Faktorraum, Aufg. mit Hom. VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 08.04.2015 | | Autor: | duduknow |
| Aufgabe | Es seien $V$ und $W$ $K$-Vekträume sowie $U$ ein Untervektorraum von $V$. Zeigen Sie:
1. $Z = [mm] \{\psi \in Hom_K(V, W) \mid U \subset Kern(\psi) \}$
[/mm]
2. [mm] $Hom_K(V, [/mm] W)/_Z [mm] \cong Hom_K(U, [/mm] W)$ |
Hi,
ich bin mir bei dieser Aufgabe bei 2. unsicher. Folgendes ist mein Ansatz. Mag mir jemand sagen, ob das stimmt, oder ob ich das ganz falsch sehe? Verstehe ich richtig, was $Hom(V, W)/_Z$ ist?
Im Vektorraum $Hom(V, W)/_Z$ sind dann immer die Homomorphismen in der gleichen Klasse, die die Elemente aus $U$ gleich abbilden. Ein Isomorphismus nach $Hom(U, W)$ wäre dann [mm] $f([\psi]) [/mm] = [mm] \psi \big| [/mm] _U$.
Die Abbildung ist wohldefiniert, denn [mm] $[\psi] [/mm] = [mm] [\phi] \Rightarrow (\psi [/mm] - [mm] \phi) \in [/mm] Z [mm] \Rightarrow (\psi [/mm] - [mm] \phi)(u) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \psi(u) [/mm] = [mm] \phi(u)$ [/mm] für alle $u [mm] \in [/mm] U$, also [mm] $\psi \big|_U [/mm] = [mm] \phi \big|_U$.
[/mm]
Sie ist injektiv, denn wenn [mm] $f(\psi) [/mm] = [mm] f(\phi)$ [/mm] gilt für alle $u [mm] \in [/mm] U$ dass [mm] $\psi(u) [/mm] = [mm] \phi(u) \Rightarrow (\psi [/mm] - [mm] \phi)(u) [/mm] = 0$, also [mm] $(\psi [/mm] - [mm] \phi) \in [/mm] Z$.
Zudem ist sie surjektiv, denn für [mm] $\psi \in [/mm] Hom(U, W)$ gibt es zum Beispiel den Homomorphismus [mm] $\phi(v) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{cc} \psi(v), & v \in U \\ 0, & \text{sonst} \end{array} \right.$, [/mm] für den [mm] $f(\phi) [/mm] = [mm] \psi$ [/mm] gilt.
Der andere Ansatz wäre ja, zu zeigen, dass beide Vektorräume gleiche Dimension haben. Dabei gilt [mm] $\dim [/mm] Hom(V, W) = [mm] \dim(V)\dim(W)$, $\dim [/mm] Hom(U, W) = [mm] \dim(U)\dim(W)$. [/mm] Für $Z$ muss dann [mm] $\dim(Z) [/mm] = [mm] \dim(W)(\dim(V) [/mm] - [mm] \dim(U))$ [/mm] gelten, damit das aufgeht. Dabei habe ich Probleme. Intuitiv ist mir klar, dass ich $Z$ mit $Hom(V/_U, W)$ identifizieren kann. Kann ich das mit dem Isomorphismus $Z [mm] \rightarrow [/mm] Hom(V/_U, W), [mm] \psi \mapsto [/mm] ([v] = v + U [mm] \mapsto \psi(v))$ [/mm] begründen?
Mit freundlichen Grüßen
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> Es seien [mm]V[/mm] und [mm]W[/mm] [mm]K[/mm]-Vekträume sowie [mm]U[/mm] ein Untervektorraum
> von [mm]V[/mm]. Zeigen Sie:
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> 1. [mm]Z = \{\psi \in Hom_K(V, W) \mid U \subset Kern(\psi) \}[/mm]
>
> 2. [mm]Hom_K(V, W)/_Z \cong Hom_K(U, W)[/mm]
>
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> Hi,
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> ich bin mir bei dieser Aufgabe bei 2. unsicher. Folgendes
> ist mein Ansatz. Mag mir jemand sagen, ob das stimmt, oder
> ob ich das ganz falsch sehe? Verstehe ich richtig, was
> [mm]Hom(V, W)/_Z[/mm] ist?
>
> Im Vektorraum [mm]Hom(V, W)/_Z[/mm] sind dann immer die
> Homomorphismen in der gleichen Klasse, die die Elemente aus
> [mm]U[/mm] gleich abbilden. Ein Isomorphismus nach [mm]Hom(U, W)[/mm] wäre
> dann [mm]f([\psi]) = \psi \big| _U[/mm].
>
> Die Abbildung ist wohldefiniert, denn [mm][\psi] = [\phi] \Rightarrow (\psi - \phi) \in Z \Rightarrow (\psi - \phi)(u) = 0 \Rightarrow \psi(u) = \phi(u)[/mm]
> für alle [mm]u \in U[/mm], also [mm]\psi \big|_U = \phi \big|_U[/mm].
> Sie
> ist injektiv, denn wenn [mm]f(\psi) = f(\phi)[/mm] gilt für alle [mm]u \in U[/mm]
> dass [mm]\psi(u) = \phi(u) \Rightarrow (\psi - \phi)(u) = 0[/mm],
> also [mm](\psi - \phi) \in Z[/mm].
> Zudem ist sie surjektiv, denn
> für [mm]\psi \in Hom(U, W)[/mm] gibt es zum Beispiel den
> Homomorphismus [mm]\phi(v) = \left\{ \begin{array}{cc} \psi(v), & v \in U \\ 0, & \text{sonst} \end{array} \right.[/mm],
> für den [mm]f(\phi) = \psi[/mm] gilt.
Bist du dir sicher, dass das ein Homomorphismus ist? Sei etwa [mm] $u\in [/mm] U$ und [mm] $v\notin [/mm] U$. Dann gilt auch [mm] $u+v\notin [/mm] U$, also [mm] $\phi(u+v)=0$ [/mm] und [mm] $\phi(u)+\phi(v)=\phi(u)+0=\phi(u)=\psi(u)$, [/mm] das wäre also nur ein Homomorphismus, wenn [mm] $\psi(u)=0$ [/mm] für alle $u$. Solche Dinge musst du natürlich überprüfen.
Ich denke man muss so vorgehen: Zu einem gegebenen Unterraum [mm] $U\le [/mm] V$ existiert immer ein lineares Komplement, das heißt ein weiterer Raum [mm] $U'\le [/mm] V$ mit [mm] $U\oplus [/mm] U'=V$ (dies folgt aus dem Basisergänzungssatz). Wir können [mm] $\phi$ [/mm] dann definieren durch [mm] $u+u'\longmapsto\psi(u)$. [/mm] Dass dies allen Forderungen genügt, überlasse ich dir. Beachte, dass dieser Homomorphismus einfach die Komposition [mm] $U\oplus U'\longrightarrow U\xrightarrow{\ \ \psi\ \ } [/mm] W$ ist, wobei der erste Homomorphismus die Projektion ist.
> Der andere Ansatz wäre ja, zu zeigen, dass beide
> Vektorräume gleiche Dimension haben. Dabei gilt [mm]\dim Hom(V, W) = \dim(V)\dim(W)[/mm],
> [mm]\dim Hom(U, W) = \dim(U)\dim(W)[/mm]. Für [mm]Z[/mm] muss dann [mm]\dim(Z) = \dim(W)(\dim(V) - \dim(U))[/mm]
> gelten, damit das aufgeht. Dabei habe ich Probleme.
> Intuitiv ist mir klar, dass ich [mm]Z[/mm] mit [mm]Hom(V/_U, W)[/mm]
> identifizieren kann. Kann ich das mit dem Isomorphismus [mm]Z \rightarrow Hom(V/_U, W), \psi \mapsto ([v] = v + U \mapsto \psi(v))[/mm]
> begründen?
Die Dimension können wir hier nicht verwenden, weil wir i.A. überhaupt keine endliche Dimension haben.
Das Mittel der Wahl bei Quotientenräumen ist übrigens immer der Homomorphiesatz (ich weiß nicht, unter welchem Namen ihr den hattet).
Homomorphiesatz: Wenn man einen Homomorphismus [mm] $X\xrightarrow{\ \ f\ \ }Y$ [/mm] hat, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus [mm] $X/\ker f\xrightarrow{\ \ \tilde{f}\ \ }Y$, [/mm] welcher [mm] $X\xrightarrow{\ \ \pi\ \ }X/\ker f\xrightarrow{\ \ \tilde{f}\ \ }Y=X\xrightarrow{\ \ f\ \ }Y$ [/mm] erfüllt. Ferner ist [mm] $\tilde{f}$ [/mm] immer injektiv und es gilt [mm] $\operatorname{im}\tilde{f}=\operatorname{im}f$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $\tilde{f}$ [/mm] surjektiv und damit ein Isomorphismus, falls $f$ surjektiv ist.
Was wir also benötigen, ist ein surjektiver Homomorphismus [mm] $\hom(V,W)\xrightarrow{\ \ f\ \ }\hom(U,W)$, [/mm] dessen Kern $Z$ ist. Den Rest erledigt dann der Homomorphiesatz. Ich behaupte, dass [mm] $\phi\longmapsto\phi|_U$ [/mm] ein solcher Homomorphismus ist. Dass $Z$ genau dessen Kern ist, ist unmittelbar einzusehen, die Surjektivität sehen wir wie oben. Insbesondere können wir uns Injektivität und Wohldefiniertheit sparen. In diesem Fall waren die beiden kein großes Hindernis, aber im allgemeinen kann man sich die Arbeit hiermit sehr erleichtern.
> Mit freundlichen Grüßen
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 08.04.2015 | | Autor: | duduknow |
Hi,
da war ich viel zu voreilig. Stimmt, das ist natürlich kein Homomorphismus.
Zu einem [mm] $\psi \in [/mm] Hom(U, W)$ schlägst du [mm] $\phi(u [/mm] + u') = [mm] \psi(u)$ [/mm] vor. Das ist ein Homomorphismus, weil für $u + u' = v, [mm] \tilde{u} [/mm] + [mm] \tilde{u'} [/mm] = [mm] \tilde{v} \in [/mm] V$, [mm] $\lambda \in [/mm] K$ folgt
[mm] $\phi(v [/mm] + [mm] \lambda \tilde{v}) [/mm] = [mm] \phi(u [/mm] + u' + [mm] \lambda \tilde{u} [/mm] + [mm] \lambda \tilde{u'}) [/mm] = [mm] \phi(u [/mm] + [mm] \lambda \tilde{u} [/mm] + u' + [mm] \lambda \tilde{u'}) [/mm] = [mm] \psi(u [/mm] + [mm] \lambda \tilde{u'}) [/mm] = [mm] \psi(u) [/mm] + [mm] \lambda \psi(\tilde{u}) [/mm] = [mm] \phi(u) [/mm] + [mm] \lambda \phi(\tilde{u}) [/mm] = [mm] \phi(u [/mm] + u') + [mm] \lambda \phi(\tilde{u} [/mm] + [mm] \tilde{u'}) [/mm] = [mm] \phi(v) [/mm] + [mm] \lambda \phi(\tilde{v})$
[/mm]
Für $u [mm] \in [/mm] U$ gilt [mm] $\phi(u) [/mm] = [mm] \phi(u [/mm] + 0) = [mm] \psi(u)$, [/mm] also [mm] $f([\phi]) [/mm] = [mm] \psi$, [/mm] und damit ist $f$ dann surjektiv.
> wobei der erste Homomorphismus die Projektion ist.
Mit dem Begriff "Projektion" kann ich nicht so viel anfangen.
Ist eine Projektion $V [mm] \rightarrow [/mm] W$ zu einem Untervektorraum $U$ eine Abbildung, die die Basisvektoren, mit denen man die Basis von $U$ zu einer Basis von $V$ erweitern könnte, auf $0$ abbildet?
Als kanonische Projektion bezeichnet man ja die Abbildung $v [mm] \mapsto [/mm] [v]$ von $V$ zu einem $V/_U$. Kommt der Zusatz kanonisch dann ins Spiel, wenn die Abbildung in den Faktorraum geht, oder wie ist das?
> Die Dimension können wir hier nicht verwenden, weil wir i.A. überhaupt keine endliche Dimension haben.
Oh, darauf habe ich gar nicht geachtet. Bei den anderen Aufgaben werden die Vektorräume immer auf Endliche eingeschränkt.
An den Homomorphiesatz habe ich gar nicht gedacht. Den hatten wir in den ersten zwei Wochen, ich habe ihn aber noch nie in einer Übungsaufgabe anwenden können, sondern sehe ihn in deiner Antwort zum ersten mal in Action. Da muss ich auch noch üben.
Danke für deine Korrektur.
Mit freundlichen Grüßen
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> Hi,
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> da war ich viel zu voreilig. Stimmt, das ist natürlich
> kein Homomorphismus.
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> Zu einem [mm]\psi \in Hom(U, W)[/mm] schlägst du [mm]\phi(u + u') = \psi(u)[/mm]
> vor. Das ist ein Homomorphismus, weil für [mm]u + u' = v, \tilde{u} + \tilde{u'} = \tilde{v} \in V[/mm],
> [mm]\lambda \in K[/mm] folgt
>
> [mm]\phi(v + \lambda \tilde{v}) = \phi(u + u' + \lambda \tilde{u} + \lambda \tilde{u'}) = \phi(u + \lambda \tilde{u} + u' + \lambda \tilde{u'}) = \psi(u + \lambda \tilde{u'}) = \psi(u) + \lambda \psi(\tilde{u}) = \phi(u) + \lambda \phi(\tilde{u}) = \phi(u + u') + \lambda \phi(\tilde{u} + \tilde{u'}) = \phi(v) + \lambda \phi(\tilde{v})[/mm]
>
> Für [mm]u \in U[/mm] gilt [mm]\phi(u) = \phi(u + 0) = \psi(u)[/mm], also
> [mm]f([\phi]) = \psi[/mm], und damit ist [mm]f[/mm] dann surjektiv.
>
> > wobei der erste Homomorphismus die Projektion ist.
> Mit dem Begriff "Projektion" kann ich nicht so viel
> anfangen.
> Ist eine Projektion [mm]V \rightarrow W[/mm] zu einem
> Untervektorraum [mm]U[/mm] eine Abbildung, die die Basisvektoren,
> mit denen man die Basis von [mm]U[/mm] zu einer Basis von [mm]V[/mm]
> erweitern könnte, auf [mm]0[/mm] abbildet?
> Als kanonische Projektion bezeichnet man ja die Abbildung
> [mm]v \mapsto [v][/mm] von [mm]V[/mm] zu einem [mm]V/_U[/mm]. Kommt der Zusatz
> kanonisch dann ins Spiel, wenn die Abbildung in den
> Faktorraum geht, oder wie ist das?
Der Name Projektion taucht in zwei Situationen auf. Der eine ist tatsächlich [mm] $V\longrightarrow [/mm] V/U$, wobei einfach Elemente aus $U$ identifiziert werden. Man benutzt den Begriff auch für den Homomorphismus [mm] $\prod_{i\in I}X_i\longrightarrow X_i$, [/mm] wobei man eine Familie [mm] $(x_i)_{i\in I}$ [/mm] auf die $i$-te Komponente schickt. (Falls du nur endliche Produkte kennst: [mm] $X_1\times\dots\times X_n$, $(x_1,\dots,x_n)\longmapsto x_i$) [/mm] ist die Projektion auf die $i$-te Komponente.
Die direkte Summe [mm] $U\oplus [/mm] U'$ kann man ja zum Beispiel als [mm] $U\oplus V=\{(u,u')\mid u\in U,u'\in U'\}$ [/mm] konstruieren. Diese direkte Summe kommt immer mit vier Homomorphismen daher, die beiden Injektionen
[mm] $U\xrightarrow{\ \ i_1\ \ }U\oplus [/mm] U'$, [mm] $u\longmapsto [/mm] (u,0)$, sowie [mm] $U'\xrightarrow{\ \ i_1\ \ }U\oplus [/mm] U'$, [mm] $u'\longmapsto [/mm] (0,u')$
und die beiden Projektionen
[mm] $U\oplus U'\xrightarrow{\ \ p_1\ \ }U$, $(u,u')\longmapsto [/mm] u$ und [mm] $U\oplus U'\xrightarrow{\ \ p_2\ \ }U'$, $(u,u')\longmapsto [/mm] u'$.
Für [mm] $u\in [/mm] U$, [mm] $u'\in [/mm] U'$ kürzt man dann üblicherweise [mm] $i_1(u)+i_2(u')=(u,0)+(0,u)=(u,u')$ [/mm] mit $u+u'$ ab. Der Homomorphismus, über den wir oben geredet haben ist ja gegeben durch [mm] $u+u'\longmapsto u\longmapsto \psi(u)$, [/mm] also erst die Projektion auf die Komponente und dann unser [mm] $\psi$.
[/mm]
Es gelten übrigens mehr oder weniger offensichtlicherweise die Beziehungen [mm] $p_1\circ i_1=\operatorname{id}_U$, $p_2\circ i_2=\operatorname{id}_{U'}$, $p_1\circ i_2=0$, $p_2\circ i_1=0$ [/mm] und [mm] $i_1\circ p_1+i_2\circ p_2=\operatorname{id}_{U\oplus U'}$. [/mm] Tatsächlich kann man zeigen, dass sich alle Eigenschaften der direkten Summe hieraus ableiten lassen, siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier, aber das muss dich noch nicht bekümmern, ich wollte es nur anmerken, falls du dieser Tatsache irgendwann noch einmal über den Weg laufen solltest. Und natürlich um die Bedeutung dieser Homomorphismen noch einmal zu unterstreichen.
> An den Homomorphiesatz habe ich gar nicht gedacht. Den
> hatten wir in den ersten zwei Wochen, ich habe ihn aber
> noch nie in einer Übungsaufgabe anwenden können, sondern
> sehe ihn in deiner Antwort zum ersten mal in Action. Da
> muss ich auch noch üben.
Falls du noch einmal in den Genuss kommst, dir den Beweis des Homomorphiesatzes anzusehen, wirst du feststellen, dass er wirklich genau das tut, was du oben auch getan hast, auf genau die gleiche Weise, also Wohldefiniertheit und Injektivität nachprüfen. Dafür bekommt man aber auch noch die Eindeutigkeitsaussage über [mm] $\tilde{f}$ [/mm] und seine Beziehung zu $f$ und der Projektion dazugeliefert, was manchmal auch nicht schaden kann.
> Danke für deine Korrektur.
>
> Mit freundlichen Grüßen
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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