Faktorraum + Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
hier die Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie man eine Basis von U + W bestimmt ist mir klar.
Wie man eine Basis von U [mm] \cap [/mm] W bestimmt auch.
Aber wie bestimmt man eine Basis von (U+W)/(U [mm] \cap [/mm] W)?
Ich würde zunächst erstmal versuchen (U+W) zu bestimmen.
Dann würde ich (U [mm] \cap [/mm] W) bestimmen - also je die Gleichungsysteme aufstellen.
Aber dann muss ich ja den Faktorraum "bilden". In meinen Büchern finde ich leider nur Erklärungen, die ich absolut nicht verstehe...
Was mir echt helfen würde wäre eine kurze Liste in Form von erstens, zweitens, drittens, ... Dann könnte ich erstmal losrechnen und meist kommt bei mir beim Rechnen das Verständnis und ggf. noch weitere Fragen...
Oder vielleicht kennt jemand einen tollen Link... die Erklärung von Wikipedia zum Thema Faktorraum fand ich jetzt nicht so toll. :(
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Sa 26.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
wenn du einen Vektorraum V und einen Unterraum U hast, dann besteht der Faktorraum aus den sogenannten Nebenklassen:
$V / U = [mm] \{a + U \mid a \in V \}$
[/mm]
Für eine Basis des Faktorraumes reicht es, eine Basis von U zur Basis von V zu ergänzen. Die ergänzten Vektoren bilden dann eine Basis von V / U - genau genommen jeweils +U, aber das läßt man oft auch unter den Tisch fallen.
Die Elemente des Faktorraumes sind ja ihrerseits Mengen.
LG
Will
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Hallo,
danke erstmal.
Ich habe nun eine Basis von (U+W) gefunden. Aber beim Finden einer Basis von (U [mm] \cap [/mm] W) habe ich so meine Zweifel, ob das stimmt...
Der Gedanke bei dem Finden einer Basis von (U [mm] \cap [/mm] W) war, dass (U [mm] \cap [/mm] W) aus Vektoren besteht, die in U und W sind. Beispiel: Ist ein Vektor v [mm] \in [/mm] (U [mm] \cap [/mm] W), dann lässt er sich aus den Vektoren, die U aufspannen linear kombinieren und auch von denen, die W aufspannen. Also habe ich zur Bestimmung der Basis von (U [mm] \cap [/mm] W) einfach folgende Matrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -4 & -2 \\ 4 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 } [/mm]
und das habe ich dann umgeformt und folgende Matrix erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Bedeutet: Meine Basis besteht aus den Vektoren:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{3}{2}}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Soweit richtig?
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> Bedeutet: Meine Basis besteht aus den Vektoren:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{3}{2}}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Soweit richtig?
Hallo,
das kann doch schon deshalb nicht stimmen, weil die Dimension der beiden Räume, die Du zum Schnitt bringen willst, ja jeweils höchstens 2 ist. Da kann der Schnitt doch nicht die Dimension 3 haben!
Aus dem, was Du tust, kannst Du eine Basis des Summenraumes ablesen:
der 1.2. und 3. Vektor bilden eine Basis von U+W.
(Dein Ablesen aus den Zeilen ist doch Unfug: stell Dir vor, Du hättest 5 Startvektoren gehabt. Dann hättest Du Vektoren des [mm] \IR^5 [/mm] als potentielle Kandidaten abgelesen. Ich glaube, Du verwechselst da gerade irgendetwas.)
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Nun - wie berechnet man dann die Basis von U geschnitten W? Ah - ich glaube ich habs...
Ich muss einen Vektor v suchen, der in (U [mm] \cap [/mm] W) liegt. Dazu müsste ich die Basisvektoren von U und von W bestimmen.
Seien Angenommen [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind Basis von U und [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sind Basis von W. Dann muss ich folgendes LGS lösen:
[mm] \alpha_1 u_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 u_2 [/mm] = [mm] \alpha_3 w_1 [/mm] + [mm] \alpha_4 w_4
[/mm]
Ich muss dazu eine nichttriviale Lösung suchen. Stimmt das im Groben?
Dann würde ich das mal konkret ausrechnen und mich wieder melden...
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Hallo,
ich habe es jetzt mal durchgerechnet.
1. Basis von U finden - führt zu folgender Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 0 } [/mm] = ... = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 } \Rightarrow u_1 [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 0} [/mm] und [mm] u_2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 4 \\ 0} [/mm] bilden gemeinsam eine Basis von U.
2. Basis von W finden - führt zu folgender Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 } [/mm] = ... = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 } \Rightarrow w_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 3 \\ 1} [/mm] und [mm] w_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 1} [/mm] bilden gemeinsam eine Basis von W.
Nun suche ich einen Vektor z, der in (U [mm] \cap [/mm] W) liegt, was bedeutet, dass [mm] \alpha_1 u_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 u_2 [/mm] = [mm] \alpha_3 w_1 [/mm] + [mm] \alpha_4 w_4 [/mm] nicht trivial lösbar sein muss.
[mm] \alpha_1 u_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 u_2 [/mm] = [mm] \alpha_3 w_1 [/mm] + [mm] \alpha_4 w_4 [/mm] ergibt folgende Gleichungen:
(1) [mm] 3\alpha_1 [/mm] + [mm] 2\alpha_2 [/mm] = 0
(2) [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] 2\alpha_2 [/mm] - [mm] 4\alpha_3 [/mm] - [mm] 2\alpha_4 [/mm] = 0
(3) [mm] 3\alpha_1 [/mm] + [mm] 4\alpha_2 [/mm] - [mm] 3\alpha_3 -\alpha_4
[/mm]
(4) [mm] -\alpha_3-\alpha_4 [/mm] = 0
Nun wähle ich [mm] \alpha_1 [/mm] = 1 und löse auf.
[mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] \frac{3}{2}, \alpha_3 [/mm] = 8, [mm] \alpha_4 [/mm] = -8
Der Vektor z sieht also so aus: z = [mm] u_1 [/mm] + [mm] \frac{3}{2}u_2 [/mm] + 8 [mm] w_1 [/mm] -8 [mm] w_2 [/mm] und das ist aus dimensionsgründen eine Basis von (U [mm] \cap [/mm] W).
Richtig?
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> Der Vektor z sieht also so aus: z = [mm]u_1[/mm] + [mm]\frac{3}{2}u_2[/mm] +
> 8 [mm]w_1[/mm] -8 [mm]w_2[/mm] und das ist aus dimensionsgründen eine Basis
> von (U [mm]\cap[/mm] W).
>
> Richtig?
Hallo,
das ist nicht richtig, denn Dein errechneter Vektor hat als erste Komponente ja eine 6 und liegt somit gewiß nicht in W.
Und wenn, dann wäre der gesuchte wohl eher der Vektor [mm] u_1+3/2 u_2, [/mm] oder? (Aber auch dieser hat als erste Komponente die 6).
Rechne das nochmal nach.
(Ich berechne den Schnitt übrigens mit dem Zassenhausalgorithmus.)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 So 27.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> 1. Basis von U finden - führt zu folgender Matrix:
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 0 }[/mm] = ... = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 } \Rightarrow u_1[/mm]
> = [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 0}[/mm] und [mm]u_2[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 4 \\ 0}[/mm]
> bilden gemeinsam eine Basis von U.
>
> 2. Basis von W finden - führt zu folgender Matrix:
> [mm]\pmat{ 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 }[/mm] = ... = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 } \Rightarrow w_1[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ 3 \\ 1}[/mm] und [mm]w_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> bilden gemeinsam eine Basis von W.
>
> Nun suche ich einen Vektor z, der in (U [mm]\cap[/mm] W) liegt, was
> bedeutet, dass [mm]\alpha_1 u_1[/mm] + [mm]\alpha_2 u_2[/mm] = [mm]\alpha_3 w_1[/mm] +
> [mm]\alpha_4 w_4[/mm] nicht trivial lösbar sein muss.
>
> [mm]\alpha_1 u_1[/mm] + [mm]\alpha_2 u_2[/mm] = [mm]\alpha_3 w_1[/mm] + [mm]\alpha_4 w_4[/mm]
> ergibt folgende Gleichungen:
>
> (1) [mm]3\alpha_1[/mm] + [mm]2\alpha_2[/mm] = 0
> (2) [mm]\alpha_1[/mm] + [mm]2\alpha_2[/mm] - [mm]4\alpha_3[/mm] - [mm]2\alpha_4[/mm] = 0
> (3) [mm]3\alpha_1[/mm] + [mm]4\alpha_2[/mm] - [mm]3\alpha_3 -\alpha_4[/mm]
> (4)
> [mm]-\alpha_3-\alpha_4[/mm] = 0
>
> Nun wähle ich [mm]\alpha_1[/mm] = 1 und löse auf.
> [mm]\alpha_2[/mm] = [mm]\frac{3}{2}, \alpha_3[/mm] = 8, [mm]\alpha_4[/mm] = -8
>
> Der Vektor z sieht also so aus: z = [mm]u_1[/mm] + [mm]\frac{3}{2}u_2[/mm] +
> 8 [mm]w_1[/mm] -8 [mm]w_2[/mm] und das ist aus dimensionsgründen eine Basis
> von (U [mm]\cap[/mm] W).
Katastrophe...
Warum machst du das nicht so, wie ich es erklärt hatte?
Das orthogonale Komplement von U ist offensichtlich <(0 0 0 1)>,
das orth. Kompl. von W <(1 0 0 0)>, die Summe das Erzeugnis beider Vektoren.
Davon das orth. Komplement ist wieder <(0 1 0 0), (0 0 1 0)>
und damit ist eine Basis des Schnittraumes gegeben.
Fertig.
Gruß
Will
PS: Das von Angela erwähnte Verfahren von Zassenhausen trägt zum Verständnis der Zusammenhänge für einen Schüler oder Studenten i.d.R. nicht viel bei und wenn man nur am Ergebnis interessiert ist, kann man genau so gut ein Computeralgebrasystem befragen.
Mit MuPAD z.B.:
linalg::intBasis(S1, S2, ...) liefert eine Basis für den Vektorraum, der aus dem Schnitt der Vektorräume entsteht, die von den Vektoren in S1, S2,... erzeugt werden.
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Hallo,
nun nochmal ausgeschlafen mein konstruktiver Kommentar zu Deiner Lösung:
> Nun suche ich einen Vektor z, der in (U [mm]\cap[/mm] W) liegt, was
> bedeutet, dass [mm]\alpha_1 u_1[/mm] + [mm]\alpha_2 u_2[/mm] = [mm]\alpha_3 w_1[/mm] +
> [mm]\alpha_4 w_4[/mm] nicht trivial lösbar sein muss.
Ja. Wenn man einen Vektor [mm] (\not=0) [/mm] im Schnitt hat, läßt er sich nichttrivial aus der Basis von U und W linearkombinieren, dh. es gibt [mm] a_i [/mm] so, daß
> [mm]\alpha_1 u_1[/mm] + [mm]\alpha_2 u_2[/mm] = [mm]\alpha_3 w_1[/mm] + [mm]\alpha_4 w_4[/mm]
> ergibt folgende Gleichungen:
>
> (1) [mm]3\alpha_1[/mm] + [mm]2\alpha_2[/mm] = 0
> (2) [mm]\alpha_1[/mm] + [mm]2\alpha_2[/mm] - [mm]4\alpha_3[/mm] - [mm]2\alpha_4[/mm] = 0
> (3) [mm]4\alpha_1[/mm] + [mm]4\alpha_2[/mm] - [mm]3\alpha_3 -\alpha_4[/mm]
> (4)
> [mm]-\alpha_3-\alpha_4[/mm] = 0
>
Hier macht man ja nichts anderes als in der Schule, wo man massenhaft Gebilde zum Schnitt gebracht gebracht hat.
Das GS hat den Rang 3, also hat der Lösungsraum die Dimension 1.
Jetzt willst Du eine nichttriv. Lösung ermitteln:
> Nun wähle ich [mm]\alpha_1[/mm] = 1 und löse auf.
> [mm]\alpha_2[/mm] = [mm][mm] \frac{3}{2},
[/mm]
Hier hast Du Dich verrechnet, Du erhältst [mm] \alpha_2= [/mm] - [mm] \frac{3}{2},
[/mm]
für [mm] a_3 [/mm] und [mm] a_4 [/mm] erhältst Du dann [mm] a_3=-1 [/mm] und [mm] a_4=1.
[/mm]
Also lösen alle [mm] a:=\lambda( [/mm] 1, -3/2, -1, 1) das System,
und damit haben die Vektoren des Schnittes die Gestalt
[mm] z:=\lambda (a_1u_1+a_2u_2) [/mm] .
Du warst also nicht auf völlig absurden Wegen unterwegs, wenn Du Dich auch ein wenig verirrt hast.
Wohl nicht auf dem allergeschicktesten, aber auf einem für Dich verständlichen und gangbaren - und das macht ihn gut..
Vielelicht schaust Du Dir noch koeppers schnellen Weg an.
Mein "Zassenhaus" ist in der Tat das, was ich immer "Schimpansenmathematik" nenne: reinstecken, kurbeln, rausnehmen - ungemein praktisch mitunter, aber nicht sonderlich bildend.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 So 27.01.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Ich habe eine ähnliche Aufgabe im Repetitorium der Linearen Algebra gefunden und es nach deren Muster gemacht. Es war zwar umständlich und ich habe mich verrechnet aber immerhin...
Ich habe den Anspruch an mich selbst sowas erstmal von Fuß zu lösen bevor ich irgendwelche Computer Algebra Systeme einsetze, auch falls dann mal die ein oder andere Lösung (oder fast alle  ) falsch sein sollten.
koepper: Katastrophe? Vielleicht hast du nicht bemerkt, dass dein Lösungsvorschlag und mein Lösungsversuch fast zeitgleich geposted wurden nämlich im Abstand von 3 Minuten. Das erklärt auch, wieso ich dein Verfahren nicht angewandt habe. Außerdem haben wir einige Begriffe, die du verwendest noch nicht eingeführt.
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