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| Aufgabe | | Ein Spaziergänger sieht im FLuß einen Ertrinkenden und möchte nun schnellstmöglich diesen retten.Der Ertrinkende befindet sich 80m (entlang des Ufers) und 20m (in die Tiefe) im Fluß.Der Spaziergänger läuft am Ufer 5x so schnell wie er im Wasser schwimmt.Bis zu welchem Punkt sollte er rennen,um möglichst schnell beim Ertrinkenden zu sein? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Irgendwo in meiner Lösung muss ein Fehler stecken:
Der Gesamtweg setzt sich aus zwei Teilwegestücken zusammen:
1.Standpunkt bis zu dem Punkt,an dem ich ins Wasser springe f1(x) und 2.im Wasser zurückgelegter Weg f2(x).
f1(x)=(80-x)*1/5 =16-1/5x
[mm] f2(x)Wurzel(80-X)^2+20^2=(6400-160X+x^2+400)^1/2
[/mm]
[mm] f´2(x)=1/2*(6800-160x+x^2)^-1/2
[/mm]
f´1(x)+f´2(x) soll nun 0 werden (da Minimum)
Wenn ich beide Funktionen nun addiere und =0 setze,komme ich auf -33,028 und 206,94
Da beide Lösungen augenscheinlich falsch sind,wäre es super,wenn mir jemand sagen könnte,wo mein Fehler steckt?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Rene |
Hallo!
Meiner Meinung nach liegt dein Fehler schon im Ansatz. Ich kann da ehrlich gesagt nicht identifizieren, was du zu minimieren versuchst!
Ganz klar geht aus der Aufgabe hervor, das die Zeit t zu minimieren ist.
Angenommen wir haben eine geradlinig gleichmäßige Bewegung (v=const) gilt für die 2 Abschnitte:
[mm]s_1(t)=5\cdot v\cdot t[/mm] und [mm]s_2(t)=v\cdot t[/mm]
Bis zum Reinspringen am Punkt X vergeht die Zeit [mm]t_1[/mm] im 1. Abschnitt. Also gilt
[mm]s_1(t_1)=X=5\cdot v\cdot t_1 \Rightarrow t_1(X)=\frac{X}{5\cdot v}[/mm]
Mit dem Pythagoras bekommst du noch die Reststrecke, die im Abschnitt 2 zu absolvieren ist und [mm]t_2[/mm] Zeiteinheiten dauert. Also
[mm]s_2(t_2)=\sqrt{(80-X)^2+20^2}=v\cdot t_2 \Rightarrow t_2(X)=\frac{\sqrt{(80-X)^2+20^2}}{v}[/mm]
Für die gesamte Strecke benötigst du dann
[mm]t_g(X)=t_1(X)+t_2(X)[/mm]
Nun kannst du [mm]t_g(X)[/mm] minimieren. Als Lösung habe ich rund 76 berechnet.
MFG
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Vielen Dank soweit...Habe meinen Denkfehler gefunden,da ich aus versehen die STrecke minimiert hatte...!
Noch eine kleine Frage:
Ich habe immer probleme mit ABleitungen von Wurzeln unter denen ein Term steht.Hier zB:Wurzel [mm] (80-x)^2+20^2
[/mm]
Multipliziere ich unter der Wurzel zuerst [mm] aus'Hier:6400-160x+x^2+400.Und [/mm] schreibe dann das Wurzelzeichen als ^1/2 und leite dann ab oder wie?
Danke nochmal bis hierin!
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