F2 Polynom Cayley < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 05.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $g=\frac{d}{dt}$ [/mm] auf [mm] $V=F_{2}\left[t\right]$. [/mm]
a) Zeige, dass [mm] $g^{2}=0$
[/mm]
b)Zeige dass $g=0$ auf [mm] $V_{1}=F_{2}\left[t^{2}\right]=\left{a_{0}+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{4}+....; a_{0},a_{1}... \in F_{2} \right}.$
[/mm]
c) Zeige, das $ker ~ g = [mm] V_{1}$
[/mm]
d) Zeige, dass [mm] $V=V_{1} \oplus [/mm] U$ mit [mm] $U=tV_{1}=\left{tv_{1}; v_{1}\in V_{1} \right}.$ [/mm] |
Hallo,
a) Die Abbildungsmatrix bestimmen, das charakteristische Polynom bestimmen und mit Cayley zeigen dass [mm] $g^{2}=0$ [/mm] gilt.
Eine Basis von [mm] $F_{2}\left[t\right]= (a_{0},a_{1}t,a_{2}t^{2}....)$
[/mm]
Es ist [mm] $f(F_{2}\left[t\right])=(0,a_{1},2a_{2}t, 3a_{3}t^{2}...)$
[/mm]
Das gibt für die Abbildungsmatrix: [mm] $\vektor{0 &0 &0 & 0 & 0 \\ 0& \frac{1}{t} & 0 &0 & 0\\ 0& 0 & \frac{2}{t} & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 &\frac{3}{t} \ddots \\ 0 &0 &0 &0 ... & \frac{n}{t}}$
[/mm]
und das charakteristische Polynom: [mm] $(-\lambda)(\frac{1}{t}-\lambda)(\frac{2}{t}-\lambda)...(\frac{n}{t}-\lambda)$
[/mm]
wie rechne ich das aus?
b) hier ist das charakteristische Polynom: [mm] $(-\lambda)(\frac{2}{t}-\lambda)(\frac{6}{t}-\lambda)...(\frac{2n}{t}-\lambda)$
[/mm]
Wie rechne ich das aus??
c) zu zeigen ist, dass $ker ~ g = [mm] V_{1}$. [/mm] Also ist die Abbildungsmatrix von g mal die Abbildungsmatrix von [mm] f(V_{1}) [/mm] = 0 ? [mm] $\vektor{0 &0 &0 & 0 & 0 \\ 0& \frac{1}{t} & 0 &0 & 0\\ 0& 0 & \frac{2}{t} & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 &\frac{3}{t} \ddots \\ 0 &0 &0 &0 ... & \frac{n}{t}}$ $\vektor{0 &0 &0 & 0 & 0 \\ 0& \frac{2}{t} & 0 &0 & 0\\ 0& 0 & \frac{4}{t} & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 &\frac{6}{t} \ddots \\ 0 &0 &0 &0 ... & \frac{2n}{t}}=0$
[/mm]
das stimmt aber nicht....??
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Di 05.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]g=\frac{d}{dt}[/mm] auf [mm]V=F_{2}\left[t\right][/mm].
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> a) Zeige, dass [mm]g^{2}=0[/mm]
>
> b)Zeige dass [mm]g=0[/mm] auf
> [mm]V_{1}=F_{2}\left[t^{2}\right]=\left{a_{0}+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{4}+....; a_{0},a_{1}... \in F_{2} \right}.[/mm]
>
> c) Zeige, das [mm]ker ~ g = V_{1}[/mm]
>
> d) Zeige, dass [mm]V=V_{1} \oplus U[/mm] mit [mm]U=tV_{1}=\left{tv_{1}; v_{1}\in V_{1} \right}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> a) Die Abbildungsmatrix bestimmen, das charakteristische
> Polynom bestimmen und mit Cayley zeigen dass [mm]g^{2}=0[/mm] gilt.
Nein, das macht hier keinen Sinn. Der Vektorraum ist unendlichdimensional; das char. Polynom gibt es nur bei endlichdimensionalen Vektorraeumen und Cayley-Hamilton ebenso.
> Eine Basis von [mm]F_{2}\left[t\right]= (a_{0},a_{1}t,a_{2}t^{2}....)[/mm]
>
> Es ist [mm]f(F_{2}\left[t\right])=(0,a_{1},2a_{2}t, 3a_{3}t^{2}...)[/mm]
>
>
> Das gibt für die Abbildungsmatrix: [mm]\vektor{0 &0 &0 & 0 & 0 \\ 0& \frac{1}{t} & 0 &0 & 0\\ 0& 0 & \frac{2}{t} & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 &\frac{3}{t} \ddots \\ 0 &0 &0 &0 ... & \frac{n}{t}}[/mm]
Nein. In der Matrix haben nur Elemente aus [mm] $\IF_2$ [/mm] zu stehen. Und keine rationalen Funktionen.
> b) hier ist das charakteristische Polynom:
> [mm](-\lambda)(\frac{2}{t}-\lambda)(\frac{6}{t}-\lambda)...(\frac{2n}{t}-\lambda)[/mm]
Ist es immer noch nicht, da es dort ebenfalls keins gibt.
> c) zu zeigen ist, dass [mm]ker ~ g = V_{1}[/mm]. Also ist die
> Abbildungsmatrix von g mal die Abbildungsmatrix von
Mit Abbildungsmatrizen kannst du hier nicht viel machen.
Aus b) folgt [mm] $V_1 \subseteq \ker [/mm] g$. Du musst jetzt die andere Inklusion zeigen.
Also nimm ein Polynom $f = [mm] \sum_{i=0}^n a_i t^i \in \IF_2[/mm] [t]$, und zeige dass aus $f [mm] \in \ker [/mm] g$ folgt $f [mm] \in V_1$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Mi 06.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Mit Abbildungsmatrizen kannst du hier nicht viel machen.
Wie mache ich das ohne Abbildungsmatrizen???
> Tipp zu c
> LG
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Mi 06.04.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> > Mit Abbildungsmatrizen kannst du hier nicht viel machen.
>
> Wie mache ich das ohne Abbildungsmatrizen???
>
> > Tipp zu c
Der Tip steht doch bei Felix da: Du nimmst ein allgemeines Polynom f, bildest die formale Ableitung, also das Bild von f unter g, was eine irritierende Nomenklatur ist, und prüfst, wann sich das Nullpolynom ergibt. Dazu mußt du die Frage 'Wann ist $i [mm] \cdot a_i [/mm] = 0$?' beantworten. In einem Körper ist ein Produkt 0, wenn mindestens ein Faktor = 0 ist. Das weißt du alles, also schreib's hin.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 06.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Dieter,
> Tip steht bei Felix da
Die Frage bezieht sich auf a) und b)!
Bei a) ist ein allgemeines Polynom: [mm] $a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}... a_{n}t^{n}$ [/mm] und als dessen Ableitung [mm] $a_{1}+2ta_{2}.... (n)t^{n-1}a_{n}$
[/mm]
die Ableitung ist die Abbildung g(f). Gezeigt werden soll dass [mm] $g^{2}=0$ [/mm] ist.
[mm] $g^{2}$ [/mm] entspricht doch der Multikplikation zweier Matrizen, deren Spur aus [mm] $\frac{d}{dt}$ [/mm] besteht und sonst nur aus Nullen. Dass das 0 ist ist klar weil man dann die zweite Ableitung von 0 macht?
Aber das stimmt nicht, denn sonst wäre ja g selber auch 0 . ?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Dieter,
> > Tip steht bei Felix da
>
> Die Frage bezieht sich auf a) und b)!
>
>
> Bei a) ist ein allgemeines Polynom:
> [mm]a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}... a_{n}t^{n}[/mm] und als dessen
> Ableitung [mm]a_{1}+2ta_{2}.... (n)t^{n-1}a_{n}[/mm]
>
> die Ableitung ist die Abbildung g(f). Gezeigt werden soll
> dass [mm]g^{2}=0[/mm] ist.
>
>
> [mm]g^{2}[/mm] entspricht doch der Multikplikation zweier Matrizen,
> deren Spur aus [mm]\frac{d}{dt}[/mm] besteht und sonst nur aus
> Nullen. Dass das 0 ist ist klar weil man dann die zweite
> Ableitung von 0 macht?
>
> Aber das stimmt nicht, denn sonst wäre ja g selber auch 0
Es wurde doch schon gesagt: Du nimmst ein allgemeines Polynom f, bildest die formale Ableitung,
Dann erhältst Du g(f). Was ist nun [mm] g^2(f) [/mm] ?
[mm] g^2(f) [/mm] ist die formale Ableitung von g(f), also erhältst Du [mm] g^2(f), [/mm] indem Du f zweimal formal differenzierst
FRED
> . ?
>
>
> > Gruss
>
> Danke
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 06.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> zwei mal differenzieren
wenn ich zwei mal formal ableite dann habe ich:
$g(g(f))= [mm] 0+0+2a_{2}+6a_{3}t [/mm] ... + [mm] n(n-1)t^{n-2}a_{n}$ [/mm]
aber das ist nicht 0 ?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > zwei mal differenzieren
>
> wenn ich zwei mal formal ableite dann habe ich:
>
> [mm]g(g(f))= 0+0+2a_{2}+6a_{3}t ... + n(n-1)t^{n-2}a_{n}[/mm]
>
> aber das ist nicht 0 ?
Doch, was ist denn 2, 6,...... in [mm] F_2 [/mm] ?
FRED
>
>
> > FRED
> Danke
>
>
>
>
> Gruss
> kushkush
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Hallo
[mm] $F_{2}$ [/mm] ist der Primkörper und es muss für seine Elemente gelten:
[mm] $ab\equiv [/mm] 1 (mod 2) $
aber [mm] $2\equiv [/mm] 0 (mod 2) $
und $(n)(n-1)$ ist immer gerade:
Beweis:
Beh: n(n-1)=2k
IA mit 1 ok.
$n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$ :
[mm] $n^{2}+n [/mm] = 2k+n+n= 2(k+n)$
Also gilt für alle
$(n)(n-1) [mm] \equiv [/mm] 0 mod 2 $ und somit ist [mm] g^{2} [/mm] = 0 ? ??
dann gilt bei
b) [mm] $g(V_{1})=0,2a_{1}t,4a_{2}t^{3}... 2nt^{2n-1}a_{n}$
[/mm]
[mm] $2n\equiv [/mm] 0 mod [mm] 2~\Rightarrow g(V_{1})=0$ [/mm] ?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 09.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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