Faktormenge < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Di 12.12.2006 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | Seien [mm]G_1 = \left( \IZ/_{\left(6 \right)},+ \right)[/mm],[mm]G_1 = \left( \IZ/_{\left(4 \right)},+ \right)[/mm],[mm]G_1 = \left( \IZ/_{\left(3 \right)},+ \right)[/mm] Gruppen und [mm] \phi_{12} : G_1 \ni \left[ x \right]_{ \left( 6 \right)} \to \left[ x \right]_{\left(4 \right)}[/mm] und [mm]\phi_{13} : G_1 \ni \left[ x \right]_{ \left( 6 \right) } \to \left[ x \right]_{\left(3 \right)}[/mm].
Handelt es sich um Homomorphismen?
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Guten Abend.
Ich kann mir unter diesen Faktomengen nichts vorstellen. Kann mir jemand an der Gruppe [mm]G_1 = \left( \IZ/_{\left(6 \right)},+ \right)[/mm] erklären Was damit gemeint ist. Insbesondere kann ich mit der Formulierung "[mm] \IZ[/mm] faktorisiert nach [mm]\left(6 \right)[/mm] " nichts richtiges anfangen.
Bitte erkärt es mir.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Halo Darwin,
[mm] \IZ/(6) [/mm] ist die zyklische Gruppe von der Ordnung 6. Viel öfter als in deiner Notation wird sie als [mm] \IZ/6\IZ [/mm] oder als [mm] \IZ_6 [/mm] geschrieben. Es bedeutet, dass man die ganzen Zahlen nur nach den Divisionsresten bei einer Division durch 6 unterscheidet.
Also ist dann 1+2=3 und 5+2=7=1, weil 7 geteilt durch 6 den Rest 1 hat.
Jetzt ist deine Aufgabe zu überprüfen, ob es einen Homomorphismus gibt, der für jedes Zahlenpaar (a,b) in [mm] \IZ_6 [/mm] die Summe a+b sinnvoll in den neuen Zahlbereich [mm] \IZ_4 [/mm] bzw. [mm] \IZ_3 [/mm] abbildet.
Ein kleiner Tip: einmal geht es und einmal nicht. Aber jetzt warte ich erst mal auf einen Vorschlag von dir. 
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mi 13.12.2006 | | Autor: | darwin |
Bei [mm] \IZ_3 [/mm] liegt Hom. vor und bei [mm] \ZI_4 [/mm] nicht.
Vielen Dank hat mir sehr geholfen.
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Genau,
denn z.B. ist [mm] 2\cdot2=4 [/mm] in [mm] \IZ_2. [/mm] Aber das ist in [mm] \IZ_4 [/mm] gleich Null, so dass es keinen Homomorphismus von [mm] \IZ_6 [/mm] nach [mm] \IZ_4 [/mm] gibt.
Nach [mm] \IZ_3 [/mm] gibt es einen Homomorphismus, nämlich
0->0
1->1
2->2
3->0
4->1
5->2
Hugo
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