende/maximierende Funktion [mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ [/mm] und die Nebenbedingung $g(x) = [mm] \vektor{2y+4z-6 \\ 2x^2+y^2-z^2}$
[/mm]
Nun hab ich die Lagrangefunktion aufgestellt:
[mm] $L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) [/mm] = [mm] x^2+y^2+z^2+\lambda_1 (2y+4z-6)+\lambda_2 (2x^2+y^2-z^2)$
[/mm]
Und daraus anschließend die notwendige Bedingung für ein Minimum/Maximum aufgestellt:
[mm] \begin{matrix}
2x + 4 \lambda_2 x & = 0 \\
2y + 2 \lambda_1 + 2 \lambda_2 y & = 0 \\
2z + 4 \lambda_1 - 2 \lambda_2 z & = 0 \\
2y + 4z & = 0 \\
2x^2 + y^2 - z^2 & = 0
\end{matrix}
[/mm]
Nun kann man eine Fallunterscheidung machen. Die erste Möglichkeit ist $x [mm] \not= [/mm] 0$. Da bin ich allerdings irgendwann auf $x = [mm] \pm [/mm] 3 i [mm] \wurzel{\bruch{5}{2}}$ [/mm] gekommen, und das kann nicht sein, weil $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Also muss $x = 0$ sein.
Man erhält hier nun 2 Punkte: $(0,1,1)$ mit [mm] $\lambda_2 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm] und $(0,-3,3)$ mit [mm] $\lambda_2 [/mm] = -3$.
Wenn man sich das mal plottet, dann sieht man, dass der erste Punkt ein Minimum und der zweite Punkt ein Maximum ist.
Jetzt geht es also mit der hinreichenden Bedingung weiter. Es muss die Hesse-Matrix aufgestellt werden. Diese sieht dann wie folgt aus:
$H =$
[mm] \begin{pmatrix}
2 + 4 \lambda_2 & 0 & 0 \\
0 & 2 + 2 \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & 2 - 2 \lambda_2
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun muss ich zeigen, dass diese positiv oder negativ definit ist. Das haben wir immer mit der quadratischen Form gemacht.
Das heißt [mm] $h^T [/mm] H h$ (?) muss größer oder kleiner null sein, wobei h ein beliebiger Vektor gleicher Dimension ist (hier 3).
Auf jeden Fall ergibt sich folgendes:
$ (0,1,1) $ :
[mm] $\bruch{2}{3} h_1^2 [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} h_2^2 [/mm] + [mm] \bruch{8}{3} h_3^2$
[/mm]
Das ist ganz klar größer als Null für jeden Vektor h (mit Komponenten [mm] $(h_1,h_2,h_3)$), [/mm] der nicht Nullvektor ist. Demnach ist hier die Matrix positiv definit, also haben wir ein Minimum. Das sollte stimmen.
Nun aber zu meinem Problem
$ (0,-3,3) $ :
$-10 [mm] h_1^2 [/mm] - 4 [mm] h_2^2 [/mm] + 8 [mm] h_3^2$
[/mm]
Das ist weder immer größer noch kleiner als Null. Trotzdem liegt hier in Minimum vor!
Wie komme ich darauf? Muss ich da noch irgendwas mit der Nebenbedingung machen?
MfG Sunny
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> Die affine Ebene [mm]\{(x,y,z) \in \IR^3: 2y + 4z=6 \}[/mm]
> schneidet den Kegel [mm]\{(x,y,z) \in \IR^3: z^2 = 2x^2 + y^2 \}[/mm]
> längs einer Kurve [mm]K[/mm]. Welcher Punkt auf [mm]K[/mm] hat den geringsten
> Abstand zum Nullpunkt und welcher den größten? Verwenden
> Sie zur Berechnung der Extremwerte die Methode der
> Lagrangeschen Multiplikatoren.
>
> (Hinweis zur Reduzierung des Rechenaufwandes: Der Abstand
> eines Punktes [mm](x, y, z)[/mm] zum Ursprung wird genau dann
> minimal/maximal, wenn die Funktion [mm]f(x, y, z) = x^2 +y^2 +z^2[/mm]
> minimal/maximal wird.)
> Gegeben ist die zu minimierende/maximierende Funktion
> [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/mm] und die Nebenbedingung [mm]g(x) = \vektor{2y+4z-6 \\ 2x^2+y^2-z^2}[/mm]
>
> Nun hab ich die Lagrangefunktion aufgestellt:
>
> [mm]L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = x^2+y^2+z^2+\lambda_1 (2y+4z-6)+\lambda_2 (2x^2+y^2-z^2)[/mm]
>
> Und daraus anschließend die notwendige Bedingung für ein
> Minimum/Maximum aufgestellt:
>
> [mm]\begin{matrix}
2x + 4 \lambda_2 x & = 0 \\
2y + 2 \lambda_1 + 2 \lambda_2 y & = 0 \\
2z + 4 \lambda_1 - 2 \lambda_2 z & = 0 \\
2y + 4z & = 0 \\
2x^2 + y^2 - z^2 & = 0
\end{matrix}[/mm]
>
> Nun kann man eine Fallunterscheidung machen. Die erste
> Möglichkeit ist [mm]x \not= 0[/mm]. Da bin ich allerdings irgendwann
> auf [mm]x = \pm 3 i \wurzel{\bruch{5}{2}}[/mm] gekommen, und das
> kann nicht sein, weil [mm]x \in \IR[/mm].
>
> Also muss [mm]x = 0[/mm] sein.
>
> Man erhält hier nun 2 Punkte: [mm](0,1,1)[/mm] mit [mm]\lambda_2 = - \bruch{1}{3}[/mm]
> und [mm](0,-3,3)[/mm] mit [mm]\lambda_2 = -3[/mm].
>
> Wenn man sich das mal plottet, dann sieht man, dass der
> erste Punkt ein Minimum und der zweite Punkt ein Maximum
> ist.
>
> Jetzt geht es also mit der hinreichenden Bedingung weiter.
> Es muss die Hesse-Matrix aufgestellt werden.
Hallo,
eben nicht!
Die Hessematrix ist nicht für den Lagrangeansatz!
Hier muß man sich anders helfen.
Die Kurve K ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe, eine Ellipse. Also ist das Schnittgebilde abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
Man weiß, daß stetige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Minimum und Maximum annehmen.
Also muß einer der Punkte das Minimum sein und einer das Maximum.
Nun schaust Du Dir die zugehörigen Funktionswerte an und entscheidest Dich, was was ist.
Damit bist Du dann fertig.
Gruß v. Angela
> dann wie folgt aus:
>
> [mm]H =[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
2 + 4 \lambda_2 & 0 & 0 \\
0 & 2 + 2 \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & 2 - 2 \lambda_2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun muss ich zeigen, dass diese positiv oder negativ
> definit ist. Das haben wir immer mit der quadratischen Form
> gemacht.
>
> Das heißt [mm]h^T H h[/mm] (?) muss größer oder kleiner null sein,
> wobei h ein beliebiger Vektor gleicher Dimension ist (hier
> 3).
>
>
> Auf jeden Fall ergibt sich folgendes:
>
> [mm](0,1,1)[/mm] :
>
> [mm]\bruch{2}{3} h_1^2 + \bruch{4}{3} h_2^2 + \bruch{8}{3} h_3^2[/mm]
>
> Das ist ganz klar größer als Null für jeden Vektor h (mit
> Komponenten [mm](h_1,h_2,h_3)[/mm]), der nicht Nullvektor ist.
> Demnach ist hier die Matrix positiv definit, also haben wir
> ein Minimum. Das sollte stimmen.
>
> Nun aber zu meinem Problem
>
> [mm](0,-3,3)[/mm] :
>
> [mm]-10 h_1^2 - 4 h_2^2 + 8 h_3^2[/mm]
>
> Das ist weder immer größer noch kleiner als Null. Trotzdem
> liegt hier in Minimum vor!
>
> Wie komme ich darauf? Muss ich da noch irgendwas mit der
> Nebenbedingung machen?
>
>
>
> MfG Sunny
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Na eben doch. (Es handelt sich im übrigen um die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion bei Betrachtung von x,y und z) Wir haben einen Satz in der Vorlesung gehabt, der uns sagt, dass die kritischen Punkte der Lagrangefunktion die gesuchten sind, und man ein Maximum/Minimum auch direkt an der Lagrangefunktion sehen kann.
Mein Problem liegt auch nicht speziell in dieser Aufgabe sondern in der Frage, wo ich jetzt noch ein Kriterium herbekomme. Ich hab nochmal nachgewühlt, und noch gelesen, dass aus irgendeinem Grund folgendes gelten muss:
$-10 [mm] h_1^2 \underbrace{- 4 h_2^2 + 8 h_3^2}_{=0}$
[/mm]
Und ich würd nun halt gern wissen, woher ich das weiß.
Und zu der Sache mit der Kompaktheit... Das war mir schon klar. Aber was mache ich in einem Fall, wenn das ganze mal weder abgeschlossen noch beschränkt ist???
MfG Sunny
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> Na eben doch. (Es handelt sich im übrigen um die
> Hesse-Matrix der Lagrangefunktion bei Betrachtung von x,y
> und z)
Hallo,
ich hab' das ansatzweise schon kapiert, was Du gemacht hast.
Wenn die Hessematrix der Lagrangefunktion pos. definit ist, hat man ein Minimum, Max. analog.
Aber das ist eben eine hinreichende Bedingung.
Aus der Indefinitheit der Hessematrix der Lagrangefunktion folgt eben nicht, daß es kein Extremwert ist, und man muß sich was anderes ausdenken.
(Hauptsächlich die WiWis arbeiten mitunter mit der geränderten Hessematrix, ob und wie das bei zwei NB funktioniert, weiß ich grade nicht, wobei man sich natürlich bei Deiner Aufgabe leicht aus der Affäre ziehen könnte, indem man K am Anfang berechnet. Dann hätte man nur noch eine NB.)
> Wir haben einen Satz in der Vorlesung gehabt, der
> uns sagt, dass die kritischen Punkte der Lagrangefunktion
> die gesuchten sind,
Das ist richtig.
Die Punkte, die Du mit der Lösung des Gleichungssystems erhalten hast, sind die kritischen Punkte, die Extremwertkandidaten.
> Und zu der Sache mit der Kompaktheit... Das war mir schon
> klar. Aber was mache ich in einem Fall, wenn das ganze mal
> weder abgeschlossen noch beschränkt ist???
Dann hast Du Pech gehabt und wirst Dir irgendwas Nettes einfallen lassen müssen, um der Sache irgendwie auf den Grund zu gehen.
Ein Rezept dafür gibt's wohl nicht, denn man kann es ja mit sehr vielgestaltigen Gebilden zu tun haben.
Aber immerhin weißt Du dann ja schon aufgrund Deiner Lagrange-Untersuchung, die Umgebungen welcher Punkte zu untersuchen sind.
Wenn man nur noch 17 statt unendlich viele Punkte prüfen muß, ist das eine nicht zu unterschätzende Erleichterung.
>
> und man ein Maximum/Minimum auch direkt
> an der Lagrangefunktion sehen kann.
>
> Mein Problem liegt auch nicht speziell in dieser Aufgabe
> sondern in der Frage, wo ich jetzt noch ein Kriterium
> herbekomme. Ich hab nochmal nachgewühlt, und noch gelesen,
> dass aus irgendeinem Grund folgendes gelten muss:
>
> [mm]-10 h_1^2 \underbrace{- 4 h_2^2 + 8 h_3^2}_{=0}[/mm]
>
> Und ich würd nun halt gern wissen, woher ich das weiß.
Wie gesagt: die Hessematrix hat im Zusammenhang mit Lagrange nichts zu suchen (Wenn, dann die geränderte, und hier geht's dann nicht um die Definitheit, sondern um die Determinante.).
Wie gesagt, liefert die Hessematrix der Langrangefunktion lediglich eine hinreichende Bedingung.
Ich sage Dir aber gerne, wie man die Definitheit irgendeiner Matrix M bestimmen kann.
Ist x^tMx>0 für alle [mm] x\not=0 [/mm] ist sie pos. definit,
Ist x^tMx<0 für alle [mm] x\not=0 [/mm] ist sieneg. definit,
Da die Hessematrix H symmetrisch ist, kann man sich die Sache etwas erleichtern:
Sind allle Eigenwerte von H positiv, so ist H positiv definit,
sind allle Eigenwerte von H negativ, so ist H negativ definit,
Die bietet sich natürlich insbesondere an, wenn man Diagonalmatrizen hat: man braucht nur die Diagonalelemente anzuschauen.
Oft ist das Hauptminorenkriterium praktischer, es wird auch Hurwitz-Kriterium genannt:
Sind alle Hauptminoren v. H positiv, so ist H positiv definit.
Sind die geraden Hauptminoren positiv, die ungeraden negativ, so ist die Matrix negativ definit.
(Andere Formulierung: sind alle Hauptminoren v. -H positiv, so ist H negativ definit.)
Falls Du nicht weißt, was Hauptminoren sind: die Determinanten der n linken oberen Untermatrizen einer nxn-Matrix.
Gruß v. Angela
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Erstmal danke, dass du dir soviel Mühe gibst...
Ich kann nur dazu sagen, dass wir das bis jetzt immer so gemacht haben, und es auch so in der Vorlesung gelernt und in den Übungen ausgeführt haben.
Meist sind die Aufgaben ja auch so lösbar, wie wir das immer gemacht haben, bloß ab und zu gibt es mit dieser Bedingung halt Probleme... :-(
Ich werd mal noch weiter forschen, ob ich in meiner Richtung noch eine Lösung finde...
MfG Sunny
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Also ich hatte ja jetzt mündl. Prüfung und zu deren Vorbereitung hat ein anderer Student die Lösung gefunden:
Korollar:
Sei $f,g:G [mm] \to \IR$ [/mm] aus [mm] $C^2$ [/mm] (2-mal stetig diffbar), [mm] $j=1,\ldots,m [/mm] < n$. Gelte:
(1) [mm] $\nabla f(x_0) [/mm] + [mm] \summe \lambda_j \nabla g_j(x_0) [/mm] = 0$
(2) [mm] $\nabla^2 f(x_0) [/mm] + [mm] \summe \lambda_j \nabla^2 g_j(x_0)$ [/mm] ist pos definit auf dem Tangentialraum [mm] Kern($g'(x_0)$)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_0$ [/mm] ist lokales Minimum unter Nebenbedingung [mm] $g(x_0)=0$.
[/mm]
Und wenn wir das richtig verstanden haben, muss das mit dem Tangentialraum bedeuten, dass die Vektoren der quadratischen Form [mm] ($h^T [/mm] A h$) senkrecht auf [mm] $g'(x_0)$ [/mm] stehen müssen, also $(h | [mm] g_i'(x_0)) [/mm] \ [mm] \forall [/mm] i$.
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