Faktorisierung von Polynomen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 17:10 Mo 10.12.2012 | | Autor: | ivan19 |
| Aufgabe | | Faktorisierung von Polynomen |
Hallo!
Ich studiere Lehramt Mathematik und mach grad ein Praktikum in der Schule. Ich soll demnächst eine Unterrichtsstunde zum Thema "Faktorisierung von Polynomen" halten. Die Schüler sind 14 bzw 15 Jahre alt und haben grad die Binomischen Formeln und das Pascalsche Dreieick gelernt. Nun zu meiner Frage: Wie soll ich den Schülern erklären, dass man [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] nicht faktorisieren kann. Mir ist ja klar dass das so ist, nur wie erklär ich das? Die Schüler wissen ja nicht was eine Funktion ist oder die Nullstelle einer Funktion. Außerdem: Wie geht das dann weiter, für Polynome 4ten Grades usw.?
Danke für die Hilfe!
Lg
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Hallo,
ich habe mal aus deiner Frage eine Umfrage mit Fälligkeit in einer Woche gemacht. Das hat den Vorteil, dass der Thread nach einer Antwort nicht gleich als beantwortet geführt wird, sondern weiter auf unbeantwortet steht. Außerdem wird es bestimmt unterschiedliche Gesichtspunkte geben, unter denen man die Frage diskutieren kann.
> Faktorisierung von Polynomen
> Hallo!
> Ich studiere Lehramt Mathematik und mach grad ein
> Praktikum in der Schule. Ich soll demnächst eine
> Unterrichtsstunde zum Thema "Faktorisierung von Polynomen"
> halten. Die Schüler sind 14 bzw 15 Jahre alt und haben
> grad die Binomischen Formeln und das Pascalsche Dreieick
> gelernt. Nun zu meiner Frage: Wie soll ich den Schülern
> erklären, dass man [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] nicht faktorisieren kann.
> Mir ist ja klar dass das so ist, nur wie erklär ich das?
> Die Schüler wissen ja nicht was eine Funktion ist oder die
> Nullstelle einer Funktion. Außerdem: Wie geht das dann
> weiter, für Polynome 4ten Grades usw.?
> Danke für die Hilfe!
So langsam fangen sie in der Vorschule dann mit der Differenzialrechnung an... 
Spaß beiseite: die Binomischen Formeln haben natürlich direkt mit Faktorisierung zu tun, und man könnte sicherlich im vorliegenden Fall argumentieren, dass es kein Binom gibt, bei dem der Term [mm] x^2+y^2 [/mm] auf einer Seite steht (ganz im Gegenteil zu [mm] x^2-y^2).
[/mm]
Ich würde das ganze noch nicht mal Polynom nennen sondern einfach an Hand der Pascalschen Zahlenpyramide untersuchen, welche grundlegenden Faktorisierungen es für Polynome in zwei Variablen gibt, Dann noch ein paar einfache Besipiele einbauen, wo man geschickt eine Summe oder Differenz ausklammert, viel mehr kann man eigentlich in dem Alter nicht machen, Schüler diesen Alters sind im einen Augenblick noch dabei und im nächsten völlig überfordert...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 10.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ivan19,
an deiner Stelle würde ich zunächst einmal einen Blick in ein Schulbuch werfen. Ich habe im alten Lambacher Schweizer nachgeschlagen. Dort werden als Methoden der Faktorisierung Ausklammern und Anwendung der Binomischen Formeln behandelt.
> Wie soll ich den Schülern
> erklären, dass man [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] nicht faktorisieren kann.
Genau beweisen wirst du das natürlich nicht. Dazu müsste man auch ersteinmal klären, was man genau unter faktorisieren versteht. (Es gilt ja z.B. [mm] $x^2+y^2=\bruch12(2x^2+2y^2)$, [/mm] aber das soll ja nicht als "sinnvolle" Faktorisierung gelten.)
Für die Schule ist es völlig ausreichend, festzustellen, dass niemandem eine "sinnvolle" Faktorisierung einfällt.
> Außerdem: Wie geht das dann
> weiter, für Polynome 4ten Grades usw.?
Lernziel wird sein, in einfachen Fällen sinnvoll ausklammern bzw. die binomischen Formeln "rückwärts" anwenden zu können. Es geht nicht um größtmögliche Allgemeinheit. Durch Blick in ein Schulbuch wirst du sehen, welche Art Aufgaben sich anbieten.
Letztlich würde ich an deiner Stelle mit dem Themensteller für deine Stunde abstimmen, welche genauen Inhalte durchgenommen werden sollen.
Ich glaube, alleine mit Ausklammern wirst du problemlos eine Stunde füllen können.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 10.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1, Frag den lehrer welche Art von Polynomen du faktorisieren sollst.
wahrscheinlich sollst du nur a)binomische Formeln rückwärts, wie [mm] a^2-b^2 4a^2-9b^2 a^2+8ab+4b^2 [/mm] und ähnlixhes auch nur ein Buchstabe, eine Zahl [mm] x^2-8x+4.
[/mm]
evetuell noch (x+a)*(x+b) ausrechnen und dann mit dem Vietaschen Wurzelsatz faktorisieren.
zu deinem [mm] x^2+y^2
[/mm]
man kann es nicht faktorisieren, denn sonst hätte [mm] x^2+y^2=0 [/mm] eine Lösung ausser x=y=0
Bielleicht sollte man erst sagen, warum man faktorisieren will:
(x+a)*(x-b)=0 kann man direkt "sehen für welche x das 0 ist
[mm] x^2+ax-bx-ab=0 [/mm] sieht man das nicht mehr an!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Di 11.12.2012 | | Autor: | Josef |
Hallo,
> Faktorisierung von Polynomen
> Wie soll ich den Schülern
> erklären, dass man [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] nicht faktorisieren kann.
"In der Algebra sind die Faktoren eines algebraischen Ausdrucks solche Terme, die miteinander multipliziert den ursprünglichen Term ergeben.
Einen Term zu zerlegen bedeutet, seine Faktoren zu bestimmen.
Die Faktoren des ganzrationalen Ausdrucks [mm] x^6 [/mm] - [mm] y^6 [/mm] etwa sind (x - y), (x + y), [mm] (x^2 [/mm] + xy + [mm] y^2) [/mm] und [mm] (x^2 [/mm] - xy + [mm] y^2). [/mm] Das sind die einzigen ganzrationalen Faktoren, die für [mm] x^6 [/mm] - [mm] y^6 [/mm] gefunden werden können."
Quelle:
Microsoft® Encarta® Enzyklopädie Professional 2003 © 1993-2002 Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten.
Haben alle Summanden einer Summe einen gemeinsamen Faktor, so kann man ihn ausklammern. Die Summe wird dadurch in ein Produkt umgewandelt.
Mitunter kann man durch Anwendung der binomischen Formeln schneller vorankommen. In der Mathematik werden drei binomische Formeln unterschieden. Durch die Herleitung der drei binomischen Formeln läßt sich leicht erklären, warum [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] nicht faktorisiert werden kann.
Ergänzend siehe hierzu auch ![[]](/images/popup.gif) binomische-formeln und auch Binomische Formeln einfach erklärt
"Für das Lösen nichtlinearer Gleichungen der Form a = 0 gibt es also manchmal die Möglichkeit den Term a in eine Produktform umzuwandeln. Diese Umwandlung nennt man Faktorisieren. Du hast zwei Möglichkeiten einen Term zu faktorisieren:
Ausklammern:
Haben alle Summanden eines Terms gemeinsame Faktoren, so lassen sich diese ausklammern:
4a + 32b + 12c = 4 · (a + 8b + 3c).
Das Ergebnis ist ein Produkt, da man zuerst die Klammer ausrechnet und sie dann mit dem Vorfaktor multipliziert.
Binomische Formel rückwärts:
Quelle siehe hier
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Di 11.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Josef,
> "In der Algebra sind die Faktoren eines algebraischen
> Ausdrucks solche Terme, die miteinander multipliziert den
> ursprünglichen Term ergeben.
>
> Einen Term zu zerlegen bedeutet, seine Faktoren zu
> bestimmen.
Sämtliche Faktoren? Das wären unendlich viele... Gemeint ist wohl, eine "sinnvolle" Zerlegung in Faktoren zu bestimmen.
>
> Die Faktoren des ganzrationalen Ausdrucks [mm]x^6[/mm] - [mm]y^6[/mm] etwa
> sind (x - y), (x + y), [mm](x^2[/mm] + xy + [mm]y^2)[/mm] und [mm](x^2[/mm] - xy +
> [mm]y^2).[/mm] Das sind die einzigen ganzrationalen Faktoren, die
> für [mm]x^6[/mm] - [mm]y^6[/mm] gefunden werden können."
Nein. Weitere Faktoren sind z.B. $2(x-y)$, [mm] $\bruch12(x+y)$ [/mm] oder auch $x+y+5-5$.
Also auf keinen Fall die Schüler mit solchen (fehlgeschlagenen) Erklärungsversuchen malträtieren, sondern ganz intuitiv: Wir wollen Terme als ("sinnvolle") Produkte darstellen.
> Mitunter kann man durch Anwendung der binomischen Formeln
> schneller vorankommen. In der Mathematik werden drei
> binomische Formeln unterschieden. Durch die Herleitung der
> drei binomischen Formeln läßt sich leicht erklären,
> warum [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] nicht faktorisiert werden kann.
Wirklich? Ich habe noch nicht einmal verstanden, wie "nicht faktorisiert werden können" definiert sein soll (wenn man nicht gerade von irreduziblen Elementen in einem Polynomring in mehreren Variablen sprechen möchte)...
Ich glaube wieder, Ivan sollte gar nicht erst versuchen, Schüler mit irgendwelchen Begründungsversuchen zu konfrontieren. Die Schüler würden vermutlich überfordert sein und abschalten. Es sollte völlig genügen festzustellen, dass niemandem eine "sinnvolle" Umwandlung in ein Produkt einfällt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Di 11.12.2012 | | Autor: | ivan19 |
Hm, danke für die Antworten!
Ich werd wohl einfach mal bei den binomischen Formeln bleiben und sehen wie das so ankommt... Ich bin auch der Meinung, dass das genua Stoff ist für eine Stunde....
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