Faktorielle Ringe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe den Satz:
in einem faktoriellen Ring sind Primfaktorzerlegungen bis auf Assoziiertheit
und Reihenfolge der Faktoren eindeutig. |
Ich habe mir den Beweis zu obigen Satz angeschaut, und die Aussage ist
ja, dass für $r [mm] \in [/mm] R$ [mm] ($R\,$ [/mm] sei faktorieller Ring) gilt, dass, wenn
[mm] $$r=p_1...p_n=q_1...q_m$$
[/mm]
(wobei alle Faktoren [mm] $p_k\,, q_\ell$ [/mm] prim sind) ist, dann
[mm] $$p_1...p_n=s*q_1...q_m$$
[/mm]
gelten muss, wobei $s | [mm] 1\,.$ [/mm] Ich frage mich, warum dabei nicht sogar [mm] $s=1\,$ [/mm]
und [mm] $m=n\,$ [/mm] gelten muss?
Hier die Überlegungen dazu:
Sei $r [mm] \in [/mm] R$ mit zwei Primfaktorzerlegungen
[mm] $$r=p_1...p_n=q_1...q_m$$
[/mm]
gegeben. Wegen [mm] $p_1|r$ [/mm] kann man o.E. [mm] $p_1 [/mm] | [mm] q_1$ [/mm] annehmen:
[mm] $$p_1=s_1*q_1$$
[/mm]
mit einem [mm] $s_1 \in R\,.$
[/mm]
Indem man obige Überlegung analog fortsetzt, folgt
[mm] $$p_1...p_n=(s_1...s_n)*(p_1...p_n)*(q_{n+1}...q_m)\,,$$
[/mm]
wenn wir o.E. $m [mm] \ge [/mm] n$ annehmen. Daraus folgt
[mm] $$1=(s_1...s_n)*(q_{n+1}...q_m)\,.$$
[/mm]
Nun ist aber jedes [mm] $q_\ell$ [/mm] prim, und damit insbesondere kein Teiler der [mm] $1\,.$
[/mm]
Dies liefert [mm] $m=n\,.$ [/mm] (Wäre beispielsweise [mm] $m=n+1\,,$ [/mm] so wäre ja [mm] $1=(s_1...s_n)*q_{n+1}$ [/mm]
und daher wegen [mm] $(s_1...s_n) \in [/mm] R$ auch [mm] $q_{n+1} [/mm] | [mm] 1\,.$)
[/mm]
Also folgt
[mm] $$s_1...s_n=1$$
[/mm]
und damit
[mm] $$p_1...p_n=(s_1...s_n)*(p_1...q_n)=s*(p_1...p_n)\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $s:=s_1...s_n=1$ [/mm] ist.
Irgendwo habe ich hier aber anscheinend einen Denkfehler. Kann mir den
jemand aufzeigen? Denn natürlich gilt [mm] $s=1|1\,,$ [/mm] aber der Satz würde doch
sicher nicht mit dem Begriff "Assoziiertheit" formuliert werden, wenn hier [mm] $s=1\,$
[/mm]
einfach wäre?
P.S. Oder habe ich den Satz inhaltlich falsch verstanden, und es nur gemeint,
dass [mm] $m=n\,$ [/mm] und zudem jedes [mm] $p_j$ [/mm] zu einem [mm] $q_k$ [/mm] assoziiert ist; wobei
in obigem Beweisschema dann o.E. jedes [mm] $p_j$ [/mm] zu [mm] $q_j$ [/mm] als assoziiert zu verstehen
ist? (Also ist das im Satz Gesagte nicht so zu verstehen, dass die
Primfaktorzerlegungen bis auf Assoziiertheit gleich sind, sondern so, dass
bei zwei Primfaktorzerlegungen die Primfaktoren zueinander assoziiert
sind; das heißt, dass man das obenstehende so:"...bis auf Assoziiertheit
der Faktoren und bis auf die Reihenfolge der Faktoren" meint? Wenn ich so
drüber nachdenke, kann es ja auch nur so gemeint sein, denn dass $r=1*r$
ist, ist keine große Errungenschaft...)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 24.03.2013 | | Autor: | hippias |
In Deinem Beweis ist das $s$, von dem Du zeigen wolltest, dass es $1$ sei, ja auch ploetzlich verschwunden, also von Dir implizit $=1$ gesetzt worden. Es gilt im uebrigen $2= (-1)(-2)$, wobei $2, -2$ prim sind und $-1$ invertierbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hippias,
> In Deinem Beweis ist das [mm]s[/mm], von dem Du zeigen wolltest,
> dass es [mm]1[/mm] sei, ja auch ploetzlich verschwunden, also von
> Dir implizit [mm]=1[/mm] gesetzt worden.
nein, das wurde gefolgert, dass [mm] $s:=s_1...s_n$ [/mm] erfüllt, dass [mm] $s=1\,$ [/mm] gelten muss: Die [mm] $s_k$ [/mm] sind alles Einheiten (Teiler der 1):
[mm] $$q_1=s_1p_1$$
[/mm]
[mm] $$q_2=s_2p_2$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
[mm] $$q_n=s_np_n$$
[/mm]
Aus
[mm] $$p_1...p_n=q_1...q_n$$
[/mm]
(ich hatte ja vorher [mm] $m=n\,$ [/mm] begründet)
folgt dann (obiges Einsetzen und dann Umsortieren der Faktoren)
[mm] $$p_1...p_n=(s_1...s_n)*(p_1...p_n)\,,$$
[/mm]
also [mm] $s_1...s_n=1\,.$ [/mm] Ich hatte nur [mm] $s:=s_1...s_n$ [/mm] abkürzend definiert.
> Es gilt im uebrigen [mm]2= (-1)(-2)[/mm],
> wobei [mm]2, -2[/mm] prim sind und [mm]-1[/mm] invertierbar.
Das macht ja nix: Du willst mir nun sagen, dass doch
[mm] $$q_1=-2=(-1)*2\equiv:s_1*p_1$$
[/mm]
mit [mm] $p_1:=2$ [/mm] eben nicht [mm] $s_1=1\,,$ [/mm] sondern [mm] $s_1=-1$ [/mm] erfüllt. Aber das passt
ja auch nicht zu dem Beweis - dort hat man ja
[mm] $$p_1...p_n=q_1...q_m$$
[/mm]
per Annahme, und für [mm] $n=m\,$ [/mm] (diese Bedingung folgt ja im Beweis, bzw. ich habe
diese Folgerung ergänzt, weil sie in dem mir vorliegenden Buch "Elementare und
algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski nicht erwähnt wird)
reduziert sich dann die Annahme auf
[mm] $$p_1...p_n=q_1...q_n\,,$$
[/mm]
wobei alle [mm] $p_k,\;q_k$ [/mm] prim sind. Für [mm] $n=1\,$ [/mm] hat man also per Annahme die
Gleichheit
[mm] $$p_1=q_1$$
[/mm]
gegeben. Für [mm] $p_1=2\,$ [/mm] und [mm] $q_1=-2$ [/mm] gilt aber sicher
[mm] $$p_1 \red{\;\not=\;}q_1\,.$$
[/mm]
P.S. Ich glaube, ![[]](/images/popup.gif) hier, auf Seite 72 (besser noch: hier:
http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/ags-2010/chapter-11.pdf, Satz 11.9
- da steht der Satz zwar bzgl. Hauptidealringen, aber wenn ich das richtig
sehe, passt das im Beweis benutzte alles auch genau so, wenn man die
Definition des Begriffes "faktorieller Ring" aus dem erwähnten Buch benutzt:
"Ein faktorieller Ring ist ein Integritätsbereich, in dem jedes Element, dass
weder die Null noch eine Einheit ist, in ein Produkt von Primelementen
zerlegt werden kann." (Man beachte, dass bei dieser Definition nirgends
etwas über die "Eindeutigkeit" gesagt wird)) findet man zumindest das,
was ich gemeint habe. Kannst Du nochmal drübergucken?
P.P.S. Ich würde den Satz auch ergänzen: Sind in einem faktoriellen Ring zwei
Primfaktorzerlegungen gegeben, so gibt es zu jedem primen Element der einen
Zerlegung ein primes der anderen, so dass die beiden primen Elemente zueinander
assoziiert sind. Die Anzahl der vorkommenden primen Elemente bei beiden
Zerlegungen stimmt überein, und das Produkt über alle Einheiten, die sich
bei der Assoziiertheit ergeben, muss [mm] $1\,$ [/mm] ergeben.
Letzteres habe ich ja auch gefolgert. Es ist nur ziemlich trivial, denn wenn
[mm] $r=s*r\,$ [/mm] ist, dann ist [mm] $s=1\,.$ [/mm] (Für $r [mm] \not=0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 So 24.03.2013 | | Autor: | hippias |
Ja, Du hast recht: Ist $R$ ein Integritaetsbereich und sind [mm] $p_{i}, q_{j}\in [/mm] R$ prim so, dass [mm] $\prod_{i=1}^{m}p_{i}= \prod_{i=1}^{n}q_{i}$ [/mm] gilt, so ist $m= n$ und die Primelemente sind bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt. Aber ist das nicht die von Dir eingangs zitierte Aussage?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Hippias,
> Ja, Du hast recht: Ist [mm]R[/mm] ein Integritaetsbereich und sind
> [mm]p_{i}, q_{j}\in R[/mm] prim so, dass [mm]\prod_{i=1}^{m}p_{i}= \prod_{i=1}^{n}q_{i}[/mm]
> gilt, so ist [mm]m= n[/mm] und die Primelemente sind bis auf
> Assoziiertheit eindeutig bestimmt. Aber ist das nicht die
> von Dir eingangs zitierte Aussage?
nein - denn ich denke, dass ich genau da das Missverständnis hatte: Ich dachte,
dass mit "Eine Primfaktorzerlegung eines Elementes ist bis auf Assoziiertheit ...
(und Reihenfolge der Faktoren) ...eindeutig)" gemeint ist, dass,
wenn
[mm] $$\prod_k p_k=\prod_\ell q_\ell$$
[/mm]
zwei Zerlegungen in Primfaktoren eines Elementes sind, dass man damit
meint, dass diese Produkte assoziiert sind. Aber das macht ja gar keinen
Sinn, denn wenn sie eh gleich sind, sind sie insbesondere assoziiert, weil
[mm] $1|1\,.$ [/mm]
Keine Ahnung, was ich mir dabei gedacht hatte ^^ Aber jetzt verstehe ich,
dass gemeint ist, dass die primen Faktoren der einen Seite assoziiert zu
den der anderen Seite sind. Eigentlich macht die Aussage ja auch nur so
inhaltlich Sinn, es ist also mit gemeint "Assoziiertheit und Reihenfolge der
Faktoren" gemeint:
"Assoziiertheit der Faktoren und Reihenfolge der Faktoren"!
Stimmt so, oder? (Es war wohl mehr ein sprachliches Missverständnis denn
ein inhaltliches ^^)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:49 Di 26.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hi Marcel,
> Ich dachte,
> dass mit "Eine Primfaktorzerlegung eines Elementes ist bis
> auf Assoziiertheit ...
> (und Reihenfolge der Faktoren) ...eindeutig)" gemeint ist,
> dass,
> wenn
> [mm]\prod_k p_k=\prod_\ell q_\ell[/mm]
> zwei Zerlegungen in
> Primfaktoren eines Elementes sind, dass man damit
> meint, dass diese Produkte assoziiert sind. Aber das macht
> ja gar keinen
> Sinn, denn wenn sie eh gleich sind, sind sie insbesondere
> assoziiert, weil
> [mm]1|1\,.[/mm]
> Keine Ahnung, was ich mir dabei gedacht hatte ^^ Aber jetzt
> verstehe ich,
> dass gemeint ist, dass die primen Faktoren der einen Seite
> assoziiert zu
> den der anderen Seite sind. Eigentlich macht die Aussage ja
> auch nur so
> inhaltlich Sinn, es ist also mit gemeint "Assoziiertheit
> und Reihenfolge der
> Faktoren" gemeint:
> "Assoziiertheit der Faktoren und Reihenfolge der
> Faktoren"!
>
> Stimmt so, oder? (Es war wohl mehr ein sprachliches
> Missverständnis denn
> ein inhaltliches ^^)
Eine kurze Antwort sollte genügen: Ja.
Viele Grüße
Tobias
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