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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 16.10.2007 | | Autor: | pucki |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a) Welcher oben offene Zylinder hat bei gegebener Oberfläche das größte Volumen?
Also ich habschon einen Ansatz:
Extremalbedingung -> V= [mm] \pi*r²h
[/mm]
Nebenbedingung -> O= [mm] \pi*r²+2\pi*r*h
[/mm]
daraus folgt h= (O- [mm] \pi*r²)/(2\pi*r*)
[/mm]
dann setz ich h in die Extremalbedingung ein -> V= [mm] \pi*r²* [/mm] (O- [mm] \pi*r²)/(2\pi*r*) [/mm] = [r(O- [mm] \pi*r²)]/2
[/mm]
nun weiß ich jetzt auch nciht mehr weiter =(
könnte mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 16.10.2007 | | Autor: | pucki |
ja, aber genau das is mein problem
ich weiß nicht wie ich das ableiten soll :(
ich hab [mm] [(rO-\pi*r³)/2] [/mm] *2 genommen, damit ich den bruch loswerde, aber ich weiß nicht, ob das richtig ist.
dann hätte ich [mm] V=-2\pi*r³+2Or [/mm] -> [mm] V`=-6*\pi*r²+2*O
[/mm]
Wie krieg ich denn das O da weg? Denn so kann ich doch gar nicht die notwendigen Bedingungen für Extrema ausrechnen?
Mfg
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Guten Tag
Also die Gleichung einfach mal 2 nehmen ist nicht nötig.
Du hast [mm] V=\bruch{r*O-\pi*r^3}{2}= \bruch{r*O}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\pi*r^3}{2}
[/mm]
Lass dich von dem O nicht irritieren dass kannst du wie ein konstantealso wie ein zahl) behandeln.
Du bekommst dann als Ableitung V'= [mm] \bruch{O}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3*\pi*r^2}{2}
[/mm]
Die Ableitung erfolgt mit der Potenzregel für ableitungen.
Das fasst du zusammen und rechnest die Nullstellen aus (den Nenner des ZUsammengefassten Bruches Null setzten und nach r auflösen)
Du bekommst dann Raus r= [mm] \pm \wurzel{\bruch{O}{3*\pi}}
[/mm]
Eine lösung entfällt(warum??)
Dann kannst du das für r in die Nebenbedingung einsetzten(nicht von der Wurzel schrecken lassen) und nach h umstellen. Wenn du das Gemacht hast vergleich mal dein ergebnis für r mit dem ergebnis für h. Was du Rausbekommst ist das Verhältnis vom Radius zur Höhe deines Offenen Zylinders. Damit ist der Zylinder beschrieben. Es kommt keine Zahl raus, dazu müsste der Oberflächeninhalt angegeben sein.
Ich hoffe ich konnte helfen
Einen schönen Tach noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Di 16.10.2007 | | Autor: | pucki |
ja vielen dank, aber man kann doch auch noch am ende kürzen, wenn man r in h einsetzt:
[mm] h=[O-\pi(\wurzel(O/3\pi)*h]/2\pi(O/3\pi)
[/mm]
kann ich [mm] (O/3\pi [/mm] nicht weggkürzen?
bei b) komm ich auch nciht so gut weiter =(
Welcher unten offene Kegel hat bei gegebener Mantelfläche das größte Volumen?
Extremalbedingung
[mm] V=(1/3)*\pi*h*r²
[/mm]
Nebenbedingung
[mm] M=\pi*r*s [/mm]
und ich weiß nur das [mm] h=\wurzel(s²-r²) [/mm] ist
eingesetzt, kommt dann V= [mm] (1/3)*\pi*r²*[\wurzel(s²-r²)]
[/mm]
aber hier habe ich immernoch zwei verschiedene Variablen.
Wie kann ich denn eins wegmachen?
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo pucki und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ja vielen dank, aber man kann doch auch noch am ende
> kürzen, wenn man r in h einsetzt:
>
> [mm]h=[O-\pi(\wurzel(O/3\pi)*h]/2\pi(O/3\pi)[/mm]
Nutzt doch mal den Formeleditor, dann wird es übersichtlicher
>
> kann ich [mm](O/3\pi[/mm] nicht weggkürzen?
>
>
Es gilt: [mm] h=\bruch{O-\pi\cdot{}r²}{2\pi\cdot{}r}
[/mm]
Und wenn du hier [mm] r=\wurzel{\bruch{O}{3\cdot{}\pi}} [/mm] einsetzt, egibt sich:
[mm] h=\bruch{O-\pi\cdot{}\bruch{O}{3\cdot{}\pi}}{2\pi\cdot{}\wurzel{\bruch{O}{3\cdot{}\pi}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{O-\bruch{O}{3}}{\wurzel{\bruch{4\pi²O}{3\cdot{}\pi}}}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{2}{3}O}{\wurzel{\bruch{4}{3}\pi*O}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{(\bruch{2}{3}O)²}}{\wurzel{\bruch{4}{3}\pi*O}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{\bruch{4}{9}O²}{\bruch{4}{3}\pi*O}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{O}{3\pi}}
[/mm]
> bei b) komm ich auch nciht so gut weiter =(
>
> Welcher unten offene Kegel hat bei gegebener Mantelfläche
> das größte Volumen?
>
> Extremalbedingung
>
> [mm]V=(1/3)*\pi*h*r²[/mm]
>
> Nebenbedingung
>
> [mm]M=\pi*r*s[/mm]
>
> und ich weiß nur das [mm]h=\wurzel(s²-r²)[/mm] ist
>
> eingesetzt, kommt dann V= [mm](1/3)*\pi*r²*[\wurzel(s²-r²)][/mm]
>
> aber hier habe ich immernoch zwei verschiedene Variablen.
> Wie kann ich denn eins wegmachen?
>
> Mfg
Du hast ja:
[mm] V=\bruch{\pi*r²*h}{3}
[/mm]
Und auch richtigerweise:
[mm] M=\pi*r*s
[/mm]
Jetzt weisst du, dass r²+h²=s²
[mm] \gdw s=\wurzel{r²+h²}
[/mm]
Also gilt für die Mantelfläche
[mm] M=\pi*r*\wurzel{r²+h²}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{M}{\pi}=\wurzel{(r²+h²)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{M²}{\pi²*r²}=r²+h²
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{M²}{\pi²*r²}-r²=h²
[/mm]
[mm] \gdw h=\wurzel{\bruch{M²}{\pi²*r²}-r²}
[/mm]
Und das kannst du jetzt un die Volumenformel einsetzen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 16.10.2007 | | Autor: | pucki |
$ [mm] h=\bruch{O-\pi\cdot{}\bruch{O}{3\cdot{}\pi}}{2\pi\cdot{}\wurzel{\bruch{O}{3\cdot{}\pi}}} [/mm] $
ich verstehe nciht, wie du auf diese gleichung kommst ...
hast du da nicht die wurzel und das quadrat im zähler vergessen?
$ [mm] M=\pi\cdot{}r\cdot{}\wurzel{r²+h²} [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{M}{\pi}=\wurzel{(r²+h²)} [/mm] $
und hier verstehe ich das auch nicht .. wo ist denn das r geblieben?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Im Zähler steht ja:
[mm] O-\pi*r²
[/mm]
Da setze mal [mm] r=\wurzel{\bruch{O}{3\pi}} [/mm] ein
Dann steht da:
[mm] O-\pi\left(\wurzel{\bruch{O}{3\pi}}\right)^{2}
[/mm]
[mm] =O-\pi*\bruch{O}{3\pi} [/mm] (Wurzelziehen und Quadrieren heben sich auf)
[mm] =O-\bruch{O*\pi}{3\pi}
[/mm]
[mm] =O-\bruch{O}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{3}O
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 16.10.2007 | | Autor: | pucki |
achsooo .. versteh ich jetzt .. dankeschön
aber was is jetzt mit der zweiten aufgabe?
$ [mm] M=\pi\cdot{}r\cdot{}\wurzel{r²+h²} [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{M}{\pi}=\wurzel{(r²+h²)} [/mm] $
wo hast du das r gelassen?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
> achsooo .. versteh ich jetzt .. dankeschön
> aber was is jetzt mit der zweiten aufgabe?
>
> [mm]M=\pi\cdot{}r\cdot{}\wurzel{r²+h²}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{M}{\pi}=\wurzel{(r²+h²)}[/mm]
>
> wo hast du das r gelassen?
>
> Mfg
Hast recht, das ist irgendwo "flöten" gegangen, sorry.
[mm] M=\pi\cdot{}r\cdot{}\wurzel{r²+h²}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{\bruch{M²}{r²\pi²}-r²}=h
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 16.10.2007 | | Autor: | pucki |
Dann hab ich doch später raus
[mm] V=(\pi/3)*r²*(\wurzel [(M²/\pi²r²)-r²]=(r/3)*(M-r)
[/mm]
oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Di 16.10.2007 | | Autor: | pucki |
sry ich meine
[mm] V=(\pi/3)*r²* \wurzel ((M²/\pi²r²)-r²)=(r/3)*(M-r)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Aus deiner Formel werde ich leider nicht schlau.
$ [mm] V=(1/3)\cdot{}\pi\cdot{}h\cdot{}r² [/mm] $
mit [mm] \wurzel{\bruch{M²}{r²\pi²}-r²}=h
[/mm]
Ergibt sich
[mm] V=\bruch{\pi*r²}{3}*\wurzel{\bruch{M²}{r²\pi²}-r²}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{\pi²r²M²}{9r²\pi²}-\bruch{\pi²r²}{9}*r²}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{M²}{9}-\bruch{\pi²r^{4}}{9}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{M²-\pi²r^{4}}{9}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{M²-\pi²r^{4}}}{3}
[/mm]
[mm] (=\bruch{\wurzel{(M-\pi*r²)(M+\pi*r²)}}{3})
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 16.10.2007 | | Autor: | pucki |
V= [mm] \bruch{\pi}{3}*r²(\wurzel{{M²}{\pi²r²}-r²}) [/mm] die wurzel ziehen
[mm] =\bruch{\pi}{3}*r²(\bruch{M}{\pi r}-r) [/mm] kürzen
= [mm] \bruch{r}{3}*(M-r)
[/mm]
[mm] =\bruch{Mr}{3}-\bruch{r²}{3}
[/mm]
geht das nicht auch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
>
> V= [mm]\bruch{\pi}{3}*r²(\wurzel{{M²}{\pi²r²}-r²})[/mm] die
> wurzel ziehen
>
> [mm]=\bruch{\pi}{3}*r²(\bruch{M}{\pi r}-r)[/mm]
> kürzen
>
> = [mm]\bruch{r}{3}*(M-r)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{Mr}{3}-\bruch{r²}{3}[/mm]
>
>
> geht das nicht auch?
>
Nein, denn [mm] \wurzel{a-b}\ne\wurzel{a}+\wurzel{b}
[/mm]
Ausserdem wäre
[mm] \bruch{\pi}{3}*r²(\bruch{M}{\pi*r}-r)\red{\ne}\bruch{r}{3}*(M-r)
[/mm]
Das wäre nämlich
[mm] \bruch{\pi}{3}*r²(\bruch{M}{\pi*r}-r)
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi*r²*M}{3\pi*r}-\bruch{\pi*r²*r}{3}
[/mm]
=...
Marius
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Mi 17.10.2007 | | Autor: | pucki |
achsooo .. jetzt hab ich es verstanden
"Aus Summen kürzen nur die Dummen" *schäm*
danke für die hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 17.11.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
wollte die Frage gerne beantworten.
Das Lösen von Gleichungen kann auf die Bestimmung von Nullstellen einer Funktion zurückgeführt werden (hier: -2 rechnen).
Ein gutes Nährungsverfahren zur Bestimmung entsprechender Werte bietet das Newtonverfahren. Hier wird von einem Startwert ausgehend die Funktion und Ableitung in Betracht gezogen. In manchen Fällen hilt auch das etwas einfachere Sekantenverfahren (ist hier nicht zu gebrauchen)
![[]](/images/popup.gif) Newton für cos und sin
So berechnet man per CAS die Nullstellen mit vorher festgelegtem Abbruchkriterium z.B. Anzahl Nachkommastellen oder Fehlergüte
Hoffe es ist noch von Interesse.
Ansonsten ist hier schon alles andere gesagt worden.
Gruß
Ron
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
