Falsche Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 So 29.11.2009 | | Autor: | denice |
Hallo. Kann mir jemand sagen, wo genau sich hier der Fehler in der Induktion befindet.
Wir beweisen durch vollständige Induktion über die Anzahl der Kühe den Satz “Alle Kühe haben
die gleiche Farbe.” oder etwas mathematischer: Sei α(n) := (In jeder Menge von n Kühen, sind
die Kühe gleichfarbig.) Dann gilt ∀n ∈ N α(n).
(a) Induktionsanfang: Eine Kuh hat immer die gleiche Farbe wie sie selbst. Klar!
Induktionsschritt: Wir müssen zeigen: α(n) ⇒ α(n + 1).
Induktionsannahme: In jeder n-elementige Menge von Kühen haben alle Kühe die gleiche
Farbe.
Induktionsbehauptung: In jeder n + 1-elementigen Menge von Kühen haben alle Kühe die gleiche Farbe.
Danke Denice
|
|
| |
|
Hallo denice,
leider hast du bei deinem Beweis den Induktionsbeweis vergessen! Und genau in dem muss ja der Fehler liegen. Wie genau wird also in der Aufgabenstellung vorgegangen, um von der Aussage für n Kühe auf die Aussage für n+1 Kühe zu kommen.
Ein Tipp von mir, da ich solch eine ähnliche Aufgabe schonmal hatte: Schau dir mal den Induktionsbeweis für n = 2 an. Meistens klappt da was nicht.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 29.11.2009 | | Autor: | denice |
Ups.
Induktionsbeweis:Wir nehmen eine n+1-elementige Menge von Kühen. Nun entfernen wir
eine Kuh K1 von dieser Menge. Es bleiben also n Kühe, die nach Induktionsannahme alle
die gleiche Farbe haben. Wir nehmen die entfernte Kuh K1 wieder zu unserer Menge hinzu
und entfernen eine andere Kuh K2 (die ja schon die gleiche Farbe hat wie die restlichen
Kühe). So erhalten wir wieder eine n-elementige Menge von Kühen, in der wiederum nach
Induktionsannahme alle Kühe dieselbe Farbe haben. Führen wir K2 wieder der Menge zu,
gilt für alle n + 1 Kühe, dass sie dieselbe Farbe haben.
Induktionsschluss: Für jedes beliebige n ∈ N haben n Kühe die gleiche Farbe. Wählen wir
nun n als die Anzahl aller Kühe der Welt, erhalten wir den Satz “Alle Kühe haben dieselbe
Farbe”.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 So 29.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Wie steppenhahn es schon sagte: Schaue dir mal den Induktionsschritt konkret für den Fall n=2 an.
LG, Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
genau da passiert der Fehler. dass du 2 verschiedene mengen aus den n+1 machst. einmal die mit den schon gezeigten, einmal die zusätzliche Kuh dazu aber für DIESE n hattest du es nicht angenommen, nur für die Vorgänger.
Der Fehlschluss liegt daran, dass man schon bei 2 K nicht umordnen kann und sagen die erste hat eine farbe, die zweite hat eine Farbe, deshalb haben die erste und zweite dieselbe Farbe.
Der Mathematischere Beweis zeigt so, je n Punkte liegen auf einer Geraden: 1 Pkt liegt auf einer Geraden, sogar 2 punkte liegen auf einer Geraden. und dann Induktion.
gruss leduart
|
|
|
|
