Faires Spiel < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Kater138 |
Hallo,
also ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich würde gerne wissen, ob es eine allgemeine Formel gibt, mit der man ein "faires Spiel" berechnen kann. Ich habe schon sämtliche Lexika und Mathebücher durchgesucht, und war auch schon fleißig am googeln, aber ich verstehe es einfach nicht.
Mein Mathelehrer rechnet das mit einer Variablen..
so à la (-a)*X(Wert)+(a-1)*X+(a-2)*X aber ich verstehe einfach nicht, wie man auf dieses a- irgendwas kommt..
Kann mir irgendjemand das vielleicht ganz allgemein erklären ??
Vielen Dank schonmal im Voraus..
Kater138
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Hallo,
was du wssen bzw. lernen möchtest, ist nichts anderes und nichts weniger als der Erwartungswert einer Zufallsvariablen.
Der besitzt eine ganz klare Definition, die sich aber noch unterscheidet, je nachdem, ob die Zufallsvariable diskret (abzählbar) oder stetig ist.
Im diskreten Fall sieht die Definition so aus:
[mm] E(X)=x_1*P(x_1)+x_2*P(x_2)+...+x_n*P(x_n).
[/mm]
Dabei sind die [mm] x_i [/mm] die Werte der Zufallsvariablen und [mm] P(x_i) [/mm] die Wahrscheinlichkeiten, mit der diese Werte angenommen werden. So ist bspw. der Erwartungswert für die Augenzahl beim einmaligen Werfen eines idealen Würfels gleich
[mm] E=\bruch{1}{6}*(1+2+3+4+5+6)=3.5
[/mm]
Um zu entscheiden, ob ein Spiel fair ist, führt man gerne die Zufallsvariable
X:=Einsatz-Gewinn
ein. Ist der Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich Null, dann heißt das Spiel fair.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 25.03.2012 | | Autor: | Kater138 |
| Aufgabe 1 | Die Zufallsgröße X gibt den Gewinn in Euro bei einem Glücksspiel mit einem Einsatz von 1€ an.
-1 0 1 4
2/3 1/6 1/10 1/15
Ändern Sie die maximale Auszahlung so ab, dass das Spiel bei einem Einsatz von 1€ fair ist. |
| Aufgabe 2 | Beim Würfelspiel "2&12" werden 2 Würfel gleichzeitig geworfen. Die Bank zahlt dem Spieler das Zehnfache der Augensumme in Cent aus, sofern diese 2 oder 12 ist. Bei der Augensumme 3 oder 11 das Fünffache und bei der Augensumme 4 oder 10 das Doppelte, sonst (5-9) die jeweilige Augensumme.
Welchen Einsatz muss die Bank mindestens verlangen, damit sie längerfristig keinen Verlust macht. |
Erstmal vielen Dank.
Ich habe jetzt grob verstanden, wie das funktioniert.
Jedoch weiß ich bei Aufgabe 1 nicht, wie ich dies abändern soll.
Meine Notizen:
ich habe versucht, die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten durch verschiedene Beträge zu rechnen, da das Spiel nur bei einem Einsatz von 70ct fair ist.
Frage: Ich habe dies so berechnet:
0 = (-a)*2/3 + (1-a)*1/6 + (a-2)*1/10 + (a-5)*1/15
=> dies stand so an der Tafel : aber warum muss ich z.b. a-5 rechnen wenn in der Aufgabe nur eine 4 steht ??
Auf jeden Fall habe ich versucht, die einzelnen WSK durch die Differenz des Einsatzes und des fairen Spiels zu rechnen (also den Faktor 3, 0,3, 30 ...) .. mein Erwartungswert nähert sich je mehr Nullen ich dranhänge null an, jedoch bezweifele ich, dass dies so richtig ist.
Zu Aufgabe 2
WSK 2/12 : 2/36
WSK 3 oder 11: 4/36
WSK 4 oder 10: 6/36
WSK REST : 24/36
Ich habe auch die einzelnen Gewinnsummen ausgerechnet, aber nun weiß ich doch nicht mehr weiter.
VIELEN DANK !!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Mo 26.03.2012 | | Autor: | barsch |
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich hatte heute schon einmal auf deine Frage antworten wollen, dann ist mein Rechner abgestürzt und der Text war weg. Jetzt will ich noch mal kurz darauf eingehen.
Zur 1. Aufgabe:
Betrachte einfach mal das Spiel an sich, ohne dass du irgendetwas änderst.
> Die Zufallsgröße X gibt den Gewinn in Euro bei einem
> Glücksspiel mit einem Einsatz von 1€ an.
> -1 0 1 4
> 2/3 1/6 1/10 1/15
Du setzt also 1 €. Das Spiel geht los.
Zu [mm]\bruch{2}{3}[/mm] verlierst du den 1 €. Das bedeutet, du bekommst nichts ausgezahlt, der 1 € wird einbehalten. Negativer Gewinn = Verlust = -1.
Zu [mm]\bruch{1}{6}[/mm] gewinnst du einen 1 €. Das heißt doch, du bekommst 2 € ausgezahlt. Nämlich deinen eingesetzten 1 € und den 1 € Gewinn. Denn dein Gewinn ist doch definiert als
Gewinn = Auszahlung - Einzahlung (Einsatz).
Das heißt Auszahlung = Einsatz + Gewinn.
Wenn dein Gewinn 4 € sind, bekommst du 5 € ausgezahlt - nämlich deinen Einsatz (1€) + Gewinn (4€).
So weit zum Verständnis. Weil du an späterer Stelle wissen willst, wo auf einmal die 5 herkommt.
Ist das Spiel fair? Berechne dazu den Erwartungswert:
[mm]E(X)=\bruch{2}{3}*(-1)+\bruch{1}{6}*0+\bruch{1}{10}*1+\bruch{1}{15}*4=...[/mm]
Nein, das Spiel ist nicht fair.
Wenn du jetzt ganz genau vorgehen willst, nimmst du Gewinn = Auszahlung - Einzahlung und dann wäre
[mm]E(X)=\bruch{2}{3}*(0-1)+\bruch{1}{6}*(1-1)+\bruch{1}{10}*(2-1)+\bruch{1}{15}*(5-1)=...[/mm]
Ergebnis ist in beiden Fällen gleich!
Das erklärt aber, warum unter Umständen in der Rechnung 5 € vorkommen, obwohl der Gewinn ja nur 4 € sind.
> Ändern Sie die maximale Auszahlung so ab, dass das Spiel
> bei einem Einsatz von 1€ fair ist.
So, das heißt jetzt in meinen Augen, dass du einzig an 4 € Gewinn ruckeln darfst, um das Spiel fair zu gestalten.
> durch verschiedene Beträge zu rechnen, da das Spiel nur
> bei einem Einsatz von 70ct fair ist.
> Frage: Ich habe dies so berechnet:
Selbst gerechnet, oder
> 0 = (-a)*2/3 + (1-a)*1/6 + (a-2)*1/10 + (a-5)*1/15
> => dies stand so an der Tafel : aber warum muss ich z.b.
von der Tafel abgeschrieben - das sind 2 verschiedene Sachen ;)
> a-5 rechnen wenn in der Aufgabe nur eine 4 steht ??
Hier ist auch insofern Vorsicht geboten, als das du einmal (1-a) und einmal (a-5) rechnest. Das führt unter Berücksichtigung der Vorzeichen unter Umständen zu falschen Lösungen.
Angenommen, du musst den Gewinn in Höhe von 4 € so anpassen, dass das Spiel fair wird, dann ergibt sich folgendes Bild:
> -1 0 1 4+a
> 2/3 1/6 1/10 1/15
Damit wäre der Wert von a so zu bestimmen, dass
[mm]E(X)=\bruch{2}{3}*(0-1)+\bruch{1}{6}*(1-1)+\bruch{1}{10}*(2-1)+\bruch{1}{15}*((5+a)-1)=\bruch{2}{3}*(-1)+\bruch{1}{6}*0+\bruch{1}{10}*1+\bruch{1}{15}*(4+a)=0[/mm]
bei einem Einsatz von weiterhin 1€.
Willst du aber jeden der Gewinne um den gleichen Betrag anheben, sodass das Spiel fair wird, so betrachte:
> -1+a 0+a 1+a 4+a
> 2/3 1/6 1/10 1/15
Dann ist a so bestimmen, dass
[mm]E(X)=\bruch{2}{3}*((0+a)-1)+\bruch{1}{6}*((1+a)-1)+\bruch{1}{10}*((2+a)-1)+\bruch{1}{15}*((5+a)-1)=0[/mm]
Ich hoffe, die Erklärung hilft dir weiter.
Gruß
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Mo 26.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
habe mir jetzt Aufgabenteil 2 durchgelesen. Hier musst du den Einsatz des Spieler bestimmen, sodass der erwartete Verlust der Bank 0 ist.
Der Verlust der Bank ist der Gewinn des Spielers. Also ist das nix anderes als eben. Wie ist der Einsatz zu wählen, sodass der erwartete Gewinn des Spielers 0 und das Spiel damit fair ist.
Wieder:
Gewinn = Auszahlung - Einsatz
Die Auszahlung ist für die einzelnen Ereignisse gegeben. Jetzt musst du den Einsatz a so bestimmen, dass E(X)=0.
So, und jetzt du...
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kater138 |
Vielen Dank, ja ich wollte eigentlich schreiben von der Tafel abgeschrieben, aber ich hatte den kopf gestern etwas voll mit Geschichte :)
Jetzt ist mir alles klar geworden, nochmals danke, werde es gleich mal ausprobieren :)
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