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| Aufgabe | Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypothenuse 6 cm erzeugt bei Rotation um eine Kathete (um die Hypothenuse) den Rotationskörper größten Volumens?
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Die Aufgabe mit der Kathete, hab ich ,aber die mit der Hypohenuse krieg ich einfach nicht hin!!(entschuldigung, mein pc kann kein pi-zeichen)
des mir der Kathete hab ich so gelöst: V(kegel)=1/3 [mm] \pi [/mm] r²h
r²=36-x² durch pythagoras
dann eingesetzt:V(x)=12 [mm] \pi [/mm] x-1/3 [mm] \pi [/mm] x³
[mm] V´(x)=12\pi [/mm] - [mm] \pi [/mm] x²
[mm] x=\wurzel{12}
[/mm]
dann ist des maximale Volumen ca 87,06 cm³
Jetzt soll sich alles um die 6cm lange Hypothenuse drehen:
bis jetzt hab ich:
V(kegel)=1/3 [mm] \pi [/mm] r²h daraus folgt: [mm] V(x)=\pi [/mm] r²
h=6cm
durch phytagoras: pi [mm] (\wurzel{x²-9}=V(x)
[/mm]
[mm] V(x)=x²\pi- [/mm] 9 [mm] \pi
[/mm]
[mm] V´(x)=2\pi [/mm] x
ab da stock ich, denn wenn ich jetzt V´gleich null setzen würde, würde 0 rauskommen, was aber doch gar nicht sein kann
aber es git halt noch 2 wege: entweder, ich geh davon aus, dass ein gleichschenkliges Dreieck(2 Kreiszylinder aufeinander und da die 2 ausenkanten+höhe)
cos 45°=1/6=> [mm] 3*\wurzel{2}
[/mm]
18=9+r²
r=3
[mm] V(kreiskegel1)=\pi*9 \approx [/mm] 28,27
oder , andere Möglichkeit zu sagen, es gibt kein maximales Volumen, da die Seitenkanten unendlich lang sein können, und somit auch das Volumen unendlich wäre
bitte helft mir!! ich schreib in 2 tagen über so was ne arbeit Bitte!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Fr 08.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Kegel, der Entsteht hat ja auf jeden Fall das Volumen [mm] V=\bruch{1}{3}*G_{Kegel}*h_{kegel}, [/mm] das ist ja die allgemeine Volumenformel für einen Kegel.
Wenn das Dreieck jetzt um die Kathete rotiert, ist die eine Kathete [mm] k_{1} [/mm] die Höhe, die andere [mm] k_{2} [/mm] der Radius der Kreisgrundfläche.
Also: [mm] V=\bruch{1}{3}*\pi*k_{1}^{2}*k_{2}
[/mm]
Da aber gilt: [mm] k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=36 \Rightarrow k_{1}^{2}=36-k_{2}^{2}
[/mm]
Also: [mm] V=\bruch{1}{3}*\pi*(36-k_{2}^{2})*k_{2}
[/mm]
Und hiervon suchst du jetzt das Maximum.
Bei der Rotation um die Hypothenuse entstehen 2 Kegel mit dem gleichen Radius der Grundfläche. Dieser ist aber unbekannt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier brauchst du dann den Höhensatz des Euklid, also
r²=p*q, mit p+q=6 ergibt sich. r²=p(6-p)
Also ergibt sich:
[mm] V_{oben}=\bruch{1}{3}*\pi*\overbrace{p(6-p)}^{Radius²}*\overbrace{(6-p)}^{h}
[/mm]
Und [mm] V_{unten}=\bruch{1}{3}*\pi*\overbrace{p(6-p)}^{Radius²}*\overbrace{p}^{h}
[/mm]
Also [mm] V_{doppelkegel}=\bruch{1}{3}*(p(6-p))(6-p)+\bruch{1}{3}*(p(6-p))p
[/mm]
Und hiervon suchst du das maximum.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | | Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypothenuse 6 cm erzeugt bei Rotation um eine Kathete (um die Hypothenuse) den Rotationskörper größten Volumens? |
kann man des auch einfacher schreiben , weil den Höhensatz des Euklid kennen wir eigentlich noch gar nicht, geht des also auch ohne den?
Dankeschön :)
->Hallo (zitiert)
Der Kegel, der Entsteht hat ja auf jeden Fall das Volumen $ [mm] V=\bruch{1}{3}\cdot{}G_{Kegel}\cdot{}h_{kegel}, [/mm] $ das ist ja die allgemeine Volumenformel für einen Kegel.
Wenn das Dreieck jetzt um die Kathete rotiert, ist die eine Kathete $ [mm] k_{1} [/mm] $ die Höhe, die andere $ [mm] k_{2} [/mm] $ der Radius der Kreisgrundfläche.
Also: $ [mm] V=\bruch{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}k_{1}^{2}\cdot{}k_{2} [/mm] $
Da aber gilt: $ [mm] k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=36 \Rightarrow k_{1}^{2}=36-k_{2}^{2} [/mm] $
Also: $ [mm] V=\bruch{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}(36-k_{2}^{2})\cdot{}k_{2} [/mm] $
Und hiervon suchst du jetzt das Maximum.
Bei der Rotation um die Hypothenuse entstehen 2 Kegel mit dem gleichen Radius der Grundfläche. Dieser ist aber unbekannt.
[Dateianhang]
Hier brauchst du dann den Höhensatz des Euklid, also
r²=p*q, mit p+q=6 ergibt sich. r²=p(6-p)
Also ergibt sich:
$ [mm] V_{oben}=\bruch{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}\overbrace{p(6-p)}^{Radius²}\cdot{}\overbrace{(6-p)}^{h} [/mm] $
Und $ [mm] V_{unten}=\bruch{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}\overbrace{p(6-p)}^{Radius²}\cdot{}\overbrace{p}^{h} [/mm] $
Also $ [mm] V_{doppelkegel}=\bruch{1}{3}\cdot{}(p(6-p))(6-p)+\bruch{1}{3}\cdot{}(p(6-p))p [/mm] $
Und hiervon suchst du das maximum.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 08.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das geht denke ich auch, aber mit mehrfacher Anwendung des Pythagoras. In der Oberstufe sollte der Höhensatz aber zum Standardreprtioire gehören,
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
[mm] p²+r²=k_{1}^{2}
[/mm]
Und [mm] q²+r²=k_{2}^{2}
[/mm]
Auch hier: p+q=6 und [mm] k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=36.
[/mm]
Damit solltest du dann auch irgendwie zum Ziel kommen.
Marius
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