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Hey liebe Mathefreunde ;)
Ich hatte heute nachmittag ein paar Übungsaufgaben berechnet und kam bei einigen Aufgaben leider nicht weiter.
Diese Zusammenhänge waren gegeben:
[mm]\bruch {n!}{(n-k)!}[/mm] Auswahl von k aus n Elementen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
[mm]\bruch {n!}{(n-k)!*k!} =: {n \choose k} ; {n \choose k} = {n \choose n-k}; {n \choose 0} = {n \choose n} = 1[/mm] ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Die Aufgabe:
[mm]\bruch {5!}{(5-k)!} = 20[/mm] Bestimmen Sie k rechnerisch, nicht durch ausprobieren.
Ich schaffe es nicht, eine Beziehung so herzustellen, dass ich es rechnerisch bestimmen kann. Die letzten Matheübungen sind schon eine Weile her ;)
Über Anregungen freue ich mich ;)
Gruß
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:30 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hm, gerade hier würde sich doch ausprobieren anbieten. k kann ja nur 5 Werte annehmen. Ansonsten kann man das auch so machen:
[mm] \bruch{5!}{(5-k)!}=20 \gdw \bruch{3!*4*5}{(5-k)!}=4*5 \gdw [/mm] ...
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hey Teufel ;)
Danke für deine Antwort. Sicherlich ist bei dieser speziellen Aufgabe ausprobieren am sinnigsten, aber dann würde es ja weniger Spaß machen *g*
> [mm]\bruch{5!}{(5-k)!}=20 \gdw \bruch{3!*4*5}{(5-k)!}=4*5 \gdw[/mm]
> ...
Jetzt bleibt ja die Beziehung übrig:
[mm]\bruch{3!}{(5-k)!}=1[/mm]
Mh, nun bin ich nicht weiter wie vorher, wie schreibt man das mathematisch Korrekt so auf, dass man auf k=2 kommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:16 Sa 18.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für deine Antwort. Sicherlich ist bei dieser
> speziellen Aufgabe ausprobieren am sinnigsten, aber dann
> würde es ja weniger Spaß machen *g*
>
>
> > [mm]\bruch{5!}{(5-k)!}=20 \gdw \bruch{3!*4*5}{(5-k)!}=4*5 \gdw[/mm]
> > ...
>
> Jetzt bleibt ja die Beziehung übrig:
> [mm]\bruch{3!}{(5-k)!}=1[/mm]
>
> Mh, nun bin ich nicht weiter wie vorher, wie schreibt man
> das mathematisch Korrekt so auf, dass man auf k=2 kommt?
Mach einfach weiter: [mm] $\frac{3!}{(5 - k)!} [/mm] = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] 3! = (5 - k)! [mm] \Leftrightarrow [/mm] 3 = 5 - k [mm] \Leftrightarrow [/mm] k = 2$.
LG Felix
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Dank dir felixf ;)
Da diese Art von Aufgaben sicherlich auch in der Klausur kommen werden, wollte ich mal fragen, wie man generell an die Lösung heran geht. Wie nennt sich dieses mathematisches Problem genau und warum darf man dass hier tun:
> [mm] $\frac{3!}{(5 - k)!} [/mm] = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] 3! = (5 - k)! [mm] \Leftrightarrow [/mm] 3 = 5 - k [mm] \Leftrightarrow [/mm] k = 2$.
Kennt jemand von euch eventuell eine Seite im Netz, auf der solche Aufgaben zum Üben vorhanden sind - zumal das ganze ja sicher in Sachen Schwierigkeitsgrad steigerbar ist.
Lieben Dank ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Disap |
> Dank dir felixf ;)
>
> Da diese Art von Aufgaben sicherlich auch in der Klausur
> kommen werden, wollte ich mal fragen, wie man generell an
> die Lösung heran geht. Wie nennt sich dieses
> mathematisches Problem genau und warum darf man dass hier
> tun:
>
> > [mm]\frac{3!}{(5 - k)!} = 1 \Leftrightarrow 3! = (5 - k)! \Leftrightarrow 3 = 5 - k [/mm].
Ganz einfach gesagt:
Auf der linken Seite steht doch "3!". Dann muss auf der rechten Seite wohl auch 3! stehen, oder? Du findest doch keine andere Zahl außer 3, die gleich der Fakultät von 3 ist. z. B. 3! = 17! Mit Zahlen größer 3 wird auch die Fakultät größer. Auf der rechten Seite kann nur die Zahl "3" stehen, und die musst du halt ausrechnen mit 5-k.
Siehe auch die beiden Mitteilungen bzw. auch den Hinweis der Injektivität.
> Kennt jemand von euch eventuell eine Seite im Netz, auf der
> solche Aufgaben zum Üben vorhanden sind - zumal das ganze
> ja sicher in Sachen Schwierigkeitsgrad steigerbar ist.
Weiß ich auch nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 26.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Moin!
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> > Danke für deine Antwort. Sicherlich ist bei dieser
> > speziellen Aufgabe ausprobieren am sinnigsten, aber dann
> > würde es ja weniger Spaß machen *g*
> >
> >
> > > [mm]\bruch{5!}{(5-k)!}=20 \gdw \bruch{3!*4*5}{(5-k)!}=4*5 \gdw[/mm]
> > > ...
> >
> > Jetzt bleibt ja die Beziehung übrig:
> > [mm]\bruch{3!}{(5-k)!}=1[/mm]
> >
> > Mh, nun bin ich nicht weiter wie vorher, wie schreibt man
> > das mathematisch Korrekt so auf, dass man auf k=2 kommt?
>
> Mach einfach weiter: [mm]\frac{3!}{(5 - k)!} = 1 \Leftrightarrow 3! = (5 - k)! \underbrace{\Leftrightarrow}_{\red{\*}} 3 = 5 - k \Leftrightarrow k = 2[/mm].
>
> LG Felix
Hallo Felix,
an der Stelle mit dem roten Sternchen verwendest du die
Injektivität der Fakultät-Funktion !
(ich wollte nur darauf hinweisen ...)
LG, Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Sa 18.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> > > Danke für deine Antwort. Sicherlich ist bei dieser
> > > speziellen Aufgabe ausprobieren am sinnigsten, aber dann
> > > würde es ja weniger Spaß machen *g*
> > >
> > >
> > > > [mm]\bruch{5!}{(5-k)!}=20 \gdw \bruch{3!*4*5}{(5-k)!}=4*5 \gdw[/mm]
> > > > ...
> > >
> > > Jetzt bleibt ja die Beziehung übrig:
> > > [mm]\bruch{3!}{(5-k)!}=1[/mm]
> > >
> > > Mh, nun bin ich nicht weiter wie vorher, wie schreibt man
> > > das mathematisch Korrekt so auf, dass man auf k=2 kommt?
> >
> > Mach einfach weiter: [mm]\frac{3!}{(5 - k)!} = 1 \Leftrightarrow 3! = (5 - k)! \underbrace{\Leftrightarrow}_{\red{\*}} 3 = 5 - k \Leftrightarrow k = 2[/mm].
>
> an der Stelle mit dem roten Sternchen verwendest du die
> Injektivität der Fakultät-Funktion !
ja, und das ist sie nur auf [mm] $\IN_{\ge 1}$. [/mm] Aber die einzige "Kollision" ist 0! = 1!.
> (ich wollte nur darauf hinweisen ...)
Danke :)
LG Felix
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